二次函数和相似三角形的综合应用.docx

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二次函数和相似三角形的综合应用

二次函数和相似三角形的综合应用

1

1、如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴订交于点B、C，与y轴订交

m

于点E，且点B在点C的左侧。

（1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值；

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在第四象限内，抛物线上可否存在点F，使得以点B、C、F为极点的三角形与△BCE

相似？

若存在，求m的值；若不存在，请说明原由。

2、如图，已知抛物线

y

k（x2）（x4）（k为常数，且k

0）与x轴从左至右依次交

8

于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y

3x

b与抛物线的另一交点为D。

3

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为极点的三角形与△ABC相似，求k

的值；

（3）在

（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。

当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

3、如图，在直角坐标系中有素来角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此

三角形绕原点

O逆时针旋转

90°，获取△

DOC。

抛物线

y

ax2

bx

c经过点

A、B、C。

（1）求抛物线的剖析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为

t。

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标；

②可否存在一点P，使△PCD的面积最大？

若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明原由。

4、在平面直角坐标系中，抛物线

yax2

bx3与x轴的两个交点分别为

A（-3，0）、B

（1，0），过极点C作CH⊥x轴于点H。

（1）直接填写：

a=

，b=

，极点C的坐标为

；

（2）在y轴上可否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？

若存在，求出点D

的坐标；若不存在，说明原由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与极点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标。

5、已知抛物线C1：

y=a（x+1）2﹣2的极点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）。

（1）求A点的坐标和抛物线C1的剖析式；

（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后获取抛物线C2，且抛物线C2与直线AB订交

于C，D两点，求S△OAC：

S△OAD的值；

（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在

（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含极点）运动，直线m过点C和点E。

问：

可否存在直线m，使直线l，m与x轴围

成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？

若存在，求出直线m的剖析式；若不存

在，说明原由。

6、如图，已知：

如图，直线

y=-x＋+

与

分别从A、B两点同时出发向

O点运动（运动到

线y=a（x－k）2＋h（a＜0）向来经过点

E，过

x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、EO点停止）；对称轴过点A且极点为M的抛物E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，

连接DE、DF、AG、BG。

设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，

运动时间为t秒。

（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；

（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？

判断此时△AFG与△AGB可否相似，并说明原由；

（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的极点M恰幸好BG上时，求抛物线的剖析式。

备用图

7、如图，二次函数yax2

bx（a0）

的图象经过点（

1，4），对称轴是直线x

3

，线

平行于x轴，交抛物线于点

2

段

AD

。

在

y

轴上取一点

（

，），直线

AC

交抛物线于点

，

D

C0

2

B

连接OA，OB，OD，BD。

（1）求该二次函数的剖析式；

（2）若点P为抛物线上的一个动点（不与点

O重合），且SDBO

SDBP，求点P的坐标；

（3）在坐标平面内可否存在点E使△EOD∽△AOB？

若存在，求出点E的坐标，若不存在，

．．．．．

请说明原由。

8、如图

1，矩形

ABCD的边

AD在

y轴上，抛物线

y=x2-4x+3

经过点

A、点

B，与

x轴交于点

E、点

F，且其极点

M在

CD上。

（1）请直接写出以下各点的坐标：

A

，B

，C

，D

；

（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2。

①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；

②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值。

9、如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到

点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）。

（1）求直线BD和抛物线的剖析式；

（2）在第一象限内的抛物线上，可否存在一疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得

以M、O、N为极点的三角形与△BOC相似？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明原由；

（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标。

10、如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G。

（1）求抛物线的剖析式；

（2）若点P为抛物线上一个动点，且在CD上方，过点P的直线x=m与线段CD、AC、x

轴分别交于点F、M、E，连接PC，则可否存点P，使得以P、C、F为极点的三角形和△AEM相似？

若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明原由。

（3）在

（2）的条件下判断△PCM的形状，并说明原由。

11、平面直角坐标系中，四边形

ABCD是菱形，点

C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的

正半轴上，O为坐标原点，连接

OB，抛物线y=ax2

+bx+c经过C、O、A三点．

（1）直接写出这条抛物线的剖析式；

（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点

E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCD的面

积为S，当S≤1

S2

时，求点E的纵坐标n的取值范围；

2

1

4

（3）如图2，已知D（0，﹣5）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以

5个

2

5

单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线

O﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），可否存在实数t，使得以P、Q、B

为极点的三角形与△ADO相似？

若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明原由。

12、如图1，已知菱形ABCD的边长为23，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点。

点

D的坐标为（3，3），抛物线y=ax2＋b（a≠0）经过AB、CD两边的中点。

（1）求这条抛物线的函数剖析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作

直线BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF。

设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜

t＜3）

①可否存在这样的t，使△ADF的周长最小？

若存在，求出②若△ADF与△DEF相似，求出t的值。

t的值；若不存，请说明原由。

2

C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，

13、如图，二次函数y=ax+bx+c的图象的极点

其中A（﹣1，0），直线l：

x=m（m＞1）与x轴交于D。

（1）求二次函数的剖析式和

B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为极点的三角形与以B、C、O

为极点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，在抛物线上可否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直

角极点的等腰直角三角形？

若是存在，央求出点Q的坐标；若是不存在，请说明原由。

14、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点

A（1，0），B（2，0），C（0，-2），

直线x=m（m>2）与x轴交于点D。

（1）求二次函数的剖析式；

（2）在直线x=m（m>2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为极点的三角形

与以A、O、C为极点的三角形相似，求点E的坐标（用含m的式子表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，抛物线上可否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？

若存在，央求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明原由。

15、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点。

（1）求这条抛物线的剖析式；

（2）E为抛物线上一动点，可否存在点E使以A、B、E为极点的三角形与△COB相似？

若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明原由；

（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线订交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数。

16、如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E。

（1）求抛物线的函数剖析式；

（2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；

（3）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P

分别与点O、A、N对应）的点P的坐标。

17、已知：

如图，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴

于C（0，﹣2），过A，C画直线。

（1）求二次函数的剖析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H。

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

②若⊙M的半径为45，求点M的坐标。

5

2

18、如图，抛物线y=ax+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点

C（0，1）。

（1）求抛物线的剖析式，并求出点B坐标；

（2）如图1，过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD

的周长；（结果保留根号）

（3）如图2，在x轴上方的抛物线上可否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，

使以B、P、E为极点的三角形与△CBD相似？

若存在央求出P点的坐标；若不存在，请说

明原由。

19、如图，已知抛物线

y=

1

x2

1

b

1x

b（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交

4

4

4

于点A、B（点A位于点B的左侧），与

y轴的正半轴交于点C。

（1）点B的坐标为

，点C的坐标为

（

用含b的代数式表示）；

（2）请你研究在第一象限内可否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点

P为直角极点的等腰直角三角形？

若是存在，求出点P的坐标；若是不存在，请说明原由；

（3）请你进一步研究在第一象限内可否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特别情况）若是存在，求出点Q的坐标；若是不存在，请说明原由。

20、已知：

如图一，抛物线

y

ax

2

bx

c

与x轴正半轴交于

A、B两点，与

y轴交于点

C，直线

y

x2经过

A、C两点，且

AB=2。

（1）求抛物线的剖析式；

（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别

交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒

2个单位速度运动，

（如图二）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连

DP，若点P运动时间

ED

OP

为t秒；设s

，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值。

ED

OP

（3）在

（2）的条件下，可否存在t的值，使以P、B、D为极点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明原由。

21、如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，

与y轴的正半轴交于点C，极点为D，已知A（﹣1，0）。

（1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明原由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）获取△QPE。

△QPE与△CDB重叠部

分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。

2

22、如图，已知抛物线y=ax+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，

3），其极点为C，对称轴为x=1。

（1）求抛物线的剖析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）获取另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S。