中考数学相似专题一.docx

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中考数学相似专题一

中考数学相似专题一：

三角形内接四边形

考试时间：

45分钟；命题人：

衡水九中

学校:

姓名：

级：

考

题号

-一一

■——二

.——三

总分

得分

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=2在厶ABC内作第一个内接正方形DEFG然后取GF的中点P,连接PDPE在APDE内作第二个内接正方形HIKJ;再取线段KJ的中点Q,在厶QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为（）

A、B、C、D、

【答案】D.

【解析】

试题分析：

首先根据勾股定理求得BC的长，进行利用等腰直角三角形的性质求出DE的长，再利用锐角三角函数的关系得出，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可•

试题解析：

•••在RtAABC中，AB=AC=2

•••/B=ZC=45，BC=

•••在△ABC内作第一个内接正方形DEFG

•••EF=EC=G=BD

•••DE=BC

•••DE=

•••取GF的中点P,连接PDPE,在APDE内作第二个内接正方形HIKJ，再取线段KJ的中点Q在厶QHI内作第三个内接正方形……依次进行下去，

•••DH=EI

则第n个内接正方形的边长为

故选D.

考点：

1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质.

2.如图，Rt△ABC中,/ACB=R£,AC=2BC=2作内接正方形ABDC;在Rt△AAB

中，作内接正方形ADDA；在Rt△AAB中，作内接正方形ABsDA;……；依次作下去，则第n个正方形AnBnDhAn-i的边长是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

试题分析：

第一个正方形的边长为，第二个正方形的边长为；第三个正方形的边长为……，则第n个正方形的边长为.

考点：

规律题.

3.某公司在布置联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸

条.如图所示：

在Rt△ABC中，AC=30cmBC=40cm依此裁下宽度为1cm的纸条，

若使裁得的纸条的长都不小于5cm则能裁得的纸条的张数是（）

A.24B.25C.26D.27

【答案】C.

【解析】

试题分析：

如图，设EF=5cmT裁出的是矩形纸条，二EF//BC,•••△ACB

•••EF:

BC=AEAC,即卩5:

40=AE30，解得AE=3.75cm二CE=AGAE=30-3.75=26.25cm裁得的纸条的长都不小于5cm,二CE<26.25cm：

纸条宽度为1cm二CE最大是26cm•••最多可以裁得的纸条的张数为26.故选C.

考点：

1.相似三角形的应用；2.探究型.

4.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别

为S1，S2,则S1+S2的值为（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】B.

【解析】

试题分析：

如图，

设正方形S的边长为X，

•••△ABC^H△CDE都为等腰直角三角形，

•AB=BCDE=DCZABCMD=9C°，

•sinZCAB=sin45=

即AC=BC同理可得：

BC=CE=CD

•AC=BC2CD又AD=AC+CD=6

•CD=2

•EC=22+22,即卩EC=2

•••Si的面积为eC=2X2=8;

vZMAOHMOA=4°,

•AM=M,

vMO=M,N

•AM=MJN

•M为AN的中点，

•S2的边长为3,

•S2的面积为3X3=9,

•S4+62=8+9=17.

故选B.

考点：

1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质.

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

5.如图，矩形EFGF内接于△ABC且边FG落在BC上.若BC=3AD=2EF=EH那么EH的长为

【答案】.

【解析】

试题分析：

•••四边形EFGH是矩形，•••EH//BC,：

AAEHh^ABC,vAMLEH,ADLBC,•••,设EH=3x则有EF=2xAM=ADEF=2-2x,•,解得：

x=，则EH=故答案为：

.

考点：

1.相似三角形的判定与性质；2.矩形的性质；3.应用题.

6.（3分）（2015?

佛山）如图，在Rt△ABC中,AB=BC/B=90°,AC=10四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点DE、F在三角形的边上）.则此正方形的面积是

【答案】25

【解析】

试题分析：

在Rt△ABC中，根据勾股定理可知，然后由AB=BCAC=10可求得

AB=BC=10设EF=x,贝UAF=10-x,由已知EF/BC,可得至U△AFE^^ABC,根据相似三角形的边对应成比例可得，即，即可求得x=EF=5进而根据正方形的面积公式即可求得正方形的面积为25.

考点：

相似三角形的判定与性质；正方形的性质

7.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cmBC=20cm若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n-1）张宽度相等的长方形纸条.则这（n-1）张纸条的面积和是cm.

【答案】

【解析】

试题分析：

用勾股定理计算出AB=25,再利用面积法计算出CD=12接着证明△CEF^ACAB则可计算出EF=?

25同理可得从上往下数，第2个矩形的长为?

25，…，从上往下数，第（n-1）个矩形的长为?

25,且所有矩形的宽的和为?

12,然后把所有矩形的面积相加：

=[?

25+?

25+…+?

25]?

?

12=.

故答案为：

考点：

相似三角形

评卷人

得分

三、解答题（题型注释）

8.（10分）一块材料的形状是锐角三角形ABC边BC=120m，高AD=80mm把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在ABAC上.

【解析】

试题分析：

（1）根据正方形的对边平行得到BC//EF,即可判定△ABC

⑵设EG=EF=x用x表示AK根据△AEF^AABC列比例式可计算正方形边长；

⑶设EG=KD=x根据△ABC用x表示EF,根据矩形面积公式可以写出

矩形面积关于x的二次函数，根据二次函数即可求出矩形的最大值.

试题解析：

（1）•••四边形EFGH为正形，•••BC//EF,/•△AEF^AABC;

（2）设边长为xmm•••矩形为正方形，•EF//BC,EG//AD,设EG=EF=x则ND=x

AN=80-x,•••△AEF^AABC,•,即，解得x=48.

答：

若这个矩形是正方形，那么边长是48mm

（3）设EG=KD=x则AK=80-x.'/△AEF^AABC,•,即,•EF=8Q,•矩形面积S=x（120-）=-+120x=-+2400,故当x=40时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm

考点：

1.一元二次方程的应用；2.几何图形问题.

9.（本题8分）已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8

（1）如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在ABAC边上，EF交AD于点K

1求的值

2设EH=x矩形EFGH勺面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值

（2）若ABAC正方形PQMI的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQM的边长.

【答案】；S=—+12x,最大值为24;或.

【解析】

试题分析：

根据EF//BC得出△AEF^AABC,从而得到,求出答案；根据题意得出和,将两式相加得到，根据EH=x得出EF=12-x，根据S=EHE得出函数关系式，求出最大值；根据三角形相似，然后分两种情况得出答案.

试题解析：

（1）①、：

EF//BC•△AEF^AABCvADLBC•AKLEF

②•••①②①+②得：

又•••EH=xAD=8BC=12二EF=12-x

•••S=EHEF-+12x=—+24/-S的最大值为24

（2）或.

考点：

三角形相似的应用.

10.（10分）一块直角三角形木版的一条直角边AB为3m面积为6,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图①进行加工，小华准备按图②进行裁料，他们谁的加工方案符合要求？

图①图②

【答案】所以小明同学的方法符合要求•

【解析】

试题分析：

根据题意必须首先求得正方形的边长.图1中，根据相似三角形对应边的比相等即可求得；图2中，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求得.

试题解析：

由AB=3m△ABC的面积为6卅，得BO4m

如图①，设小明加工的桌面边长为xm,由DE//AB,得,即,解得：

x=（m）

如图②，过点B作BH!

AC,分别交DEAC于HK两点，

由A吐3mBO4,面积为6m,得BH=2.4,

设小华加工的桌面边长为ym,由DE//AC,得，得y=（m）•

因为x>y，所以小明同学的方法符合要求

考点：

相似三角形的应用•

11.有一块三角形余料ABC它的边BC=120mm高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在ABAC上.

（1）问加工成的正方形零件的边长是多少mr?

小颖善于反思，她又提出了如下的问题.

（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm请计算.

【答案】

（1）48mm

（2）mm，mm

【解析】

试题分析：

（1）根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，从而得出边长之比，，得到，进行求出正方形的边长；

（2）设PN=2y（mr），贝UPQ=y（mm，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可.

试题解析：

（1）设正方形零件的边长为a，

在正方形PNMQKPN//BC,PQ/AD,

•••△APWAABC,△BPQ^BAD

・・，?

即：

解得：

a=48.

即正方形零件的边长为48mm

（2）设矩形的边长PN=2y（mm，贝UPQ=y（mm,由条件可得△APWAABC

••?

即，

解得y=，

•••PN=（mr）i，

答：

这个矩形零件的两条边长分别为mmmm

考点：

相似三角形的应用.

12.如图，在等边中，于点，点在边上运动，过点作与边交于点，连结，以为邻边作□，设□与重叠部分图形的面积为，线段的长为

（1）求线段的长（用含的代数式表示）；

（2）当四边形为菱形时，求的值；

（3）求与之间的函数关系式；

（4）设点关于直线的对称点为点，当线段的垂直平分线与直线相交时，设其交点为，当点与点位于直线同侧（不包括点在直线上）时，直接写出的取值范围.

【答案】

（1）PE=x

（2）x=3

（3）y=-+3x或y=

（4）Ovxv3-或3vxv3+

【解析】

试题分析：

（1）根据平行和等边三角形证得△APE是等边三角形，然后求得结论；

（2）根据菱形的性质证得PE=ED然后根据等边三角形的性质证得PE=AEEC=ED因此可得ED=AE=EC由此可得出结果；

（3）根据勾股定理和三角形的面积可求得解析式，但是应分为两种情况讨论：

当Ovxw3寸，如图①；当3vxv6时，如图②；

（4）正确画出图形，结合图形分析，确定x的取值范围.

试题解析：

解：

（1）•••△ABC为等边三角形

•••/BACMB=ZC=60

•••PE//BC

•••/APE"B=60°，/AEP2C=60

•••△APE是等边三角形

•••PE=AP=x（Ovxv6）

（2）•••四边形PEDF是菱形

•PE=ED

•••PE=AE

•ED=AE

•EAD=ADE

•••△ABC为等边三角形，ADLBC于点D

•ZEADMADE=30,/ADC=90

•ZCDEZC=60

•EC=ED=x

•••AC=6

•AE+EC=6

即x+x=6

•x=3

（3）当Ovxw3寸，如图①

y=x•（6-x）=-+3x

当3vxv6时，如图②

y=（3-x）•（6-x）=

（4）Ovxv3-或3vxv3+

提示：

如图③④⑤

考点：

等边三角形，平行四边形，菱形，三角形的面积

13.（本题满分10分）如图，C为/AOB的边0A上一点，0C=6,N为边0B上异于点0的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ/0A交0B于点Q,PM/OB交0A于点M

（1）若/A0B=60o,0Mk4，0Q=1,求证：

CNL0B

（2）当点N在边0B上运动时，四边形0MP始终保持为菱形.

1问：

一的值是否发生变化？

如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理

由.

2设菱形0MP的面积为S1，△N0C勺面积为求的取值范围.

【答案】

（1）详见解析；

（2）①一的值不发生变化，理由见解析；②0VW

【解析】

试题分析：

（1）过P作PEL0A于E,易证四边形0MP为平行四边形•根据三角函数求得PE的长，再根据三角函数求得/PCE的度数，即可得/CPMf90o,又因PM/0B即可证明CNL0B

（2）①设0M=x,0N=y,先证△NQRAN0C即可得，把x,y代入整理即可得—的值.②过P作PEI0A于E,过N作NFL0A于F,可得S=0MPES2=0C-NF所以=.再证△CPMb^CN0所以==，用x表示出与x的关系，根据二次函数的性质即可得的取值范围.

试题解析：

（1）

过P作PEI0A于E.tPQ/0APM/0B二四边形0MP为平行四边形.

•••PM=0Q=1,/PM昌/A0B=60o,

•••PE=PM-sin60o=,ME=,

CE=OC—0M-ME=,二tan/PCE==,

•••/PCE=30o,•••/CPMk90o,

又TPM/OB,aZCN0=ZCPM=90o，即CNLOB.

（2）①一的值不发生变化.理由如下：

设OM=x,ON=y.•••四边形OMP为菱形，二OQ=QP=OM=x,NQ=y—x.

•••PQ/OA•••/NQPMO.又I/QNPMONC:

.△NQRANOC二=，即=,

.••6y—6x=xy.两边都除以6xy，得一=，即一=.

②过P作PE±OA于E,过N作NF丄OA于F,

则S=OMPE3=OC・NF

•••PM/OB•••/MCP/O.又I/PCM/NCO

•••△CPMb^CNO

.・.==一（x一3）?

+.

v0

考点：

四边形、相似三角形、二次函数综合题•

14.如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F,连接DE

（1）求证：

△DE9AED；

（2）求DF的值；

（3）如图2,若P为线段EC上一动点，过点P作AAEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点MN落在线段AC上，求当线段PE的长为何值时，矩形PQM的面积最大？

【答案】

（1）见解析

（2）（3）PE=^，矩形PQM的面积最大.

【解析】

试题分析：

（1）根据图形的折叠可得：

AB=AE,BC=CE,矩形的性质可得：

AD二BC,CD二AB然后可得AD=CE,AE=CD,DE=DE所以用sss可证明△DEC^AED；

（2）设DF=x,根据条件可证AF=CF然后再Rt△ADF中，禾U用勾股定理可求出x的值；（3）设PE=x（0vxv3）,矩形PQMN勺面积为S,首先根据勾股定理

求出AC的长，然后利用PQ/CA得出，从而可用x表示出PQ的长或者利用

△EPQo^ECA的性质，用x表示出PQ的长，过E作EGLAC于G,利用Rt△AEC的面积求出EG的长，然后利用平行线分线段成比例定理或者△EPQo^ECA的性质，用x表示出PN的长，从而得出S与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质可确定x的值以及S的最大值.

试题解析：

（1）证明：

由矩形的性质可知△ADC^ACE，

•••AD=CEDC=EA/ACDMCAE

在^DECWAEDA中

•••△DEC^ED（SSS;

解：

如图1，vZACDMCAE二AF=CF

设DF=x,则AF=CF=4x，在RT^ADF中,32+x2=（4-x）2,解得；x=，即DF=

⑶如图2,由矩形PQM的性质得PQ/CA

•••又vCE=3AC==5

设PE=x（Ovxv3）,贝U，即卩PQ=

过E作EGLAC于G则PN//EG

又v在Rt△AEC中,EG?

AC=AE?

CE解得EG=

•••=,即PN=（3-x）

设矩形PQM的面积为S

贝US=PQ?

PN=x2+4x=-+3（0vxv3）

所以当x=,即PE^，矩形PQM的面积最大。

考点：

1.矩形的性质；2.折叠的性质；3.勾股定理；4.比例线段；5.二次函数的性质.

15.（本题满分12分）如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12BC边上的高AD=8点QM在边BC上，P,N分别在边ABAC上，且PNM为矩形.

（1）设MN=用表示PN的长度；

（2）当MN长度为多少时，矩形PNM（的面积最大，最大面积是多少？

（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？

【答案】

（1）;

（2）MN=424;（3）4.

【解析】

试题分析：

（1）由PNM（为矩形，得到PN//BC,从而△APWAABC所以，即可得出结论；

（2）由二，配方即可得到结论；

（3）由，，又，得到，解出，由此得到结论.

试题解析：

（1）TPNM为矩形，二PN//BC,•••△APWAABC，二，即；

（2）=，二当时，矩形PNM（的面积最大，最大为24；

（3）v，，又，所以，解之得：

，•••当MN长度为4时，△APN的面积等于△BPQ与厶CMN之和.

考点：

1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质.

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