高考联盟开学大联考数学试题含答案新教材新高考.docx
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高考联盟开学大联考数学试题含答案新教材新高考
绝密★启用前
2021年03月高考联盟开学大联考数学试题
满分：
150；考试时间：
120分钟；命题人：
数学学科组
学校：
姓名：
班级：
考号：
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（）
A.A⊆B
B.
A⊇B
C.
A=B
D.
A⋂B=∅
2.已知a∈R,则“00”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C.充要条件D．既不充分也不必要条件
3.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若
–––→→，–––→→，则–––→（）
AC=a
1→
BD=b
1→
AF=
1→1→
2→1→
1→2→
A.
a+b
42
B.
a+b
24
C.
a+b
33
D.
a+b
23
4.5名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革——庆祝改革开放40周年大型展览”,参观结束后5名同学排成一排照相留念,若甲、乙二人不相邻,则不同的排法共有（）
A.36种B.48种C.72种D.120种
5.著名数学家华罗庚先生曾说过:
“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好,隔裂分家万事
休。
”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数
图象的特征，如函数f（x）=
sinx+x
cosx+x2
在[-π,π]的图像大致为（）
A．B．
C．D．
6.已知抛物线y2
=8x的焦点到双曲线E:
x
2
a2
y2
-=>>
b21（a0,b0）的渐近线的距离不大于
则双曲线E的
3
离心率的取值范围是（）
A.（1,2]B.（1,2]C.[2,+∞）D.[2,+∞）
7.
已知三棱锥P-ABC中,△ABC是以角A为直角的直角三角形,AB=AC=2,PB=PC,PA=
△ABC的外接圆的圆心,cos∠PAO=27,那么三棱锥P-ABC外接球的体积为（）
14,O1为
A.
7π
3
17
B.
714π
3
D.7π
8.
C.214π
已知定义在[1,e]上的函数f（x）满足f（x）=f
（1）,且当x∈[1,1]时,f（x）=xlnx+1，若方程
exe
f（x）-1
2
x-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是（）
A.（1,1-1]
3ee
B.（1,1-3]
3e2e
C.（1-e
-11
2,1-]
e
D.（1-e
-13
2,1-]
2e
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全
部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是（）
A.复数z=1+2i的虚数部为3
1-i2
B.
复数z=2+5i的共轭复数z=-5-2i
-i
C.
复数z=1-1i在复平面对应的点位于第二象限
22
D.
复数z满足1∈R,则z∈R
z
10.已知a>0，b>0，则下列结论正确的是（）A．若a+b=2，则ab≤1
B．若c>0，则abb+c
C．若log2020>log2020>0，则ea-babb
D．若1+4=2，则a+b≥9
ab
11.已知f（x）=
2
3sinωx-cos2ωx+1（ω>0）,则下列说法正确的是（）
222
A.
若y=f（x）的最小正周期为π,则ω=2
B.
若f（x）在（0,π）内无零点,则0<ω≤1
6
C.若f（x）在（0,π）内单调,则0<ω≤2
3
D.若ω=2时,直线x=-2π是函数f（x）图象的一条对称轴.
3
12.
x2+4
如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km,P点正东方向12km处有一个城镇.假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h,步行的平均速度为5km/h,时间t（单位:
h）表示他从小岛到城
镇的时间,x（单位:
km）表示此人将船停在海岸距P点处的距离.设u=
+
x,v=
x2+4-x,则（）
A.函数v=f（u）为减函数
B.15t-u-4v=32
C.当x=1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少
D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家,他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书,题材广泛、妙趣横生,深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：
文章首先告诉我们,古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如果两个埃及
分数1与1
315
的和可以表示成2
5
等.从
11111
,,,,
234100101
这100个埃及分数中挑出不同的3个,使得它们的和
为1,这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）
14.设（2x2+1）5=a
+ax2+ax4+⋅⋅⋅+ax10，则a的值为.
15.若数列{a}满足：
a=1,a
=1,a=a+a
（n≥3）,n∈N*，则称数列{a}为斐波那契数列．斐波那契
n12
nn-1
n-2n
螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字与an
为所在正方形
的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90︒的扇形）．自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等（如图2）．若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为.
16.在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子,它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m,高为4m的正四棱柱形的石料
ABCD一A1B1C1D1中,雕出一个四棱锥O-ABCD和球M的组合体,其中O为正四棱柱的中心,当球的半径
r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重kg.（其中π≈3.14石料的密度ρ=2.4g/cm3,质量
m=ρV）.
四、解答题：
本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17（10分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan=
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设⎧1⎫的前n项和为T，证明：
T<11．
n（n+1）（n+2）
3
n∈N*．
S
⎨⎬
⎩n⎭
nn9
18（12分）
如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，在
①b=c；
②2bcosC+3c=2a；
③sinA-sinC=sinB+sinCba+c
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知a=1,C=π,D是边AC上的一点，∠ADB=π，若，求△ABD的面积．
64
19（12分）
2019年6月25日,《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出,国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人（其中450人为女性）的得分（满分：
100分）数据,统计结果如表所示：
得分
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70）
[70,80）
[80,90）
[90,100]
男性人数
15
90
130
100
125
60
30
女性人数
10
60
70
150
100
40
20
（1）由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ,210）,μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）,请利用正态分布的知识求P（50.5（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类,请完成如下
2⨯2列联表,并判断是否有99%的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关?
不太了解
比较了解
合计
男性
女性
合计
（3）从得分不低于80分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10名.再从这10人中随机抽取3人,求抽取的3
人中男性人数的分布列及数学期望.
210
参考数据:
①
≈14.5；②若XN（μ,σ2）,则
P（μ-σ③
P（K2≥k）
0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=
n（ad-bc）2
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）,n=a+b+c+d.
20（12分）
如图，已知平面BCE⊥平面ABC，直线DA⊥平面ABC，且DA=AB=AC.
（1）求证：
DA//平面EBC；
（2）
若∠BAC=π，DE⊥平面BCE，求二面角A-BD-E的余弦值.
3
21（12分）
2
已知椭圆C:
x
a2
y2
3
+=>>
b21（ab0）的离心率为2
点P（,）在C上．
26
3
33
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）
设O为坐标原点,H（0,-1）,试判断在椭圆C上是否存在三个不同点Q,M,N（其中M,N的纵坐标不相等）,
2
OMONOQ
满足––––→+–––→=1–––→,且直线HM与直线HN倾斜角互补？
若存在,求出直线MN的方程,若不存在,说明理
2
由.
22（12分）
已知函数f（x）=ln（2x+a）（x>0,a>0）,曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线在y轴上的截距为ln3-2.
3
（1）求a；
（2）讨论函数g（x）=f（x）-2x（x>0）和h（x）=f（x）-
n
2x2x+1
（x>0）的单调性；
（3）设a=2
=,求证：
5-2n+1<
1-2<0（n≥2）
15,an+1
f（an）
2An
参考答案
一．单选题
1.A2.A3.C4.C5.D6.B7.B8.D
二．多选题
9.ABD10.ACD11.BCD12.AC
三．填空题
111
13.,,
236
14.8015.132π16.21952
四．解答题
17.
（1）因为a
+2a
+3a
++na
=n（n+1）（n+2）①，所以a
=1⨯2⨯3=2，
123n313
当n2时，a
+
2a
+
3a
++（n-1）a
=（n-1）n（n+1）②，
123
n-13
①-②得nan
=n（n+1）（n+2）-n（n-1）（n+1）=n（n+1），
33
所以an
=n+1，而n=1时也适合此式,所以an
=n+1（n∈N*）.
（2）证明：
1
=2=2
=2⋅⎛1-
1⎫，
Snn（2+n+1）
n（n+3）3
çnn+3⎪
⎝⎭
所以T=2⎛1-1+1-1++
1-1
+1-1⎫，
n3ç
425
n-1n-2
nn+3⎪
⎝⎭
=2⎛1+1+1-1-1
-1⎫<11
3ç23n+1n+2n+3⎪9
⎝⎭
18.若选择①，b=c，则在△ABC中B=C=π,A=2π，
63
由正弦定理
a
sinA
=c
sinC
得c=3.
3
在△ABD中,由正弦定理c
3
=BD，即3=BD，解得BD=2，
sin∠ADB
sinA232
22
sin∠ABD=sinπ=sin⎛π-π⎫=
3⨯2-1⨯2=6-2，
34
ç⎪
12⎝⎭
22224
所以S△ABD
=1AB⨯BD⨯sin∠ABD=3-3，
224
若选择②，2bcosC+
3c=2a，则2sinBcosC+
3sinC=2sinA=2sin（B+C），化简得
3sinC=2cosBsinC，因为C∈⎛0,5π⎫，所以sinC>0，故cosB=3，
ç6⎪2
⎝⎭
又B∈⎛0,5π⎫，故B=π，所以A=2π.
ç6⎪63
⎝⎭
由正弦定理：
a
sinA
=c
sinC
，得c=3.
3
在△ABD中，由正弦定理c
3
=BD，即3=BD，解得BD=2，
sin∠ADB
sinA232
22
sin∠ABD=sinπ=sin⎛π-π⎫=
3⨯2-1⨯2=6-2，
34
ç⎪
12⎝⎭
22224
所以S△ABD
=1AB⨯BD⨯sin∠ABD=3-3.
224
19.
（1）由题意知：
μ=35⨯0.025+45⨯0.15+55⨯0.2+65⨯0.25+75⨯0.225+85⨯0.1+95⨯0.05=65,
210
210
又50.5≈65-,94≈65+2,
所以P（50.522
（2）由题意得列联表如下：
不太了解
比较了解
合计
男性
235
315
550
女性
140
310
450
合计
375
625
1000
2=≈>
1000⨯（235⨯310-315⨯140）2
K14.2496.635
375⨯625⨯550⨯450
所以有99%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.
（3）不低于80分的被调查者的男女比例为3:
2,所以采用分层抽样的方法抽取10人中,男性为6人,女性为4人.设从这10人中随机抽取的3人中男性人数为ξ,则ξ的取值为0,1,2,3
C31C2C13
P（ξ=0）=4=,P（ξ=1）=46=,
C
C
30
10
33
1010
C1C21C31
P（ξ=2）=46=,P（ξ=3）=6=,
C
C
2
6
33
1010
所以随机变量ξ的分布列为
所以其期望
E（ξ）=
ξ
0
1
2
3
P
1
30
3
10
1
2
1
6
3+2⨯1+3⨯1=9
10265
20.
（1）证明：
过点E作EH⊥BC于点H，
因为平面BCE⊥平面ABC，又平面BCE⋂平面ABC=BC，EH⊂平面BCE，所以EH⊥平面ABC，
又因为DA⊥平面ABC，所以
AD//EH，
因为EH⊂平面BCE，DA⊄平面BCE，所以DA//平面EBC；
（2）解：
因为DE⊥平面BEC，所以∠DEB=∠DEC=π，
2
由AB=AC可知
DB=DC,
DE=DE，△DEB≅△DEC，则BE=CE，
所以点H是BC的中点，连接AH，则AH⊥BC，
所以AH⊥平面EBC，则DE//AH，AH⊥EH，所以四边形DAHE是矩形.
以H为坐标原点，分别以HB,HA,HE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
设DA=2a，则E（0,0,2a）、A（0,3a,0）、B（a,0,0）、D（0,3a,2a）.
→
设平面ABD的一个法向量为m=（x1,yPz1），
–––→
又AB=（a,-
⎧m⋅–––→
3a,0），
⎧
–––→
AD=（0,0,2a）.
由⎪AB=0，得⎪ax1-
3ay1=0，取
y=1，得
→=（3,1,0）.
⎨–––→
m⋅=0
⎨2az=01m
⎩⎪AD⎩⎪1
设平面BDE的一个法向量为→=（x,y,z），
n
–––→–––→
222
因为BD=（-a,3a,2a）,BE=（-a,0,2a）.
⎧n⋅–––→⎧
由⎪BD=a，得⎪ax2-
3ay2-2az2=0，取
z=1，得n=（2,0,1）；
⎨–––→
n⋅=0
⎨ax-2az=02
⎩⎪BE
⎩⎪22
→→
15
设二面角A-BD-E的平面角为θ，则|cosθ=|cos<→→>∣=|m⋅n|=，
⋅
m,n
→→
m||n∣5
由题知二面角A-BD-E是钝角，则二面角A-BD-E的余弦值为-
15.
5
21.
（1）由题意知
可得c=
a
3,a2-b2=c2,
2
8+
3a2
1
3b2
=1,解得a=2,b=1,
y
1
则椭圆C的方程为x2+2=；
4
（2）由题意,直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN方程为y=kx+m,
设点M（x1,y1）,N（x2,y2）,
⎧x2
⎨
联立⎪4
+y2=1
得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0,
⎪⎩y=kx+m
所以x+x=-8km
121+4k2
x1x2=
4m2-4,
4k2+1
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