高考联盟开学大联考数学试题含答案新教材新高考.docx

1、高考联盟开学大联考数学试题含答案新教材新高考绝密启用前2021 年 03 月高考联盟开学大联考数 学 试 题满分：150；考试时间：120 分钟；命题人：数学学科组学校： 姓名： 班级： 考号：题号一二三四总分得分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

2、题目要求的1.若集合 A = y | y = 2x , x R, B = y | y = x2 , x R ,则( )A.A BB.A BC.A = BD.A B = 2.已知 a R ,则“ 0 a 0 ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件3.在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点O，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点 F ，若 ， ，则 （ ）AC = a1 BD = b1 AF =1 1 2 1 1 2 A.a + b4 2B.a + b2 4C.a + b3 3D.a + b2 34.5 名同学相约去国家博

3、物馆参观“伟大的变革庆祝改革开放 40 周年大型展览”,参观结束后 5 名同学排成一排照相留念,若甲、乙二人不相邻,则不同的排法共有( )A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.120 种5.著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好,隔裂分家万事休。”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数 f (x) =sin x + xcos x + x2在-, 的图像大致为( )A BC D6.已知抛物线 y2= 8x 的焦点到双曲线 E : x2a2y2- = b2 1(a 0, b 0) 的渐近

4、线的距离不大于,则双曲线 E 的3离心率的取值范围是( )A. (1, 2 B. (1, 2 C. 2, +) D. 2, +)7.已知三棱锥 P - ABC 中, ABC 是以角 A 为直角的直角三角形, AB = AC = 2 , PB = PC , PA =ABC 的外接圆的圆心, cosPAO = 2 7 ,那么三棱锥 P - ABC 外接球的体积为( )14,O1 为A.731 7B.7 143D. 78.C. 2 14已知定义在1 , e 上的函数 f (x) 满足 f (x) = f ( 1 ) ,且当 x 1 ,1 时, f (x) = x ln x +1，若方程e x ef

5、(x) - 12x - a = 0 有三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( )A. ( 1 ,1- 13e eB. ( 1 ,1- 3 3e 2eC. (1- e- 1 12 ,1- eD. (1- e- 1 32 ,1- 2e二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。9.已知 i 为虚数单位,则下列结论正确的是( )A.复数 z = 1 + 2i 的虚数部为 3 1 - i 2B.复数 z = 2 + 5i 的共轭复数 z = -5 - 2i-iC.复数 z

6、 = 1 - 1 i 在复平面对应的点位于第二象限2 2D.复数 z 满足 1 R ,则 z Rz10.已知 a 0，b 0 ，则下列结论正确的是( ) A若 a + b = 2，则 ab 1B若c 0，则 a log 2020 0，则 ea-b 0) ,则下列说法正确的是( )2 2 2A.若 y = f (x) 的最小正周期为 ,则= 2B.若 f (x) 在(0, ) 内无零点,则0 16C.若 f (x) 在(0, ) 内单调,则0 23D.若= 2 时,直线 x = - 2 是函数 f (x) 图象的一条对称轴.312.x2 + 4如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的 P 点的距离是

7、 2 km, P 点正东方向12 km 处有一个城镇.假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3 km / h ,步行的平均速度为5 km / h ,时间 t (单位: h )表示他从小岛到城镇的时间, x (单位: km )表示此人将船停在海岸距 P 点处的距离.设u =+x,v =x2 + 4 - x ,则( )A.函数 v = f (u ) 为减函数B.15t - u - 4v = 32C.当 x = 1.5 时,此人从小岛到城镇花费的时间最少D.当 x = 4 时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.谈祥柏先生是我国著名的数

8、学科普作家,他写的数学百草园、好玩的数学、故事中的数学等书,题材广泛、妙趣横生,深受广大读者喜爱.下面我们一起来看好玩的数学中谈老的一篇文章五分钟内挑出埃及分数：文章首先告诉我们,古埃及人喜欢使用分子为 1 的分数(称为埃及分数).如果两个埃及分数 1 与 13 15的和可以表示成 25等.从1 1 1 1 1, , , , ,2 3 4 100 101这 100 个埃及分数中挑出不同的 3 个,使得它们的和为 1,这三个分数是 (按照从大到小的顺序排列)14.设(2x2 + 1)5 = a+ a x2 + a x4 + + a x10，则 a 的值为 .15.若数列a 满足： a = 1,

9、a= 1, a = a + a(n 3 ), n N * ，则称数列a 为斐波那契数列斐波那契n 1 2n n -1n -2 n螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图 1 中的实线部分(正方形内的数字与 an为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90 的扇形)自然界中存在许多这样的图案， 比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等(如图 2)若一母线长为 16 的圆锥的底面周长恰好等于图 1 的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为 .16.在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的 石子,它的主要成分是碳酸钙.某雕刻

10、师计划在底面边长为 2 m,高为 4m 的正四棱柱形的石料ABCD一A1 B1C1 D1 中,雕出一个四棱锥O - ABCD 和球 M 的组合体,其中O 为正四棱柱的中心,当球的半径r 取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重 kg.(其中 3.14 石料的密度= 2.4g / cm3 ,质量m = V ).四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 + 2a2 + 3a3 + + nan =(1)求数列an 的通项公式；(2)设 1 的前 n 项和为T ，证明： T 11 n (n + 1

11、)(n + 2)3, n N * S n n n 918（12 分）如图，在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a,b, c ，在 b = c ； 2b cos C + 3c = 2a ； sin A - sin C = sin B + sin C b a + c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答已知 a = 1, C = , D 是边 AC 上的一点， ADB = ，若 ，求ABD 的面积6 419（12 分）2019 年 6 月 25 日,固体废物污染环境防治法(修订草案)初次提请全国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定草案提出,国家推行生活

12、垃圾分类制度为了了解人民群众对垃圾分 类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会, 通过随机抽样,得到参加问卷调查的 1000 人(其中 450 人为女性)的得分(满分：100 分)数据,统计结果如表所 示：得分30, 40)40,50)50, 60)60, 70)70,80)80,90)90,100男性人数15901301001256030女性人数1060701501004020(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N (, 210) , 近似为这 1000 人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)

13、,请利用正态分布的知识求 P (50.5 Z 94) ；(2)把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于 60 分的)和“不太了解”(低于 60 分的)两类,请完成如下2 2 列联表,并判断是否有99% 的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关?不太了解比较了解合计男性女性合计(3)从得分不低于80 分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10 名.再从这10 人中随机抽取3 人,求抽取的3人中男性人数的分布列及数学期望.210参考数据: 14.5 ；若 X N (,2 ) ,则P (- X +) = 0.6827 , P (- 2 X + 2) = 0.9545 , P (- 3 X b2 1

14、 (a b 0) 的离心率为 2,点 P ( , ) 在C 上2 633 3(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点, H (0, - 1 ) ,试判断在椭圆C 上是否存在三个不同点Q, M , N (其中 M , N 的纵坐标不相等),2OM ON OQ满足 + = 1 ,且直线 HM 与直线 HN 倾斜角互补？若存在,求出直线 MN 的方程,若不存在,说明理2由.22（12 分）已知函数 f (x) = ln(2x + a)(x 0, a 0) ,曲线 y = f (x) 在点(1, f (1) 处的切线在 y 轴上的截距为ln 3 - 2 .3(1)求 a ；(2)讨论函数 g

15、(x) = f (x) - 2x(x 0) 和 h(x) = f (x) -n2x 2x + 1(x 0) 的单调性；(3)设 a = 2= ,求证： 5 - 2n+1 1 - 2 0(n 2)1 5 , an+1f (an )2An参考答案一单选题1.A 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.B 8.D二多选题9.ABD 10.ACD 11.BCD 12.AC三填空题1 1 113. , ,2 3 614.80 15.132 16.21952四解答题17.（1）因为 a+2a+3a+ + na= n(n + 1)(n + 2) ，所以 a= 1 2 3 = 2 ，1 2 3 n 3 1

16、 3当 n 2 时， a+2a+3a+ + (n - 1)a= (n - 1)n(n + 1) ，1 2 3n-1 3-得 nan= n(n + 1)(n + 2) - n(n - 1)(n + 1) = n(n + 1) ，3 3所以 an= n + 1 ，而 n = 1 时也适合此式,所以 an= n +1(n N* ).（2）证明： 1= 2 = 2 = 2 1 -1 ，Sn n(2 + n + 1)n(n + 3) 3 n n + 3 所以T = 2 1 - 1 + 1 - 1 + +1 - 1+ 1 - 1 ， n 3 4 2 5n - 1 n - 2n n + 3 = 2 1 +

17、1 + 1 - 1 - 1 - 1 0 ，故cos B = 3 ， 6 2 又 B 0, 5 ，故 B = ，所以 A = 2 . 6 6 3 由正弦定理：asin A= csin C，得 c = 3 .3在ABD 中，由正弦定理 c3= BD ，即 3 = BD ，解得 BD = 2 ，sinADBsin A 2 3 22 2sinABD = sin = sin - =3 2 - 1 2 = 6 - 2 ，3 4 12 2 2 2 2 4所以 S ABD= 1 AB BD sinABD = 3 - 3 .2 2419.(1)由题意知： = 35 0.025 + 45 0.15 + 55 0.

18、2 + 65 0.25 + 75 0.225 + 85 0.1 + 95 0. 05= 65 ,210210又50.5 65 - , 94 65 + 2 ,所以 P(50.5 Z ,1000 (235 310 - 315 140)2K 14.249 6.635375 625 550 450所以有99% 的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.(3)不低于80 分的被调查者的男女比例为3 : 2 ,所以采用分层抽样的方法抽取10 人中,男性为 6 人,女性为 4 人. 设从这10 人中随机抽取的3 人中男性人数为 ,则 的取值为0,1, 2,3C3 1 C 2C1 3P(= 0) = 4

19、= , P(= 1) = 4 6 = ,CC30103 310 10C1C 2 1 C3 1P(= 2) = 4 6 = , P(= 3) = 6 = ,CC263 310 10所以随机变量 的分布列为所以其期望E() =0123P13031012163 + 2 1 + 3 1 = 910 2 6 520.（1）证明：过点 E 作 EH BC 于点 H ，因为平面 BCE 平面 ABC ，又平面 BCE 平面 ABC = BC ， EH 平面 BCE ， 所以 EH 平面 ABC ，又因为 DA 平面 ABC ，所以AD / / EH ，因为 EH 平面 BCE ， DA 平面 BCE ，所以

20、 DA / / 平面 EBC ；（2）解：因为 DE 平面 BEC ，所以 DEB = DEC = ，2由 AB = AC 可知DB = DC,DE = DE ， DEB DEC ，则 BE = CE ，所以点 H 是 BC 的中点，连接 AH ，则 AH BC ，所以 AH 平面 EBC ，则 DE / / AH ， AH EH ，所以四边形 DAHE 是矩形.以 H 为坐标原点，分别以 HB, HA, HE 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，设 DA = 2a ，则 E(0, 0, 2a) 、 A(0, 3a, 0) 、 B(a, 0, 0) 、 D(0, 3a, 2a)

21、.设平面 ABD 的一个法向量为 m = ( x1, yP z1 ) ，又 AB = (a, -m 3a, 0) ，AD = (0, 0, 2a) .由 AB = 0 ，得 ax1 -3ay1 = 0 ，取y = 1 ，得 = ( 3,1, 0) . m = 02az = 0 1 m AD 1设平面 BDE 的一个法向量为 = ( x , y , z ) ，n 2 2 2因为 BD = (-a, 3a, 2a), BE = (-a, 0, 2a) .n 由 BD = a ，得 ax2 -3ay2 - 2az2 = 0 ，取z = 1 ，得 n = (2, 0,1) ； n = 0ax - 2a

22、z = 0 2 BE 2 2 15设二面角 A - BD - E 的平面角为 ，则 | cos=| cos = | m n | = ，m, n m | | n 5由题知二面角 A - BD - E 是钝角，则二面角 A - BD - E 的余弦值为 -15 .521.(1)由题意知可得 c =a3 , a2 - b2 = c2 ,28 +3a213b2= 1 ,解得 a = 2 , b = 1 ,y1则椭圆C 的方程为 x2 + 2 = ；4(2)由题意,直线 MN 的斜率存在且不为 0,设直线 MN 方程为 y = kx + m ,设点 M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) , x2联立 4+ y2 = 1,得(4k 2 + 1)x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0 , y = kx + m所以 x + x = -8km1 2 1 + 4k 2, x1 x2 =4m2 - 4 ,4k 2 + 1