自动控制理论课件72.ppt

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7.3Z变换与Z反变换,7.3.1Z变换的定义,Z变换是由采样函数的拉氏变换演变而来的。

采样信号的数学表达式,进行拉氏变换：

在E*（s）中含有因子eTS，是s的超越函数，而不是有理函数，因此引入新的变量z,令,称E（z）为e*（t）的Z变换，记作，简记为,1级数求和法,就是直接利用Z变换定义的计算方法。

设e（t）=（t），其采样信号e*（t）=（t）。

由Z变换定义有,求采样序列：

7.3.2Z变换的计算,这是一个公比为z-1的等比级数，当z-11时，级数收敛，可写成闭合形式：

例7-5求单位阶跃信号的Z变换,设e（t）=1（t），其采样信号为,由Z变换定义,解：

在所有采样时刻有：

取采样周期为T，,不同的e（t），采样后e*（t）有可能是相同的，可以得到相同的E（z）。

所以，Z变换只是对采样点上的信息有效，只要e*（t）相同，E（z）就相同，但采样前的e（t）可以是不同的。

结论,设,求Z变换E（z），其中为常数。

这是一个公比为的等比级数，当时，级数收敛，可写成闭合形式,2部分分式法,在控制系统中，连续函数常常是以拉氏变换形式给出的，已知求的Z变换，采用部分分式法较为方便。

计算步骤：

能否将代入E（s）求E（z）?

注意：

是表示与E（s）对应的e（t）的采样函数e*（t）的Z变换。

3留数法,已知连续函数e（t）的拉氏变换E（s）及其全部极点，则e（t）对应的Z变换可通过下面的留数计算公式求得，即,式中，为彼此不相等的极点个数。

且为阶重极点。

例7-10已知，求Z变换E（z）。

解：

E（s）的极点为二重极点，所以，。

由留数计算公式得到,的拉氏变换为,1.线性定理,证明：

7.3.3Z变换的基本定理,设正弦信号e（t）=sint（t0）,求z变换E（z）。

例7-11,解：

2.实数位移定理,证明：

（j=k-n）,由于j0时，e（jT）=0,所以有,例已知e（t）=1（t-T）,求它的Z变换函数E（z）。

解:

3.复数位移定理,证明：

根据Z变换定义,Z换成这个,4.z域微分定理：

证明：

两边对z求导数,同理可推出：

5.z域尺度定理,证明：

6.终值定理,证明:

两边取极限,并由Z变换定义有,终值定理可以用来计算离散系统的稳态误差。

证明：

7.初值定理,8.卷积定理,设和为两个采样序列，当时，。

其离散卷积定义为,则有卷积定理,卷积定理说明：

两个采样函数卷积的Z变换，就等于这两个采样函数的Z变换的乘积。

在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域和z域的桥梁。

从z域函数E（z）,求时域函数e*（t）,叫做Z反变换。

记作,Z反变换只能给出采样序列或采样函数,而不能提供连续函数。

也就是说，通过Z反变换得到的仅是连续函数在各采样时刻上的值。

注意：

或,幂级数法（长除法）,部分分式法,留数法,7.3.4Z反变换的计算,通常E（z）是z的有理函数，可表示为两个z的多项式之比,用分母去除分子，并将商按z-1的升幂排列（?

）,比较Z变换的定义,此法在实际中应用较为方便，缺点是要得到e（kT）的一般表达式较为困难。

1.幂级数法（长除法）,试求其z反变换。

解：

例7-16,2.部分分式法,部分分式展开法是将E（z）展成若干个分式和的形式，而每一个分式可通过查表得出所对应的时间函数e（t），并将其转变为采样信号e*（t）。

注意：

解：

首先将E（z）/z展开成部分分式,查表有,解：

查表得,离散化得,根据复变函数中的留数定理,所有极点处的留数之和）,其中，极点处的留数计算公式为：

结果相同,3.留数法,