完整版高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解.docx

1、完整版高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解高考总复习高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解一、选择题1 an1，数列 an 的前 n项和为Sn，已计算得 S1 21，S2 3 1，n1 nS31，由此可猜想 Sn( )A. n1B. n11C. n12D. n22答案 B12 Skk 11k21 k312k( k1,2,3， )，那么Sk 1等于 ( )ASk12( k1)BSk12k11k1CSk12k112k2DSk12k112k2答案 C解析 Sk11(k1)11(k1)2 12(k1)1k21 1 k3 2k 21k11 k212k1 1 2k1 2k2 1 1 Sk k1 2k11

2、.2k2 2n n1(nN* )，某人的证明过程以下：3对于不等式 n 21 11，不等式成立 .1当 n1时， 12假设nk( kN* )时不等式成立， 即 k2k k1，那么nk1时， (k1)2 (k 1)23k2 (k23k2)k2 (k2)2(k1)1. k当 nk 1时，不等式成立 .上述证法 ( )A过程全都正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从 nk到 nk1 的推理不正确答案 D含详解答案高考总复习解析 没用归纳假设4将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 那么在表中数字 2021 出现在 ( )A第 44 行第 75 列B

3、第 45 行第 75 列C第 44 行第 74 列D第 45 行第 74 列答案 D解析 第 n 行有 2n1 个数字，前 n 行的数字个数为135 (2 n 1)n2.4421936,4522025，且 19362021， 2021 在第 45 行又 2025202115，且第 45 行有 2 451 89 个数字， 2021 在第 891574 列，选D.2 建马上，总可推出 f(k 5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f (k) k1) (k 1)2 成立那么，以下命题总成立的是 ( )A假设 f(3) 9 成立，那么当 k 1时，均有 f(k) k2 成立2

4、成立 B假设 f(5) 25 成立，那么当 k 5时，均有 f(k) kC假设 f(7) k2 成立2 成立 D假设 f(4) 25 成立，那么当 k 4时，均有 f(k) k答案 D解析 对于 A ，f (3) 9，加上题设可推出当 k 3时，均有 f(k) k2 成立，故 A错误对于 B，要求逆推到比 5 小的正整数，与题设不符，故 B错误对于 C，没有确立局部，即没有 f(8) 82，故 C错误对于 D，f(4)25 42，由题设的递推关系，可知结论成立，应选D.6一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将节余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中

5、间的一个挖去，得图(2)；这样连续下去 那么第 n 个图共挖去小正方形 ( )含详解答案高考总复习 n1)个A(8 n1)个B(81n1)个 C.7(81n1)个 D. (87答案 C2个 第 解析 第 1 个图挖去 1 个，第 2 个图挖去 18 个，第 3 个图挖去 188n1 82 8n1个 n 个图挖去 18 877观察下式：1 322213531357422135795 据此你可归纳猜想出的一般结论为( )A135 (2n1)n2(nN*)B135 (2n1)n2(nN*)C135 (2n1)(n1)2( nN*)D135 (2n1)(n1)2( nN* )答案 D解析 观察可见第

6、n 行左边有 n1 个奇数，右边是 ( n1)2，应选D.x，fn(x)fn1 f(x)( n 2，nN*)，那么f(1) 8(2021 天津滨海新区五校 )假设 f(x)f1(x)1xf (2) f(n)f1(1) f2(1) fn(1)( )An9B.n1nC.n1D1答案 A12，f (2)解析 易知 f (1)2 3 ，f(3) ， ，f( n)3 4n x ；由 fn(x)fn 1(f (x)得，f2(x) ，n 1 12x x x 1 ， ，fn(x) ，从而 f1(1) ，f2(1)13x 1 nx 2f3(x)1 1 1 ，f3(1) ， ，fn(1)，3 4 n1含详解答案高

7、考总复习因此 f(n)fn(1)1，故 f(1)f(2) f(n)f1(1)f2(1) fn(1)n.9(2021 曲 阜一中 )设f( x)是定义在 R 上恒不为零的函数，且对任意的实数 x，yR，1都有 f( x) f( y)f(xy)，假设 a1 ，anf(n)( nN*)，那么数列 an 的前 n项和 Sn 的取值范围是2( )1 ，2)A2B1，22C1，121 ，1)D2答案 D解析 由可得 a1f(1)12，a2f(2)f 2(1)122，a3f(3)f(2) f(1)f 3(1)123， ，anf(n)f n(1)12n，Sn1 2122123 12n1 1221(2)1(1

8、n，n，)1 212nN* ，12 Sn22525212观察以下一组不等式：4 4 3 3 5 2 5 2 5 25 5 1 15 25222 2252 2 2将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以实行，使以上的不等式成为实行不等式的特例，那么实行的不等式为_ m nbmnambnanbm(a，b0，ab， m， n0)答案 a13(2021 浙 江杭州质检)观察以低等式：(x2x 1)01；2x 1)1x2x1； (x(x2x 1)2x42x33x22x1；2x 1)3x63x56x47x36x2 3x1； (x可以推测(x2 x1)4 的张开式中，系数最大的项是 _答案 19x4解析

9、 观察其系数变化规律：2x 1)1为1,1,1 (x(x2x 1)2为1,2,3,2,12x 1)3为1,3,6,7,6,3,1 (x故由此可推测(x2x 1)4 系数中最大的为676 19，故系数最大项是 19x4.14(2021 南 京调研 )五位同学围成一圈依次循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数含详解答案高考总复习为2，第二位同学首次报出的数为3，此后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，那么第 2021 个被报出的数为_答案 4解析 依照规那么，五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8，第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8，第三轮报出的数依次为8,4,

10、2,8,6，故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3外，从第三位同学开始报出的数依次按 6,8,8,4,2,8 循环，那么第 2021 个被报出的数为4.议论 数字 2021 比较大，不可以能一个一个列出数到第 2021 个数，故隐含了探望其规律性 (周期 )的要求，因此可经过列出局部数，观察可否存在某种规律来求解明确了这一特点解决这类问题就有了明确的解题方向和思路三、解答题15点列 An(xn,0)， nN*，其中 x10，x2a(a0)，A3 是线段 A1A2 的中点， A4 是线段 A2A3的中点， An 是线段 An2An 1的中点， ，(1)写出 xn 与 xn1、xn 2之间的关

11、系式 (n 3)；(2)设anxn 1 xn，计算 a1，a2，a3，由此推测数列 an 的通项公式，并加以证明xn1xn2解析 (1)当 n 3时， xn2 .(2)a1x2x1a，a2x3x2x2x1x2212(x2x1)12a，a3x4x3x3x2x3212(x3x2)14a，由此推测an (1n 1a(nN*)2)证法 1：由于a1 a0，且xnxn xn1xn1xnanxn1xn 2 212(xnxn1)12an1( n 2)，1n1a. 因此 an()2证法 2：用数学归纳法证明：1(1)当 n1时， a1x2x1a(2)0a，公式成立1k 1a 成立那么当 nk1时， (2)假设

12、当 nk时，公式成立，即 ak( )2ak1 xk2 xk1xk 1 xk xk1212( xk 1 xk)12ak12(1k1a(2)1(k1)1a，公2)式仍成立，依照 (1)和(2)可知，对任意 nN*，公式 an(1n1a 成立)2含详解答案高考总复习16设数列 an的前 n项和为Sn，对所有 nNSn*，点 n，n都在函数 f(x)xan的图象2x上(1)求 a1，a2， a3 的值，猜想 an 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列 an 依次按 1项、2项、3项、4项循环地分为(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9， a10)；( a11)，(a1

13、2， a13)，(a14，a15，a16)，(a17， a18，a19， a20)；( a21)， ，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后序次组成的数列为 bn ，求 b5b100 的值Sn解析 (1)将点 n，nan的坐标代入函数 f(x)x中，经过整理获取 Sn 与 an 的关系，2x那么a1，a2，a3 可求；(2)经过观察发现b100 是第 25组中第 4 个括号内各数之和，各组第 4 个括号中各数之和组成首项为68、公差为80 的等差数列，利用等差数列求和公式可求 b100.Sn n解析 (1)点 n，在函数 f( x) xan的图象上，2xSnnnan 1，Snn

14、22n2an.1令 n1 得， a11 a1， a12；21令 n2 得， a1a242a2， a24；令 n3 得， a1a2a3912a3， a36.由此猜想： an2n.用数学归纳法证明以下：当 n1时，由上面的求解知，猜想成立假设nk(k 1)时猜想成立，即 ak2k 成立，那么当 nk 1时，注意到 Sn n21n( nN*)，2a故 Sk 1(k1)21 1ak ak. 1，Skk2 1，Skk22 21 1两式相减得， ak 1 2k1 k，因此 ak14k2ak.2ak12a由归纳假设得， ak2k，故 ak 14k2ak4k22k2(k1)这说明 nk1时，猜想也成立由 知，

15、对所有 nN*，an2n 成立(2)由于an 2n(nN*)，因此数列 an 依次按 1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，含详解答案高考总复习(8,10,12) ，(14,16,18,20)； (22)，(24,26)， (28,30,32)，(34,36,38,40) ；(42)， .每一次循环记为一组由于每一个循环含有 4 个括号，故 b100 是第 25组中第 4 个括号内各数之和由分组规律知，各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、 所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数

16、列，且公差均为20.故各组第 4 个括号中各数之和组成等差数列， 且公差为80.注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68，因此 b1006824 801988，又 b522，因此 b5b1002021.议论 由求出数列的前几项，做出猜想，尔后利用数学归纳法证明，是不完满归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法证明的要点是依照已知条件和假设搜寻 ak 与 ak1 或 Sk 与 Sk1间的关系，使命题得证 n a0 a1(x1)a2(x1)2 a3(x1)3 an(x17 (2021 南 京调研 )： (x 1)1)n(n 2，nN*)(1)当 n5时，求 a0a1a2

17、a3a4a5 的值(2)设bna2n3， Tn b2 b3 b4 bn.试用数学归纳法证明：当 n 2时， Tn2n(n1)( n1).3解析 (1)当 n5时，原等式变为(x1)5a0a1(x1)a2(x1)2 a3(x 1)3a4(x1)4 a5(x1)5令 x2 得 a0a1a2a3a4 a535243. 2 n2(x1)n，因此 a2Cn22n(2)由于(x1)bna2n32Cn2n(n1)(n 2)2当 n2时左边 T2b22，2(21)(21)右边 2，左边右边，等式成立3假设当 nk(k 2，kN*)时，等式成立，即 Tkk(k1)(k1)成立3那么，当 nk1时，k(k1)( k1)左边 Tkbk13k(k1)(k1)(k1)( k1)1 k(k1)3k( k1)k11 3k(k1)(k2)3(k1)( k1)1( k1)1右边3含详解答案高考总复习故当 nk1 时，等式成立n( n1)( n1)综上 ，当 n2 时，Tn3 .含详解答案