二次函数和相似三角形的综合应用.docx

1、二次函数和相似三角形的综合应用 二次函数和相似三角形的综合应用11、如图，已知抛物线 y= （ x+2 ）（ x m）（ m 0）与 x 轴订交于点 B 、C，与 y 轴订交m于点 E，且点 B 在点 C 的左侧。（1）若抛物线过点 M （ 2， 2），求实数 m 的值；（2）在（ 1）的条件下，求 BCE 的面积；（3）在第四象限内，抛物线上可否存在点F，使得以点 B、 C、 F 为极点的三角形与 BCE相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明原由。2、如图，已知抛物线yk (x 2)( x 4) （ k 为常数，且 k0 ）与 x 轴从左至右依次交8于 A， B 两点，与 y 轴交于点

2、 C，经过点 B 的直线 y3 xb 与抛物线的另一交点为 D。3（1）若点 D 的横坐标为 -5 ，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以 A，B，P 为极点的三角形与 ABC相似，求 k的值；（3）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD上一点（不含端点） ，连接 AF，一动点 M从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到D后停止。当点 F 的坐标是多少时，点 M在整个运动过程中用时最少？ 3、如图，在直角坐标系中有素来角三角形 AOB， O 为坐标原点 ，OA=1，tan BAO=3，将此三角

3、形绕原点O逆时针旋转90，获取DOC。抛物线yax 2bxc 经过点A、B、 C。（1）求抛物线的剖析式；（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t 。设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD于 F，求出当 CEF 与 COD相似时点 P 的坐标；可否存在一点 P，使 PCD的面积最 大？若存在，求出 PCD面积的最大值；若不存在，请说明原由。4、在平面直角坐标系中，抛物线y ax 2bx 3 与 x 轴的两个交点分别为A（ -3 ，0）、 B（1， 0），过极点 C作 CHx 轴于点 H。（1）直接填写： a =， b=，极点 C 的坐标为；（2）在 y

4、 轴上可否存在点 D，使得 ACD是以 AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，说明原由；（3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点 （点 P 与极点 C 不重合），PQAC 于点 Q，当 PCQ 与 ACH相似时，求点 P 的坐标。 5、已知抛物线 C1： y=a（ x+1） 22 的极点为 A，且经过点 B（ 2， 1）。（1）求 A点的坐标和抛物线 C1 的剖析式；（2）如图 1，将抛物线 C1 向下平移 2 个单位后获取抛物线 C2，且抛物线 C2 与直线 AB订交于 C， D 两点，求 SOAC ： S OAD 的值；（3）如图 2，若过 P（ 4，0）， Q

5、（ 0， 2）的直线为 l ，点 E 在（ 2）中抛物线 C2 对称轴右侧部分（含极点）运动，直线 m过点 C 和点 E。问：可否存在直线 m，使直线 l ，m与 x 轴围成的三角形和直线 l ， m与 y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 m的剖析式；若不存在，说明原由。6、如图，已知：如图，直线y=-x +与分别从 A、B 两点同时出发向O点运动（运动到线 y=a（ x k） 2 h（ a0）向来经过点E，过x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点，两动点 D、 E O点停止）；对称轴过点 A 且极点为 M的抛物 E 作 EGOA 交抛物线于点 G，交 AB 于点 F，连接 DE、 DF

6、、 AG、 BG。设 D、E 的运动速度分别是 1 个单位长度 / 秒和 3 个单位长度 / 秒，运动时间为 t 秒。（1）用含 t 代数式分别表示 BF、 EF、AF 的长；（2）当 t 为何值时， 四边形 ADEF是菱形？判断此时 AFG 与 AGB可否相似， 并说明原由；（3）当 ADF 是直角三角形，且抛物线的极点M恰幸好 BG上时，求抛物线的剖析式。备用图 7、如图，二次函数 y ax 2bx (a 0)的图象经过点（1，4），对称轴是直线 x3，线平行于 x 轴，交抛物线于点2段AD。在y轴上取一点（， ），直线AC交抛物线于点，DC 02B连接 OA， OB， OD，BD。（1）

7、求该二次函数的剖析式；（2）若点 P 为抛物线上的一个动点（不与点O重合），且 S DBOS DBP ，求点 P 的坐标；（3）在 坐标平面内 可否存在点 E 使 EOD AOB？若存在，求出点 E 的坐标，若不存在，请说明原由。8、如图1，矩形ABCD的边AD在y 轴上，抛物线y=x2-4x+3经过点A、点B，与x 轴交于点E、点F，且其极点M在CD上。（1）请直接写出以下各点的坐标：A， B， C，D；（2）若点 P 是抛物线上一动点（点 P 不与点 A、点 B 重合），过点 P 作 y 轴的平行线 l 与直线 AB交于点 G，与直线 BD交于点 H，如图 2。当线段 PH=2GH时，求点

8、 P 的坐标；当点 P 在直线 BD下方时，点 K 在直线 BD上，且满足 KPH AEF，求 KPH面积的最大值。 9、如图，直线 y=2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，把 AOB沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，过点 B 的抛物线 y= x2+bx+c 与直线 BC交于点 D（ 3， 4）。（1）求直线 BD和抛物线的剖析式；（2）在第一象限内的抛物线上，可否存在一疑点 M，作 MN垂直于 x 轴，垂足为点 N，使得以 M、O、N 为极点的三角形与 BOC 相似？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明原由；（3）在直线 BD上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作

9、 PH垂直于 x 轴，交直线 BD于点 H，当四边形 BOHP是平行四边形时，试求动点 P 的坐标。10、如图，抛物线 y=ax 2 2ax+c（ a0）交 x 轴于 A 、B 两点， A 点坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于点 C（ 0， 4），以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G。（1）求抛物线的剖析式；（2）若点 P 为抛物线上一个动点，且在CD 上方，过点 P 的直线 x=m 与线段 CD 、AC 、 x轴分别交于点 F、M 、E，连接 PC，则可否存点 P，使得以 P、C、F 为极点的三角形和 AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值；若不存在，请说明原由。（3）

10、在（ 2）的条件下判断 PCM 的形状，并说明原由。 11、平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，点C 的坐标为（ 3， 4），点 A 在 x 轴的正半轴上， O 为坐标原点，连接OB，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 C、 O、A 三点（1）直接写出这条抛物线的剖析式；（2）如图 1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设 EBO 的面积为 S1，菱形 ABCD 的面积为S，当S1S2时，求点 E 的纵坐标 n 的取值范围；214（3）如图 2，已知 D（ 0， 5 ）为 y 轴上一点，连接 AD ，动点 P 从点 O 出发，以5 个25单位 /秒的速度沿 OB 方向运动， 1 秒后，动点

11、 Q 从 O 出发，以 2 个单位 /秒的速度沿折线O A B 方向运动，设点 P 运动时间为 t 秒（ 0 t 6），可否存在实数 t，使得以 P、 Q、B为极点的三角形与 ADO 相似？若存在，求出相应的 t 值；若不存在，请说明原由。12、如图 1，已知菱形 ABCD 的边长为 2 3 ，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在坐标原点。点D 的坐标为（ 3 ， 3），抛物线 y=ax 2 b（ a 0）经过 AB、CD 两边的 中点 。（1）求这条抛物线的函数剖析式；（2）将菱形 ABCD以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速平移（如图 2），过点 B 作直线 BE CD 于点

12、 E，交抛物线于点 F，连接 DF、 AF。设菱形 ABCD平移的时间为 t 秒（ 0t 3）可否存在这样的 t，使 ADF 的周长最小？若存在，求出若 ADF 与 DEF相似，求出 t 的值。t 的值；若不存，请说明原由。 2C 的坐标为 （ 0，2），交 x 轴于 A 、B 两点，13、如图，二次函数 y=ax +bx+c 的图象的极点其中 A （ 1， 0），直线 l： x=m （ m1）与 x 轴交于 D。（1）求二次函数的剖析式和B 的坐标；（2）在直线 l 上找点 P（P 在第一象限），使得以 P、 D、 B 为极点的三角形与以 B、 C、 O为极点的三角形相似，求点 P 的坐标（

13、用含 m 的代数式表示） ；（3）在（ 2）成立的条件下，在抛物线上可否存在第一象限内的点 Q，使 BPQ是以 P 为直角极点的等腰直角三角形？若是存在，央求出点 Q 的坐标；若是不存在，请说明原由。14、已知二次函数 y=ax2+bx+c （ a 0）的图象经过点A （ 1，0）， B（ 2， 0），C（ 0，-2），直线 x=m （ m2）与 x 轴交于点 D。（1）求二次函数的剖析式；（2）在直线 x=m （ m2）上有一点 E（点 E 在第四象限），使得 E、 D、 B 为极点的三角形与以 A 、O、C 为极点的三角形相似，求点 E 的坐标（用含 m 的式子表示） ；（3）在（ 2）成

14、立的条件下，抛物线上可否存在一点 F，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，央求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明原由。 15、如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c（a0）经过 A（ -1 ，0）， B（ 4， 0）， C（ 0，2）三点。（1）求这条抛物线的剖析式；（2）E 为抛物线上一动点，可否存在点 E 使以 A、B、E 为极点的三角形与 COB相似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明原由；（3）若将直线 BC平移，使其经过点 A，且与抛物线订交于点 D，连接 BD，试求出 BDA的度数。16、如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为

15、（ -2 ，2），点 B 的坐标为（ 6， 6），抛物线经过 A、O、 B 三点，连接 OA、 OB、 AB，线段 AB交 y 轴于点 E。（1）求抛物线的函数剖析式；（2）点 F 为线段 OB上的一个动点（不与点 O、 B 重合），直线 EF 与抛物 线交于 M、 N 两点（点 N 在 y 轴右侧），连接 ON、 BN，当点 F 在线段 OB上运动时，求 BON 面积的 最大值，并求出此时点 N 的坐标；（3）连接 AN，当 BON面积最大时，在坐标平面内求使得 BOP与 OAN相似（点 B、O、P分别与点 O、 A、 N 对应）的点 P的坐标。 17、已知：如图，二次函数 y=ax 2 b

16、x c 的图象交 x 轴于 A（ 1， 0）， B（ 2， 0），交 y 轴于 C（ 0， 2），过 A， C 画直线。（1）求二次函数的剖析式；（2）点 P在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP的长；（3）点 M在二次函数图象上，以 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为 H。若 M在 y 轴右侧，且 CHM AOC（点 C 与点 A 对应），求点 M的坐标；若 M的半径为 4 5 ，求点 M的坐标。5218、如图，抛物线 y=ax +b 与 x 轴交于点 A 、B ，且 A 点的坐标为（ 1， 0），与 y 轴交于点C（ 0， 1）。（1）求抛物线的剖析式，并求出点 B 坐标；（2）如

17、图 1，过点 B 作 BD CA 交抛物线于点 D，连接 BC、 CA 、 AD ，求四边形 ABCD的周长；（结果保留根号）（3）如图 2，在 x 轴上方的抛物线上可否存在点 P，过点 P 作 PE 垂直于 x 轴，垂足为点 E，使以 B 、P、 E 为极点的三角形与 CBD 相似？若存在央求出 P 点的坐标；若不存在，请说明原由。 19、如图，已知抛物线y=1x 21b1 xb （ b 是实数且 b 2）与 x 轴的正半轴分别交444于点 A、 B(点 A 位于点 B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点 C。(1) 点 B 的坐标为，点 C 的坐标为(用含 b 的代数式表示）；(2)请你研究

18、在第一象限内可否存在点P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且 PBC是以点P为直角极点的等腰直角三角形？若是存在，求出点 P的坐标；若是不存在，请说明原由；(3)请你进一步研究在第一象限内可否存在点 Q，使得 QCO、 QOA 和 QAB中的任意两个三角形均相似 （全等可看作相似的特别情况） 若是存在，求出点 Q的坐标；若是不存在，请说明原由。20、已知：如图一，抛物线yax2bxc与 x 轴正半轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，直线yx 2 经过A、 C 两点，且AB=2。（1）求抛物线的剖析式；（2）若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正

19、方向平移， 且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、D，同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒2 个单位速度运动，（如图二）；当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE与点 P 都停止运动，连DP，若点 P 运动时间EDOP为 t 秒 ；设 s，当 t 为何值时， s 有最小值，并求出最小值。EDOP（3）在（ 2）的条件下，可否存在 t 的值，使以 P、B、D 为极点的三角形与 ABC相似；若存在，求 t 的值；若不存在，请说明原由。 21、如图，抛物线 y=（ x 1）2 +c 与 x 轴交于 A，B（A， B 分别在 y 轴的左右两侧）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，极点为

20、 D，已知 A（ 1， 0）。（1）求点 B， C 的坐标；（2）判断 CDB 的形状并说明原由；（3）将 COB沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（ 0 t 3）获取 QPE。 QPE 与 CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围。222、如图，已知抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（ 3，0），与 y 轴的交点为 B（ 0，3），其极点为 C，对称轴为 x=1 。（1）求抛物线的剖析式；（2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当 ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标；（3）将 AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度 （ 0 m3）获取另一个三角形， 将所得的三角形与 ABC 重叠部分的面积记为 S，用 m 的代数式表示 S。