考研数二真题及解析.docx
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考研数二真题及解析
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）
（1）
limarctanx
x
.
x0ln（1
2x3）
（2）
设函数y
y（x）由方程2xy
xy所确定，则dyx0
.
（3）
dx
.
2（x
7）
x
2
1
（4）
曲线y
（2x
1）ex的斜渐近线方程为
.
1
0
0
0
（5）
设A
2
3
0
0
，E为4
阶单位矩阵，且B
（EA）1（EA）则
0
4
5
0
0
0
6
7
（EB）1
.
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）
设函数f（x）
x
在（
）内连续，且
lim
f（x）
0,则常数a,b满足（）
bx
x
ae
（A）a
0,b
0.
（B）a
0,b
0.
（C）a
0,b
0.
（D）a
0,b
0.
（2）
设函数f（x）
满足关系式f
（x）
[f（x）]2
x，且f（0）
0，则（）
（A）f（0）是f（x）的极大值.
（B）f（0）是f（x）的极小值.
（C）点（0,f（0））是曲线y
f（x）的拐点.
（D）
f（0）不是f（x）的极值，点（0,f（0））也不是曲线y
f（x）的拐点.
（3）设f（x）,g（x）是大于零的可导函数，且f
'（x）g（x）f（x）g'（x）0,则当a
xb时，
有（
）
（A）
f（x）g（b）
f（b）g（x）
（B）
f（x）g（a）
f（a）g（x）
（C）
f（x）g（x）
f（b）g（b）
（D）
f（x）g（x）
f（a）g（a）
sin6x
xf（x）
6
f（x）
（4）
若lim
x
3
0，则lim
x
2
为
（
）
x0
x
0
（A）0.
（B）6.
（C）36.
（D）.
（5）
具有特解
y1
ex,y2
2xex,y3
3ex的3阶常系数齐次线性微分方程是
（）
（A）y
y
yy
0.
（B）y
y
y
y0.
（C）y6y
11y
6y
0.
（D）y
2y
y
2y
0.
三、（本题满分
5分）
ln（1
x）
，计算
f（x）dx.
设f（lnx）
x
四、（本题满分
5分）
设xoy平面上有正方形
D
（x,y）0
x
1,0
y
1及直线l:
x
y
t（t
0）.若
S（t）表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求
x
0）.
S（t）dt,（x
0
五、（本题满分
5分）
求函数f
（x）
x2ln（1
x）在x
0
处的n阶导数fn（0）（n
3）.
六、（本题满分
6分）
设函数S（x）
x
|cost|dt，
0
（1）当n为正整数，且n
x
（n
1）
时，证明
2n
S（x）
2（n
1）；
（2）求lim
S（x）.
x
x
七、（本题满分
7分）
某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物
A的污水量为V，流入湖泊内不含
A的
6
水量为V，流出湖泊的水量为
V，已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指
6
3
m0
标.为了治理污染，从2000
年初起，限定排入湖泊中含
A污水的浓度不超过
.问至多需要
V
经过多少年，湖泊中污染物
A的含量降至m0以内（注：
设湖水中
A的浓度是均匀的）
八、（本题满分
6分）
设函数f（x）在0,
上连续，且
f（x）dx
0,
f（x）cosxdx
0，试证明：
在（0,）
0
0
内至少存在两个不同的点
1,
2，使f（
1）
f（
2）
0.
九、（本题满分
7分）
已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x0的某个邻域内满足关系式
f（1sinx）3f（1sinx）8x（x）
其中（x）是当x0时比x高阶的无穷小，且f（x）在x1处可导，求曲线yf（x）在点
（6,f（6））处的切线方程.
十、（本题满分8分）
设曲线yax2（a0,x0）与y1x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲
线yax2围成一平面图形.问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？
最大体积是多少？
十一、（本题满分8分）
函数f（x）在[0,
）上可导，f（0）
1且满足等式
f（x）f（x）
1
x
0,
f（t）dt
x10
（1）求导数f
（x）；
（2）证明：
当
x0
时，成立不等式ex
f（x）
1成立
十二、（本题满分
6分）
1
1
0
1
设
2
0,A
T,B
T
.其中
T是
的转置，
1
2
8
0
求解方程2B2A2x
A4x
B4x
十三、（本题满7分）
0
a
b
已知向量组1
1
2
2,3
1与向量组1
1
1
0
具有相同的秩，且
3可由
1,
2,
3线性表出，求a,b的值.
139
2,20,36
317
2000年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题
（1）【答案】16
ln12x32x3
limarctanx
x洛lim1
1
1
x2
【详解】limarctanxx
x2
lim
1
x0ln12x3
x0
2x3
x0
6x2
x06x21x2
6
（2）设函数yy（x）由方程2xy
x
y所确定，则dyx0
.
【答案】（ln2
1）dx
【详解】
方法1：
对方程
2xy
xy两边求微分，有
2xyln2
（xdy
ydx）
dx
dy.
由所给方程知，当
x
0时y
1.将x0
，y1代入上式，有ln2dxdxdy.
所以，dy
x0
（ln2
1）dx.
方法2：
两边对x求导数，视y为该方程确定的函数，有
2xyln2
（xy
y）1
y.
当x0时y
1，以此代入，得
y
ln2
1，所以dyx0
（ln21）dx.
（3）【答案】
3
【详解】由于被积函数在
x
2处没有定义，则该积分为广义积分
.对于广义积分，可以先按
照不定积分计算，再对其求极限即可.
作积分变量替换，令
x
2
t,x
2
t2dx
2tdt,
dx
0（t2
2t
dt
21arctant
2
2
.
2（x7）x2
9）t
3
30
3
3
（4）【答案】y2x1
【公式】y
kx
b为y
f（x）的斜渐近线的计算公式：
klim
y,b
lim[f（x）kx]
x
x
x
x
x
x
x
1
【详解】k
lim
y
lim（2
1）ex
2,
x
x
x
x
1
令1
lim（2eu
2eu）
blim（y
2x）
lim[（2x1）ex
2x]
u
x
x
x
u0
u
lim（2（eu
1）
eu）
eu
1
u
lim（2u
eu）
2
1
1
u
0
u
u
0
u
所以，x
方向有斜渐近线
y
2x
1
.当x
时，类似地有斜渐近线y2x1.
1
总之，曲线y
（2x
1）ex的斜渐近线方程为
y
2x1.
1
0
0
0
1
2
0
0
（5）【答案】
2
3
0
0
0
0
3
4
【详解】先求出（E
B）1
然后带入数值，由于
B
（E
A）1（E
A），所以
（E
B）1
E（E
A）1（E
A）
－１
（E
A）1（E
A）
（E
A）1（E
A）
－１
2（E
A）1
－１
1（E
A）
2
2
0
0
0
1
0
0
0
1
2
4
0
0
1
2
0
0
2
0
4
6
0
0
2
3
0
0
0
6
8
0
0
3
4
二、选择题
（1）【答案】D
【详解】排除法：
如果a
0，则在（,
）内f（x）
的分母a
ebx必有零点
x0，从而
f（x）在x
x0处
不连续，与题设不符.不选（A），若b0
，则无论a
0还是a
0均有lim
f（x）
与题
x
设limf（x）
0矛盾，不选
（B）和（C）故选
（D）.
x
.
（2）【答案】C
【定理应用】判断极值的第二充分条件：
设函数
f（x）在x0出具有二阶导数且
f（x0）0，
f（x0）0，那么：
（1）
当f（x0）
0时，函数
f（x）在x0处取得极大值；
（2）当f
（x0）
0时，函数
f（x）在x0处取得极小值；
f（x）[f
（x）]2
x中x
0，得f
（0）
0
2
【详解】令等式
f（0）0，无法利用判断极
值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点.
再求导数（因为下式右边存在，所以左边也存在
）：
f（x）（x
2
f（x））12f（x）f（x）
以x0代入，有f
（0）1，所以
f
（0）
lim
f（x）
f（0）
lim
f（x）
1.
x0
x
0
x0
x
从而知，存在
x
0去心邻域，在此去心邻域内，
f
（x）与x同号，于是推知在此去心
邻域内当x
0时曲线y
f（x）是凸的，在此去心临域内
x
0时曲线y
f（x）是凹的，
点（0,f（0））
是曲线y
f（x）的拐点，选（C）.
（3）【答案】A
【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知
f'（x）g（x）f（x）g'（x）0,
想到设函数为相除的形式
f（x）
.
g（x）
【详解】
f（x）
f'（x）g（x）
f（x）g'（x）
设F（x）
，则F（x）
2
0,
g（x）
g
（x）
则F（x）在ax
b时单调递减，所以对
ax
b，F（a）F（x）
F（b），即
f（a）
f（x）
f（b）
g（a）
g（x）
g（b）
得f（x）g（b）
f（b）g（x）,axb，（A）为正确选项.
（4）【答案】（C）
【分析】本题有多种解法：
（1）将含有f（x）的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或
反之；
（2）利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出f（x）代入要求极限式中；（3）将具体
函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限.
【详解】
方法1：
凑成已知极限
6f（x）6xxf（x）6xsin6xsin6xxf（x）
x2x3x3
1
2
而
lim
6x
sin6x
洛
lim
6
6cos6x
lim
6（1
cos6x）
2
2（6x）
36
x
3
3x
2
3x
2
lim
x
2
x0
x0
x0
x
0
（由于1
cosx
1
x2
1
cos（6x）
1
（6x）2
）
6
f（x）
6x
sin6x
sin6x
2
xf（x）
2
所以
lim
36
0
36
x
2
lim
x
3
lim
x
3
x0
x
0
x
0
方法2：
由极限与无穷小关系，由已知极限式解出
sin6x
xf（x）
a，lima
0
3
x
x
0
从而
sin6x
xf（x）
ax3
f（x）
ax3
sin6x
x
6
f（x）
6
ax3
sin6x
3
6x
sin6x
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