自动控制理论课件72.ppt

1、7.3 Z变换与Z反变换,7.3.1 Z变换的定义,Z变换是由采样函数的拉氏变换演变而来的。采样信号的数学表达式,进行拉氏变换：,在E*(s)中含有因子eTS，是s的超越函数，而不是有理函数，因此引入新的变量z,令,称E(z)为e*(t)的Z变换，记作，简记为,1级数求和法,就是直接利用Z变换定义的计算方法。,设e(t)=(t)，其采样信号e*(t)=(t)。,由Z变换定义有,求采样序列：,7.3.2 Z变换的计算,这是一个公比为z-1的等比级数，当z-1 1时，级数收敛，可写成闭合形式：,例7-5 求单位阶跃信号的Z变换,设e(t)=1(t)，其采样信号为,由Z变换定义,解：,在所有采样时刻

2、有：,取采样周期为T，,不同的e(t)，采样后e*(t)有可能是相同的，可以得到相同的E(z)。所以，Z变换只是对采样点上的信息有效，只要e*(t)相同，E(z)就相同，但采样前的e(t)可以是不同的。,结论,设,求Z变换E(z)，其中 为常数。,这是一个公比为 的等比级数，当 时，级数收敛，可写成闭合形式,2部分分式法,在控制系统中，连续函数 常常是以拉氏变换形式 给出的，已知 求 的Z变换，采用部分分式法较为方便。,计算步骤：,能否将 代入E(s)求E(z)?,注意：,是表示与E(s)对应的e(t)的采样函数e*(t)的Z变换。,3留数法,已知连续函数e(t)的拉氏变换E(s)及其全部极点

3、，则e(t)对应的Z变换可通过下面的留数计算公式求得，即,式中，为彼此不相等的极点个数。且 为 阶重极点。,例7-10 已知，求Z变换E(z)。解：,E(s)的极点 为二重极点，所以，。由留数计算公式得到,的拉氏变换为,1.线性定理,证明：,7.3.3 Z变换的基本定理,设正弦信号 e(t)=sint(t0),求z变换E(z)。,例7-11,解：,2.实数位移定理,证明：,(j=k-n),由于j0时，e(jT)=0,所以有,例 已知e(t)=1(t-T),求它的Z变换函数E(z)。,解:,3.复数位移定理,证明：,根据Z变换定义,Z换成这个,4.z域微分定理：,证明：,两边对z求导数,同理可推

4、出：,5.z域尺度定理,证明：,6.终值定理,证明:,两边取极限,并由Z变换定义有,终值定理可以用来计算离散系统的稳态误差。,证明：,7.初值定理,8.卷积定理,设 和 为两个采样序列，当 时，。其离散卷积定义为,则有卷积定理,卷积定理说明：两个采样函数卷积的Z变换，就等于这两个采样函数的Z变换的乘积。在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域和z域的桥梁。,从z域函数E(z),求时域函数e*(t),叫做Z反变换。记作,Z反变换只能给出采样序列 或采样函数,而不能提供连续函数。也就是说，通过Z反变换得到的仅是连续函数在各采样时刻上的值。,注意：,或,幂级数法（长除法）,部分分式法,留数法,7.3.4

5、 Z反变换的计算,通常E(z)是z的有理函数，可表示为两个z的多项式之比,用分母去除分子，并将商按z-1的升幂排列(?),比较Z变换的定义,此法在实际中应用较为方便，缺点是要得到e(kT)的一般表达式较为困难。,1.幂级数法（长除法）,试求其z 反变换。,解：,例7-16,2.部分分式法,部分分式展开法是将E(z)展成若干个分式和的形式，而每一个分式可通过查表得出所对应的时间函数e(t)，并将其转变为采样信号e*(t)。,注意：,解：,首先将E(z)/z展开成部分分式,查表有,解：,查表得,离散化得,根据复变函数中的留数定理,所有极点处的留数之和）,其中，极点 处的留数计算公式为：,结果相同,3.留数法,