考研数二真题及解析.docx

1、考研数二真题及解析2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上 )(1)lim arctan xx.x 0 ln(12x3 )(2)设函数 yy(x) 由方程 2xyx y 所确定，则 dy x 0.(3)dx.2 ( x7)x21(4)曲线 y(2 x1)ex 的斜渐近线方程为.1000(5)设 A2300，E为4阶单位矩阵，且 B(E A) 1(E A) 则04500067(E B)1.二、选择题 (本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项

2、前的字母填在题后的括号内 .)(1)设函数 f (x)x在 (,) 内连续，且limf (x)0, 则常数 a, b 满足 ()bxxa e(A) a0, b0.(B) a0, b0.(C) a0,b0.(D) a0, b0.(2)设函数 f (x)满足关系式 f(x) f ( x) 2x ，且 f (0)0，则()(A)f (0) 是 f ( x) 的极大值 .(B)f (0) 是 f ( x) 的极小值 .(C)点 (0, f (0) 是曲线 yf (x) 的拐点 .(D)f (0) 不是 f ( x) 的极值，点 (0, f (0) 也不是曲线 yf ( x) 的拐点 .(3 ) 设 f

3、 (x), g (x) 是大于零的可导函数， 且 f( x) g (x) f ( x) g (x) 0, 则当 ax b 时，有 ()(A)f ( x) g(b)f (b) g(x)(B)f ( x)g (a)f (a) g( x)(C)f ( x) g (x)f (b)g (b)(D)f (x) g( x)f (a) g(a)sin 6xxf ( x)6f ( x)(4)若 limx30 ，则 limx2为()x 0x0(A)0.(B)6.(C)36.(D) .(5)具有特解y1e x , y22xe x , y33ex 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是( )(A) yyy y0.(B)

4、yyyy 0.(C) y 6 y11y6 y0.(D) y2yy2 y0.三、 (本题满分5 分 )ln(1x)，计算f ( x) dx .设 f (ln x)x四、 (本题满分5 分 )设 xoy 平面上有正方形D(x, y) 0x1,0y1 及直线 l : xyt (t0) .若S(t) 表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求x0) .S(t) dt,( x0五、 (本题满分5 分 )求函数 f( x)x2 ln(1x) 在 x0处的 n 阶导数 f n (0)( n3).六、 (本题满分6 分 )设函数 S( x)x| cost |dt ，0(1)当 n 为正整数，且 nx

5、(n1)时，证明2nS( x)2(n1) ；(2)求 limS(x) .xx七、 (本题满分7 分 )某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为 V ，流入湖泊内不含A 的6水量为 V ，流出湖泊的水量为V ，已知 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0 ，超过国家规定指63m0标.为了治理污染， 从 2000年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过.问至多需要V经过多少年，湖泊中污染物A 的含量降至 m0 以内 (注：设湖水中A 的浓度是均匀的 )八、 (本题满分6 分 )设函数 f ( x) 在 0,上连续，且f ( x) dx0,f (x)cos xdx0 ，试证明

6、：在 (0, )00内至少存在两个不同的点1,2 ，使 f (1 )f (2 )0.九、 (本题满分7 分 )已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x 0 的某个邻域内满足关系式f (1 sin x) 3 f (1 sin x) 8x ( x)其中 (x) 是当 x 0 时比 x 高阶的无穷小， 且 f (x) 在 x 1 处可导， 求曲线 y f ( x) 在点(6, f (6) 处的切线方程 .十、 (本题满分 8 分 )设曲线 y ax2 (a 0, x 0) 与 y 1 x2 交于点 A ，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax2 围成一平面图形 .问 a 为何

7、值时， 该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一、 (本题满分 8 分 )函数 f ( x) 在 0,) 上可导， f (0)1且满足等式f (x) f ( x)1x0,f (t )dtx 1 0(1)求导数 f( x) ；(2)证明：当x 0时，成立不等式 e xf (x)1成立十二、 (本题满分6 分 )1101设2,0 , AT , BT.其中T 是的转置，1280求解方程 2B2 A2 xA4 xB4 x十三、 (本题满 7 分 )0ab已知向量组 11,22 , 31 与向量组 1110具有相同的秩，且3 可由1 ,2 ,3 线性表出，求 a, b 的值 .

8、1 3 92 , 2 0, 3 63 1 72000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1) 【答案】 1 6ln 1 2 x3 2 x3lim arctanxx 洛 lim 111x2【详解】 lim arctanx xx2lim1x 0 ln 1 2x3x 02x3x 06x2x 0 6x2 1 x26(2) 设函数 y y( x) 由方程 2xyxy 所确定，则 dy x 0.【答案】 (ln 21)dx【详解】方法 1：对方程2xyx y 两边求微分，有2xy ln 2(xdyydx)dxdy.由所给方程知，当x0 时 y1. 将 x 0， y 1代入上式，有 ln

9、 2 dx dx dy .所以， dyx 0(ln 21)dx .方法 2：两边对 x 求导数，视 y 为该方程确定的函数，有2xy ln 2(xyy) 1y .当 x 0 时 y1，以此代入，得yln 21 ，所以 dy x 0(ln2 1)dx .(3)【答案】3【详解】由于被积函数在x2 处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可.作积分变量替换，令x2t, x2t2dx2tdt,dx0 (t 22tdt2 1 arctan t22.2 ( x 7) x 29)t33 033(4)【答案】 y 2x 1【公式】 ykxb 为 yf ( x) 的

10、斜渐近线的计算公式： k limy ,blim f ( x) kxxxxxxxx1【详解】 klimylim (21 )ex2,xxxx1令 1lim( 2eu2 eu )b lim ( y2x)lim(2 x 1)ex2 xuxxxu 0ulim( 2(eu1)eu )eu1ulim( 2ueu )211u0uu0u所以， x方向有斜渐近线y2x1. 当 x时，类似地有斜渐近线 y 2x 1.1总之，曲线 y(2 x1)ex 的斜渐近线方程为y2x 1.10001200(5) 【答案】23000034【详解】先求出 ( EB) 1然后带入数值，由于B( EA) 1(EA) ，所以( EB)

11、1E ( EA) 1(EA)( EA) 1(EA)( EA) 1(EA)2(EA) 11 (EA)22000100012400120020460023000680034二、选择题(1)【答案】 D【详解】排除法：如果 a0，则在 ( ,) 内 f (x)的分母 aebx 必有零点x0 ，从而f ( x) 在 xx0 处不连续，与题设不符 .不选 ( A) ，若 b 0，则无论 a0 还是 a0 均有 limf (x ),与题x设 lim f (x)0 矛盾，不选(B) 和 (C) 故选(D).x.(2) 【答案】 C【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数f ( x) 在 x0 出具有二阶导

12、数且f (x0 ) 0 ，f ( x0 ) 0 ，那么： (1)当 f ( x0 )0 时，函数f (x) 在 x0 处取得极大值；(2) 当 f( x0 )0 时，函数f ( x) 在 x0 处取得极小值；f ( x) f( x) 2x 中 x0 ，得 f(0)02【详解】令等式f (0)0 ，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.再求导数 (因为下式右边存在，所以左边也存在)：f ( x) ( x2f ( x) ) 1 2 f ( x) f ( x)以 x 0 代入，有 f(0) 1，所以f(0)limf ( x)f (0)limf ( x)1.x 0x0x 0x从而

13、知，存在x0 去心邻域，在此去心邻域内，f( x) 与 x 同号，于是推知在此去心邻域内当 x0 时曲线 yf (x) 是凸的，在此去心临域内x0 时曲线 yf ( x) 是凹的，点 (0, f (0)是曲线 yf ( x) 的拐点，选 (C).(3)【答案】 A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数 . 题设中已知f (x) g( x) f (x) g ( x) 0,想到设函数为相除的形式f ( x).g ( x)【详解】f (x)f (x) g( x)f ( x) g (x)设 F (x)，则 F (x)20,g(x)g( x)则 F ( x) 在 a xb 时单

14、调递减，所以对a xb ， F (a) F ( x)F (b) ，即f (a)f ( x)f (b)g( a)g( x)g(b)得 f ( x)g(b)f (b) g( x), a x b ， ( A) 为正确选项 .(4)【答案】 (C)【分析】本题有多种解法： (1)将含有 f (x) 的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之； (2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出 f (x) 代入要求极限式中； (3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限 .【详解】方法 1： 凑成已知极限6 f ( x) 6x xf ( x) 6x sin 6x sin 6x xf ( x)x2 x3 x312而lim6xsin 6x洛lim66cos6xlim6(1cos6x)22 (6x)36x33x23x2limx2x 0x 0x 0x0(由于 1cos x1x21cos(6 x)1(6 x)2)6f ( x)6xsin 6xsin 6x2xf ( x)2所以lim36036x2limx3limx3x 0x0x0方法 2：由极限与无穷小关系，由已知极限式解出sin 6xxf ( x)a ， lim a03xx0从而sin 6xxf (x)ax3f ( x)ax3sin 6xx6f ( x)6ax3sin6 x36xsin 6 x