2＋3k＋2<（k2＋3k＋2）＋k＋2＝（k＋2）2＝（k＋1）＋1.k
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
上述证法（）
A．过程全都正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案]D
含详解答案
高考总复习
[解析]没用归纳假设．
4．将正整数排成下表：
1
234
56789
10111213141516
⋯⋯
那么在表中数字2021出现在（）
A．第44行第75列
B．第45行第75列
C．第44行第74列
D．第45行第74列
[答案]D
[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋⋯＋（2n－1）＝n2.∵442
＝1936,452＝2025，且1936<2021,2025>2021，∴2021在第45行．
又2025－2021＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2021在第89－15＝74列，
选D.
2建马上，总可推出f（k5．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：
“当f（k）≥k
＋1）≥（k＋1）2成立〞．那么，以下命题总成立的是（）
A．假设f（3）≥9成立，那么当k≥1时，均有f（k）≥k2成立
2成立B．假设f（5）≥25成立，那么当k≤5时，均有f（k）≥k
C．假设f（7）<49成立，那么当k≥8时，均有f（k）>k2成立
2成立D．假设f（4）＝25成立，那么当k≥4时，均有f（k）≥k
[答案]D
[解析]对于A，f（3）≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f（k）≥k2成立，故A错误．
对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．
对于C，没有确立局部，即没有f（8）≥82，故C错误．
对于D，f（4）＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，应选D.
6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图
（1）；再将
节余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图
（2）；这样连续
下去⋯⋯那么第n个图共挖去小正方形（）
含详解答案
高考总复习
n－1）个A．（8
n＋1）个B．（8
1
n－1）个C.
7（8
1
n＋1）个D.（8
7
[答案]C
2个⋯⋯第[解析]第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋8
n－18
2＋⋯＋8n－1＝
个．n个图挖去1＋8＋8
7
7．观察下式：
1＋3＝22
2
1＋3＋5＝3
1＋3＋5＋7＝42
2
1＋3＋5＋7＋9＝5
⋯⋯
据此你可归纳猜想出的一般结论为（）
A．1＋3＋5＋⋯＋（2n－1）＝n
2（n∈N*）
B．1＋3＋5＋⋯＋（2n＋1）＝n
2（n∈N*）
C．1＋3＋5＋⋯＋（2n－1）＝（n＋1）2（n∈N*）
D．1＋3＋5＋⋯＋（2n＋1）＝（n＋1）
2（n∈N*）
[答案]D
[解析]观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是（n＋1）2，应选D.
x
，fn（x）＝fn－1[f（x）]（n≥2，n∈N*），那么f
（1）8．（2021·天津滨海新区五校）假设f（x）＝f1（x）＝
1＋x
＋f
（2）＋⋯＋f（n）＋f1
（1）＋f2
（1）＋⋯＋fn
（1）＝（）
A．n
9
B.
n＋1
n
C.
n＋1
D．1
[答案]A
1
2
，f
（2）＝
[解析]易知f
（1）＝
23
，f（3）＝，⋯，f（n）＝
34
nx
；由fn（x）＝fn－1（f（x））得，f2（x）＝，
n＋11＋2x
xx1
，⋯，fn（x）＝，从而f1
（1）＝，f2
（1）＝
1＋3x1＋nx2
f3（x）＝
111
，f3
（1）＝，⋯，fn
（1）＝
，，
34n＋1
含详解答案
高考总复习
因此f（n）＋fn
（1）＝1，故f
（1）＋f
（2）＋⋯＋f（n）＋f1
（1）＋f2
（1）＋⋯＋fn
（1）＝n.
9．（2021曲·阜一中）设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，
1
都有f（x）·f（y）＝f（x＋y），假设a1＝，an＝f（n）（n∈N*），那么数列{an}的前n项和Sn的取值范围是
2
（）
1
，2）A．[
2
B．[
1
，2]
2
C．[
1
，1]
2
1
，1）D．[
2
[答案]D
[解析]由可得a1＝f
（1）＝
1
2
，a2＝f
（2）＝f2
（1）＝
1
2
2，a3＝f（3）＝f
（2）f·
（1）＝f3
（1）＝
1
2
3，⋯，an＝f（n）＝fn
（1）＝
1
2
n，∴Sn＝1＋
＋
2
1
2
2＋
1
2
3＋⋯＋
1
2
n＝
11
2]
2[1－
（2）
＝1－（1n，
n，
）
12
1－
2
∵n∈N*，∴
1
2
≤Sn<1.
10．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：
△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、
A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为
螺旋线旋转一圈．尔后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧⋯⋯这样画到第n圈，那么所得螺旋
线的长度ln为（）
2＋n）πA．（3n
2－n＋1）πB．（3n
（3n2＋n）π
C.2
2－n＋1）π（3n
D.2
[答案]A
[解析]由条件知CA1，A1A2，A2A3，⋯，An－1An对应的中心角都是
2π
，且半径依
3
2π
次为1,2,3,4，⋯，故弧长依次为
，
3
2π
×2，
3
2π2π
×3⋯，据题意，第一圈长度为
（1＋2＋3），
33
2π2π2π
第二圈长度为3（4＋5＋6），第n圈长度为3[（3n－2）＋（3n－1）＋3n]，故L3（1＋2＋3＋⋯
n＝
＋3n）＝
2π3n（1＋3n）
＝（3n2＋n）π.
·
32
含详解答案
高考总复习
二、填空题
2
3
11．（2021·浙江金华十校模考）2＋
＝2
2
3
，3＋
3
8
＝3
3
8
，4＋
4
15
＝
4
4a
，⋯，假设6＋＝6
15t
a
t
，（a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，那么
a＋t＝________.
[答案]41
[解析]注意分数的分子、分母与整数的变化规律，2→分子2，分母3＝22－1,3→分子
2－1,4→分子4，分母15＝42－1，故猜想a＝6，t＝62－1＝35，再考据6＋
3，分母8＝3
6
35
＝6
6
成立，∴a＋t＝41.
35
n
[议论]一般地，n＋
＝
n2－1
3
n
＝n
n2－1
n
，（n∈N*）成立．
n2－1
a
比方，假设15＋＝15
t
a
t
成立，那么t＋a＝239.
23＋53>22·5＋2·52
12．观察以下一组不等式：
4433
＋5
>2525·＋·
2
5511
＋52·5
＋2
2
22>2
·5
222
将上述不等式在左右两端仍为两
项和的情况下加以实行，使以上的不等式成为实行不等式的特例，那么实行的不等式为
________________________．
m＋n＋bm＋n>ambn＋anbm（a，b>0，a≠b，m，n>0）[答案]a
13．（2021浙·江杭州质检）观察以低等式：
（x2＋x＋1）0＝1；
2＋x＋1）1＝x2＋x＋1；（x
（x2＋x＋1）2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1；
2＋x＋1）3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1；（x
可以推测（x2＋x＋1）4的张开式中，系数最大的项是________．
[答案]19x4
[解析]观察其系数变化规律：
2＋x＋1）1为1,1,1（x
（x2＋x＋1）2为1,2,3,2,1
2＋x＋1）3为1,3,6,7,6,3,1（x
故由此可推测（x2＋x＋1）4系数中最大的为6＋7＋6＝19，故系数最大项是19x4.
14．（2021南·京调研）五位同学围成一圈依次循环报数，规定：
第一位同学首次报出的数
含详解答案
高考总复习
为2，第二位同学首次报出的数为3，此后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的
乘积的个位数字，那么第2021个被报出的数为________．
[答案]4
[解析]依照规那么，五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8，第二轮报出的数依次为
4,2,8,6,8，第三轮报出的数依次为8,4,2,8,6，故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3
外，从第三位同学开始报出的数依次按6,8,8,4,2,8循环，那么第2021个被报出的数为4.
[议论]数字2021比较大，不可以能一个一个列出数到第2021个数，故隐含了探望其规
律性（周期）的要求，因此可经过列出局部数，观察可否存在某种规律来求解．明确了这一特
点解决这类问题就有了明确的解题方向和思路．
三、解答题
15．点列An（xn,0），n∈N*，其中x1＝0，x2＝a（a>0），A3是线段A1A2的中点，A4是
线段A2A3的中点，⋯An是线段An
－2An
－1的中点，⋯，
（1）写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式（n≥3）；
（2）设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．
xn－1＋xn
－2
[解析]
（1）当n≥3时，xn＝
2.
（2）a1＝x2－x1＝a，
a2＝x3－x2＝
x2＋x1
－x2＝－
2
1
2
（x2－x1）＝－
1
2
a，
a3＝x4－x3＝
x3＋x2
－x3＝－
2
1
2
（x3－x2）＝
1
4
a，
由此推测an＝（－
1
n－1a（n∈N*）．
2）
证法1：
由于a1＝a>0，且
xn＋xnxn－1－xn
－1
－xn＝
an＝xn
＋1－xn＝＝－
22
1
2
（xn－xn－1）＝－
1
2
an－1（n≥2），
1
n－1a.因此an＝（－
）
2
证法2：
用数学归纳法证明：
1
（1）当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝（－2）
0a，公式成立．
1
k－1a成立．那么当n＝k＋1时，
（2）假设当n＝k时，公式成立，即ak＝（－）
2
ak＋1＝xk＋2－xk
＋1＝
xk＋1＋xk
－xk
＋1＝－
2
1
2（xk＋1－xk）＝－
1
2ak＝－
1
2（－
1
k－1a＝（－
2）
1
（k＋1）－1a，公
2）
式仍成立，依照
（1）和
（2）可知，对任意n∈N*，公式an＝（－
1
n－1a成立．
）
2
含详解答案
高考总复习
16．设数列{an}的前n项和为Sn，对所有n∈N
Sn
*，点n，
n
都在函数f（x）＝x＋
an
的图象
2x
上．
（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，
a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），⋯，分别计算
各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后序次组成的数列为{bn}，求b5＋b100的
值．
Sn
[解析]
（1）将点n，
n
an
的坐标代入函数f（x）＝x＋
中，经过整理获取Sn与an的关系，
2x
那么a1，a2，a3可求；
（2）经过观察发现b100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和
组成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b100.
Sn
n
[解析]
（1）∵点n，
在函数f（x）＝x＋
an
的图象上，
2x
∴
Sn
＝n＋
n
an1
，∴Sn＝n2＋
2n
2an.
1
令n＝1得，a1＝1＋a1，∴a1＝2；
2
1
令n＝2得，a1＋a2＝4＋
2a
2，∴a2＝4；
令n＝3得，a1＋a2＋a3＝9＋
1
2
a3，∴a3＝6.
由此猜想：
an＝2n.
用数学归纳法证明以下：
①当n＝1时，由上面的求解知，猜想成立．
②假设n＝k（k≥1）时猜想成立，即ak＝2k成立，
那么当n＝k＋1时，注意到Sn＝n2＋
1
n（n∈N*），
2a
故Sk＋1＝（k＋1）2＋
11
akak.＋1，Sk＝k2＋
＋1，Sk＝k2＋
22
11
两式相减得，ak
＋1＝2k＋1＋k，因此ak＋1＝4k＋2－ak.
2ak＋1－2a
由归纳假设得，ak＝2k，
故ak
＋1＝4k＋2－ak＝4k＋2－2k＝2（k＋1）．
这说明n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②知，对所有n∈N*，an＝2n成立．
（2）由于an＝2n（n∈N*），因此数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
（2），（4,6），
含详解答案
高考总复习
（8,10,12），（14,16,18,20）；（22），（24,26），（28,30,32），（34,36,38,40）；（42），⋯.每一次循环记
为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分
组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由
各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差
数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和组成等差数列，且公差为80.注意到第一
组中第4个括号内各数之和是68，
因此b100＝68＋24×80＝1988，
又b5＝22，因此b5＋b100＝2021.
[议论]由求出数列的前几项，做出猜想，尔后利用数学归纳法证明，是不完满归
纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的要点是依照已
知条件和假设搜寻ak与ak
＋1或Sk与Sk＋1间的关系，使命题得证．
n＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋⋯＋an（x－17．（2021南·京调研）：
（x＋1）
1）
n（n≥2，n∈N*）．
（1）当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．
（2）设bn＝
a2
n－3，Tn＝b2＋b3＋b4＋⋯＋bn.试用数学归纳法证明：
当n≥2时，Tn＝
2
n（n＋1）（n－1）
.
3
[解析]
（1）当n＝5时，
原等式变为（x＋1）5＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋a4（x－1）4＋a5（x－1）5
令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3
5＝243.
－2
n＝[2＋（x－1）]n，因此a2＝Cn2·2n
（2）由于（x＋1）
bn＝
a2
n－3＝2Cn2＝n（n－1）（n≥2）
2
①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，
2（2＋1）（2－1）
右边＝＝2，左边＝右边，等式成立．
3
②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，等式成立，
即Tk＝
k（k＋1）（k－1）
成立
3
那么，当n＝k＋1时，
k（k＋1）（k－1）
左边＝Tk＋bk
＋1＝
3
k（k＋1）（k－1）
＋（k＋1）[（k＋1）－1]＝＋k（k＋1）
3
＝k（k＋1）
k－1
＋1＝
3
k（k＋1）（k＋2）
3
＝
（k＋1）[（k＋1）＋1][（k＋1）－1]
＝右边．
3
含详解答案
高考总复习
故当n＝k＋1时，等式成立．
n（n＋1）（n－1）
综上①②，当n≥2时，Tn＝
3.
含详解答案
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