完整版北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析.docx

1、完整版北师大版数学必修4平面向量的坐标表示及其运算同步导学练习案附思维导图答案解析第5课时 平面向量的坐标表示及其运算、课程学习目标1. 掌握向量的正交分解及坐标表示 ，理解直角坐标系中磁的特殊意义2. 理解向量坐标的定义，并能正确用坐标表示坐标平面上的向量 ，对起点不在原点的平 面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算4.理解用坐标表示平面向量共线的条件左知识记忆与理解二I 靠学区不看不讲W Jfi IRgieF TV知识徉系梳理iisva足球运动员在踢足球的过程中 ，将球踢出时的一瞬间的速度为 U.能否建立适当的坐标系，表示踢出时的水平速度和竖直速度

2、 ？能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢？问题1:平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量的线性表示，叫作向量的正交分解，向量的正交分解是平面向量基本定理的特例 ，即当基底ei、e2 时的情况.问题2:平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量 ，如图，以坐标原点 0为起点作；=a，由平面向量基本定理可知 ，一对实数x，y，使得碘僅 ，因此a=xi+yj.我们把实数对 叫作向量a的坐标，记作 .问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算(1)向量和的坐标运算：若a=(xi, yi)，b=(X2, y

3、2)，则a+b= .即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)向量差的坐标运算：若a=(xi, yi)，b=(X2, y2)，则a-b= .即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)实数与向量的积的坐标运算 ：设入 R, a=(x, y),贝U入a= .即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积漏的坐标表示：若A(xi, yi), B(X2, y,则凤菸.一-丽= .即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标:量知行jlin,若a=(3,4),则a可以用).Ba= 3i- 4j C.a=- 3i+ 4j D.a= 4i+ 3ja=(1,2), b=(

4、-2, m),且 a/ b,则 2a+3b=( ).B(-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5, -10)入二第二层级 导学凰讦辺栉 JA ft A A童点港点探究()-.思维探究与创新平面向量的正交分解在直角坐标系xOy中，向量a, b的位置如图所示，已知|a|= 4, |b|= 3,且 / AOx=45 , / OAB=05 ,分别求向量 a, b的坐标及A、B点的坐标.平面向量的坐标运算已知点A(-1,2),巳2,8)及.=爾，卜，-：!=*.疣，求点C、D和广门的坐标.三平行向量的坐标运算已知四边形 ABCD勺顶点依次为 A(0, -x), B(x2,3), C(x,3),

5、D(3x, x+4),若 AB/ CD求 x 的值.才A kA他力JMMt思维拓展应用直用一在平面内以点 O的正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系 质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.(1)用向量表示沿东北方向移动了 2个长度单位；(2)用向量表示沿西偏北 60方向移动了 3个长度单位；(3)用向量表示沿东偏南 30方向移动了 4个长度单位.已知A、B C的坐标分别为A(2, -4)、耳0,6)、C(-8,10),求向量一 +2存-：黍 的坐标.应用三用与9&展国孝区不嵐不许已知a=(1,2), b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行

6、时它们是同向还是反向世祀It僅救虚幌、基础智能检测1.设向量，.=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为( ).A (5,12) B. (12,5) C(2,1) D . (1,2)2.已知点A(1,3), B(4, -1),则与向量乔？同方向的单位向量为( ).A(f,峙)B. (,-吉 C (-謠)D.(看)3. 已知边长为单位长度的正方形 ABCP若A与坐标原点重合，边AB AD分别落在x轴、y轴正方向上，则向量2._+3_._+評的坐标为 .4.已知平行四边形 ABC啲三个顶点 ABC的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标.料样鼻祀5槻*

7、 $丄杞全新视角拓嚴(2013年陕西卷)已知向量a=(1, m), b=(m2), 若a/ b,则实数m等于( ).A-历 B血 C.-桎或洛 D. 0考题变式(我来改编):学滋社卞,1歩表朱1细 illl.t： .71-： ff：讥位n|fiOtJJ .卡初内杆：一向 0 .邙几刊一引WS| 需国刃为向踐的喙喬表亦”记作二腐向ft的世孙袁拆憎起点、舞点的車标盍示向盘:巳知恋g 170 *駅孙简H JN 症1 liJBfj的舉标址算他）上赳知加上4liaA平白几何中的应用料將也编的甲行*科斷四由样的带伏屮舟41*比蛊屣嘉車忧学习体验分事答案第5课时 平面向量的坐标表示及其运算知识体系梳理问题1

8、:相互垂直 垂直问题 2:有且仅有 xi+yj (x, y) a=( x, y)问题 3：(1)( X1+X2, yi+y2) (2)( X1-X2, yi-y2) (3)(入 x,入 y) (4)( X1-X2, yi-y2)问题 4: a=Xb (入 X2,入 y2) 入 X2 Xy2 Xiy2-X2yi=0 零 = 成比例T-a Wm基础学习交流1.A a=(3,4) =3i+ 4j.2. C 由 a=(i,2), b=(-2, m),且 a/ b,得 ix m=2X (-2)?m=4,从而 b=(-2, -4),那么 2a+3b=2X (i,2) +3 X(-2, -4) =(-4,

9、-8).3.2 .入 a+b=(入+ 2,2 入+3)与 c=(-4,-7)共线,A (入+2) X (-7)-(2 入+3) X(-4) =0,解得入二2.4.解: a+b=(-i,2) +(3, -5) =(-i+3,2 -5)=(2, -3), a-b=(-i,2) -(3, -5) =(-i-3,2 +5) =(-4,7),2 a+3b=2(-i,2) +3(3, -5) =(-2+9,4-i5) =(7, -ii).(2)3 a-b+c=3(i, -3)-(-2,4) +(0,5) =(3, -9) -(-2,4) +(0,5) =(3+2+0, -9-4+5) =(5, -8).

10、重点难点探究探究一:【解析】设 a=(ai, a2), b=( bi, b2),/ Z AOx=5, Aai=|a| cos 45 =4X =2J*a2=|a| sin 45 =4X 字=2界，a a=(2 搭,2 叔)=y,AA点的坐标为(2嵌,2雨).将b的起点平移至原点，令b的终点为B,由题意可知Z BOx=i20,所以 bi=|b| cos i20 =3X(-.)=-, b2=|b| sin i20 =3X 手 b=(-，).又/ b=.- %：一 =b+. =(2 J?- ,2 .+ ).故 a=(2 - ,2 ), b=(-,), A 点的坐标为(2 讹,2皿-),B 点的坐标为(

11、2 -.,2 .+).【小结】(i)相等向量的坐标是相同的，而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多 问题时，常常需要把始点不在原点的向量移到原点 .(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标 ，起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标(3)x轴正方向的夹角为 e,由三角函数的 e是向量a的方向与X轴正方向的夹若已知向量a=(x,y), a的模为|a| , a的方向与定义可知，x=|a| cos e , y=|a| sin e.要注意公式中的角.C(xi, yi), D(X2, y2), 由 题意得探究二：【解析】 设点乳=(Xi +i, yi-

12、2),皿;=(3,6),曲;=(-i-x 2,2 -y2), .朋=；抄：,兀=冷丽，-3,-6) =(i,2),f-L-xa = 1,)JIl J 学一乙/. (Xi+i,yi-2) = (3,6) =(i,2), (-i-x 2,2 -y 2)=-； 贝U有-和 解得 和.A 点 C D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), , =(-2,-4).【小结】求点的坐标时，可先设点的坐标，根据题中给出的关系，列出方程组求解即可.探究三：【解析】T AB/ CD A ：- /亠，- 2 又：，=(x , x+3) _ =(2x, x+1),2x (x+1)-2x(x+3)=0,解得x=- 2或x

13、=0或x=3.问题上述解法正确吗？结论不正确，错误一：没有注意四边形 ABC顶点的顺序，需满足，亠，反向才行 错误二：没有注意向量的平行与线段平行的不同 ，一 / 一一时,AB与CD可能平行也可能重合.=-.(10，-4) =-_(a-3b).k=-.,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由题意知ka+b=(k-3,2 k+2), a-3b=(10, -4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实 数入,使 ka+b=X (a-3b),由(k-3,2 k+2) = X (10, -4),当 k=-时，ka+b 与 a-3b 平行, 这时 ka+b=-. ( a- 3b).VO, 向

14、相反. k=-.,此时ka+b与a-3b平行,并且反向基础智能检测1.D 设 点 B 的 坐 标 为 (x, y),.=(x,y)_. =(3,7), =.-丽=(x-3,y-7)=(-2,-5), _ 解得叮二2. A ：_=(3, -4),所以| 一 |=5,这样同方向的单位向量是 =(,-),选A.3.(3,4) 如图，建立直角坐标系，有 A(0,0), B(1,0), Q1,1), Q0,1),即一 =(1,0),諮=(0,1),.=(1,1),则有 2+3- + .=(2,0) +(0,3) +(1,1) =(3,4).4.解：设顶点D的坐标为(x, y).亠=(-1-(-2),3

15、-1)=(1,2), =(3-x ,4-y),由乔=，得(1,2) =(3 -x ,4 -y).i 一 ：. -1戈二4-V,5 =亍顶点D的坐标为(2,2).全新视角拓展C 因为 a=(1, n)i, b=(m2),且 a/ b,所以 1 2 =m- n? m=,所以选 C.思维导图构建xi+yj (x, y) (X1X2, y1 y2) (入 X1, Xy 1) (x2-x 1, y2-y 1) X1y2=X2y1(1) 如图，因为/ POP=45, | 裕|=2,所以 a=-F+=i+；.j ,所以 a=(羽，屜).(2) 因为/ QOQ=O,同|=3,所以b=吋+. 一玉血=-i+一j

16、 ,所以b=(二,竽).(3) 因为/ ROR=30, | 巫|=4,所以c=?=.七屜=2阀i- 2j ,所以 C=(2 .画，-2).应用二：A(2, -4)、B(0,6)、C(-8,10),得，=(-2,10),=(-8,4), .=(-10,14),忌+2站-蘇=(-2,10) +2( - 8,4) - (-10,14)=(-2,10) +(-16,8) -(-5,7)=(-18,18) -(-5,7)=(-13,11).应用三:(法一 )ka+b=k(1,2) +(-3,2) =( k- 3,2 k+2), a-3b=(1,2) -3(-3,2) =(10, -4)./ (ka+b) /( a- 3b), (k- 3) X (-4)-10(2 k+2) =0,解得 k=-. 此时 ka+b=(-討-3, - +2) =( - ,-)