中考数学相似专题一.docx

1、中考数学相似专题一中考数学相似专题一：三角形内接四边形考试时间：45分钟；命题人：衡水九中学校: 姓名： 级： 考题号-一一二.三总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明1.如图，已知在 Rt ABC中，AB=AC=2在厶ABC内作第一个内接正方形 DEFG 然后取GF的中点P,连接PD PE在APDE内作第二个内接正方形 HIKJ;再取 线段KJ的中点Q,在厶QHI内作第三个内接正方形 依次进行下去，则第n个内 接正方形的边长为（ ）A、 B 、 C 、 D 、【答案】D.【解析】试题分析：首先根据勾股定理求得 BC的长，进行利用等腰直角三角形的性质求 出DE的长，再利用锐角三角函

2、数的关系得出，即可得出正方形边长之间的变化 规律，得出答案即可试题解析：在RtAABC中，AB=AC=2/ B=Z C=45 ，BC=在 ABC内作第一个内接正方形DEFG EF=EC=G=BD DE=BC DE=取GF的中点P,连接PD PE,在APDE内作第二个内接正方形 HIKJ，再取线 段KJ的中点Q在厶QHI内作第三个内接正方形 依次进行下去， DH=EI则第n个内接正方形的边长为故选D.考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质.2.如图，Rt ABC中, / ACB=R ,AC=2BC=2作内接正方形 ABDC;在 Rt AAB中，作内接正方形 ADDA；在Rt AAB中

3、，作内接正方形 ABsDA;；依 次作下去，则第n个正方形AnBnDhAn-i的边长是（ ）A. B . C . D .【答案】D【解析】试题分析：第一个正方形的边长为，第二个正方形的边长为；第三个正方形的边 长为，则第n个正方形的边长为.考点：规律题.3.某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条.如图所示：在Rt ABC中，AC=30cm BC=40cm依此裁下宽度为1cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5cm则能裁得的纸条的张数是（ ）A. 24 B . 25 C . 26 D . 27【答案】C.【解析】试题分析：如图，设EF=5cm T裁出的是矩形纸条，二

4、EF/ BC, ACB EF: BC=AE AC,即卩 5: 40=AE 30，解得 AE=3.75cm 二 CE=AG AE=30- 3.75=26.25cm 裁得的纸条的长都不小于 5cm,二CEy，所以小明同学的方法符合要求考点：相似三角形的应用11.有一块三角形余料 ABC它的边BC=120mm高AD=80mm要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB AC上.(1)问加工成的正方形零件的边长是多少 mr?小颖善于反思，她又提出了如下的问题.(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方 形所组成，如图1此时，这个矩形零件的两条

5、边长又分别为多少 mm请计算.【答案】(1) 48mm (2) mm，mm【解析】试题分析：(1)根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，从而得出 边长之比，得到，进行求出正方形的边长；(2)设PN=2y(mr)，贝U PQ=y(mm，然后根据相似三角形对应高的比等于相 似比列出比例式求出即可.试题解析：(1)设正方形零件的边长为a，在正方形 PNMQK PN/ BC, PQ/ AD, APWA ABC, BPQ BAD，?即：解得：a=48.即正方形零件的边长为48mm(2)设矩形的边长 PN=2y( mm，贝U PQ=y( mm,由条件可得 APWA ABC ?即，解得y=， PN=

6、 (mr)i，答：这个矩形零件的两条边长分别为 mm mm考点：相似三角形的应用.12.如图，在等边中，于点，点在边上运动，过点作与边交于点，连结，以为邻 边作，设与重叠部分图形的面积为，线段的长为（1） 求线段的长（用含的代数式表示）；（2） 当四边形为菱形时，求的值；（3） 求与之间的函数关系式；（4） 设点关于直线的对称点为点，当线段的垂直平分线与直线 相交时，设其交 点为，当点与点位于直线同侧（不包括点在直线上）时，直接写出的取值范围.【答案】（1） PE=x（2） x=3（3） y=-+3x 或 y=（4） Ov xv 3-或 3v xv 3+【解析】试题分析：（1）根据平行和等边三

7、角形证得 APE是等边三角形，然后求得结 论；（2） 根据菱形的性质证得PE=ED然后根据等边三角形的性质证得 PE=AEEC=ED 因此可得ED=AE= EC由此可得出结果；（3） 根据勾股定理和三角形的面积可求得解析式，但是应分为两种情况讨论：当Ovxw3寸，如图；当3vxv6时，如图；（4） 正确画出图形，结合图形分析，确定 x的取值范围.试题解析：解：（1） ABC为等边三角形/ BACM B=Z C=60 PE/ BC/ APE B=60 ，/ AEP2 C=60 APE是等边三角形 PE=AP=x( Ov xv 6)(2)四边形PEDF是菱形PE=ED PE=AEED=AEEAD=

8、ADE ABC为等边三角形，ADL BC于点DZ EADM ADE=30 , / ADC=90Z CDEZ C=60EC=ED=x AC=6AE+EC=6即 x+x=6x=3(3)当Ovxw3寸，如图y=x (6-x ) =-+3x当3vxv6时，如图y= (3-x ) (6-x )=(4)Ov xv 3-或 3v xv 3+提示：如图考点：等边三角形，平行四边形，菱形，三角形的面积13.（本题满分10分）如图，C为/AOB的边0A上一点，0C= 6, N为边0B上 异于点0的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ/ 0A交0B于点Q,PM/ OB 交0A于点M（1） 若/A0B= 60

9、o, 0Mk4，0Q= 1,求证：CNL0B（2） 当点N在边0B上运动时，四边形0MP始终保持为菱形.1问：一的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由.2设菱形0MP的面积为S1， N0C勺面积为求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）一的值不发生变化，理由见解析； 0VW【解析】试题分析：（1）过P作PEL0A于 E,易证四边形0MP为平行四边形根据三 角函数求得PE的长，再根据三角函数求得 / PCE的度数，即可得/ CPMf90o, 又因 PM/ 0B 即可证明 CNL0B （2）设 0M= x, 0N= y,先证 NQRA N0C 即可得，把x, y代入整

10、理即可得的值.过P作PEI0A于 E,过N作NFL0A 于F,可得S = 0M PE S2 = 0C- NF所以=.再证 CPMbCN0所以=，用 x表示出与x的关系，根据二次函数的性质即可得的取值范围.试题解析：（1）过P作PEI0A于 E. t PQ/ 0A PM/ 0B二四边形0MP为平行四边形. PM= 0Q= 1, / PM昌/ A0B= 60o, PE= PM- sin60o=, ME=,CE= OC 0M- ME=,二 tan / PCE= = ,/ PCE= 30o, / CPMk 90o,又 TPM/OB, aZCN0=ZCPM= 90 o，即 CNLOB.（2）一的值不发生

11、变化. 理由如下： 设 OM= x, ON= y. 四边形 OMP为菱形，二 OQ= QP= OM= x, NQ= y x. PQ/ OA / NQPMO .又 I/ QNPMONC :. NQRANOC 二 =，即=,.6y 6x = xy.两边都除以 6xy，得一=，即一=.过P作PEOA于 E,过N作NF丄OA于 F,则 S = OM PE 3= OC NF PM/ OB / MCP/O .又 I/ PCM/NCO CPMb CNO.= =一 (x一3) ?+.v 0x6,由这个二次函数的图像可知，0VW考点：四边形、相似三角形、二次函数综合题 14.如图1,矩形ABCD中, AB=4,

12、 AD=3把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点 E处，AE交CD于点F,连接DE(1)求证： DE9A ED；(2)求DF的值；(3)如图2,若P为线段EC上一动点，过点P作AAEC的内接矩形，使其定点 Q落在线段AE上，定点M N落在线段AC上，求当线段PE的长为何值时，矩形 PQM的面积最大？【答案】(1)见解析(2)( 3) PE=，矩形PQM的面积最大.【解析】试题分析：(1 )根据图形的折叠可得： AB=AE,BC=CE,矩形的性质可得：AD二BC,CD二AB然后可得 AD=CE,AE=CD, DE=DE所以用 sss 可证明 DECA ED；(2)设DF=x,根据条件可证AF=CF然

13、后再Rt ADF中，禾U用勾股定理可求出 x的值；(3)设PE=x(0vxv 3),矩形PQMN勺面积为S,首先根据勾股定理求出AC的长，然后利用 PQ/CA得出，从而可用x表示出PQ的长或者利用 EPQo ECA的性质，用x表示出PQ的长，过E作EGLAC于G,利用Rt AEC 的面积求出EG的长，然后利用平行线分线段成比例定理或者 EPQo ECA的性 质，用x表示出PN的长，从而得出S与x的函数关系式，最后利用二次函数的 性质可确定x的值以及S的最大值.试题解析：(1)证明：由矩形的性质可知 ADCA CE， AD=CE DC=EA / ACDM CAE在 DECWA EDA中 DEC

14、ED(SSS ;解：如图 1，vZ ACDM CAE 二 AF=CF设 DF=x,则 AF=CF=4 x，在 RTADF中, 32+x2= (4 -x) 2,解得；x=，即 DF=如图2,由矩形PQM的性质得PQ/ CA又 v CE=3 AC=5设 PE=x( Ovxv 3),贝U，即卩 PQ=过 E 作 EGLAC 于 G 则 PN/ EG又 v 在 Rt AEC中, EG?AC=AE?CE解得 EG=,即 PN=(3-x)设矩形PQM的面积为S贝U S=PQ?PN=x2+4x=- +3 (0vxv3)所以当x=,即PE，矩形PQM的面积最大。考点：1.矩形的性质；2.折叠的性质；3.勾股定

15、理；4.比例线段；5.二次 函数的性质.15.(本题满分12分) 如图， ABC为一锐角三角形，BC=12 BC边上的高AD=8点Q M在边BC上， P, N分别在边AB AC上，且PNM为矩形.(1)设MN=用表示PN的长度；(2)当MN长度为多少时，矩形PNM(的面积最大，最大面积是多少？(3)当MN长度为多少时， APN的面积等于 BPQ与 CMN之和？【答案】(1);( 2) MN=4 24;( 3) 4.【解析】试题分析：(1)由PNM(为矩形，得到PN/ BC,从而 APWAABC所以，即 可得出结论；(2)由二，配方即可得到结论；(3)由，又，得到，解出，由此得到结论.试题解析：(1) T PNM为矩形，二 PN/ BC, APWAABC，二，即；(2)=，二当时，矩形PNM(的面积最大，最大为24；(3) v，又，所以，解之得：，当MN长度为4时， APN的面积等于 BPQ 与厶CMN之和.考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质.Power by YOZOSOFT