完整版北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析.docx

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完整版北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析

第5课时平面向量的坐标表示及其运算

、课程学习目标

1.掌握向量的正交分解及坐标表示，理解直角坐标系中磁的特殊意义•

2.理解向量坐标的定义，并能正确用坐标表示坐标平面上的向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示

3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算

4.

理解用坐标表示平面向量共线的条件

左知识记忆与理解二

I靠学区■不看不讲

WJfi‘IRgieF■’TV]

知识徉系梳理

iisva

足球运动员在踢足球的过程中，将球踢出时的一瞬间的速度为U.能否建立适当的坐

标系，表示踢出时的水平速度和竖直速度？

能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示

这个速度呢？

问题1:

平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个的向量的线性表示，叫作向量的正交分解，向量的正

交分解是平面向量基本定理的特例，即当基底ei、e2时的情况.

问题2:

平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为

坐标平面内的任意向量，如图，以坐标原点0为起点作；^=a，由平面向量基本定理可知，

一对实数x，y，使得碘僅，因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标，

记作.

问题3:

平面向量在坐标表示下的线性运算

（1）向量和的坐标运算：

若a=（xi,yi），b=（X2,y2），则a+b=.

即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和

（2）向量差的坐标运算：

若a=（xi,yi），b=（X2,y2），则a-b=.

即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差

（3）实数与向量的积的坐标运算：

设入€R,a=（x,y）,贝U入a=.

即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积

⑷漏的坐标表示：

若A（xi,yi）,B（X2,y",则凤菸.一-丽=.

即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标

:

量知行jlin

若a=（3,4）,则a可以用

）.

Ba=3i-4jC.a=-3i+4jD.a=4i+3j

a=（1,2）,b=（-2,m）,且a//b,则2a+3b=（）.

B（-3,-6）C.（-4,-8）D.（-5,-10）

入二

第二层级\

导学凰讦辺栉J

AftAA

童点港点探究

（）««-

.思维探究与创新

平面向量的正交分解

在直角坐标系xOy中，向量a,b的位置如图所示，已知|a|=4,|b|=3,且/AOx=45°,/OAB=05°,分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.

平面向量的坐标运算

已知点A（-1,2）,巳2,8）及.=爾，卜，-：

!

=*.疣，求点C、D和广门的坐标.

"三

平行向量的坐标运算

已知四边形ABCD勺顶点依次为A（0,-x）,B（x2,3）,C（x,3）,D（3x,x+4）,若AB//CD求x的

值.

才AkA他力JMMt

思维拓展应用

直用一

在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.

（1）用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位；

（2）用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位；

（3）用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.

已知A、BC的坐标分别为A（2,-4）、耳0,6）、C（-8,10）,求向量一+2存-：

黍的坐标.

应用三

用与9&展

国孝区・不嵐不许

已知a=（1,2）,b=（-3,2）,当k为何值时，ka+b与a-3b平行？

平行时它们是同向还是反向

世祀「It僅救虚幌

、基础智能检测

1.设向量，.=（-2,-5）,若点A的坐标为（3,7）,则点B的坐标为（）.

A（5,12）B.（12,5）C（2,1）D.（1,2）

2.已知点A（1,3）,B（4,-1）,则与向量乔？

同方向的单位向量为（）.

A（f,峙）B.（£,-吉C（-謠）D.（看）

3.已知边长为单位长度的正方形ABCP若A与坐标原点重合，边ABAD分别落在x轴、y轴正

方向上，则向量2._+3_._+評的坐标为.

4.已知平行四边形ABC啲三个顶点ABC的坐标分别为（-2,1）、（-1,3）、（3,4）,求顶点D的坐标.

料样・鼻祀5槻*$丄杞

全新视角拓嚴

（2013年•陕西卷）已知向量a=（1,m）,b=（m2）,若a//b,则实数m等于（）.

A-‘历B血C.-桎或洛D.0

考题变式（我来改编）:

学滋社卞,'1歩•表朱1细>illl.t：

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A平白几何中的应用「料將也编的甲行*科斷四由样的带伏

屮舟41*比・蛊屣嘉車忧

・学习体验分事

答案

第5课时平面向量的坐标表示及其运算

知识体系梳理

问题1:

相互垂直垂直

问题2:

有且仅有xi+yj（x,y）a=（x,y）

问题3：

（1）（X1+X2,yi+y2）

（2）（X1-X2,yi-y2）（3）（入x,入y）（4）（X1-X2,yi-y2）

问题4:

a=Xb（入X2,入y2）入X2Xy2Xiy2-X2yi=0零=成比例

T-a"Wm

基础学习交流

1.Aa=（3,4）=3i+4j.

2.C由a=（i,2）,b=（-2,m）,且a//b,得ixm=2X（-2）?

m=4,从而b=（-2,-4）,那么2a+3b=2X（i,2）+3X（-2,-4）=（-4,-8）.

3.2•.•入a+b=（入+2,2入+3）与c=（-4,-7）共线,A（入+2）X（-7）-（2入+3）X（-4）=0,解得

入二2.

4.

解:

⑴a+b=（-i,2）+（3,-5）=（-i+3,2-5）=（2,-3）,a-b=（-i,2）-（3,-5）=（-i-3,2+5）=（-4,7）,2a+3b=2（-i,2）+3（3,-5）=（-2+9,4-i5）=（7,-ii）.

（2）3a-b+c=3（i,-3）-（-2,4）+（0,5）=（3,-9）-（-2,4）+（0,5）=（3+2+0,-9-4+5）=（5,-8）.重点难点探究

探究一:

【解析】设a=（ai,a2）,b=（bi,b2）,

■/ZAOx=5°,Aai=|a|cos45°=4X=2J*

a2=|a|sin45°=4X字=2界，

aa=（2搭,2叔）=y,

AA点的坐标为（2嵌,2雨）.

将b的起点平移至原点，令b的终点为B',

由题意可知ZB'Ox=i20°,

所以bi=|b|cosi20°=3X（-.）=-],b2=|b|sini20°=3X手

••b=（-，）.

又•/b=^=.--%：

•••一=b+.=（2J?

-,2.+）.

故a=（2-,2）,b=（--,^^）,A点的坐标为（2讹£,2皿-）,B点的坐标为（2--.,2.+•）.

【小结】（i）相等向量的坐标是相同的，而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时，常常需要把始点不在原点的向量移到原点.

（2）起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标，起点不在原点的向量的坐标为终点坐标

减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标

（3）

x轴正方向的夹角为e,由三角函数的e是向量a的方向与X轴正方向的夹

若已知向量a=（x,y）,a的模为|a|,a的方向与

定义可知，x=|a|cose,y=|a|sine.要注意公式中的

角.

C（xi,yi）,D（X2,y2）,由题意得

探究二：

【解析】设点

乳=（Xi+i,yi-2）,皿;=（3,6）,曲;=（-i-x2,2-y2）,•.•朋=；抄：

兀=冷丽，

-3,-6）=（i,2）,

f-L-xa=1,

）"J—IlJ—学

一乙

/.（Xi+i,yi-2）=（3,6）=（i,2）,（-i-x2,2-y2）=-；贝U有-和解得「和.

A点CD的坐标分别为（0,4）和（-2,0）,,=（-2,-4）.

【小结】求点的坐标时，可先设点的坐标，根据题中给出的关系，列出方程组求解即可.

探究三：

【解析】TAB//CDA：

-//亠，

-2■

又：

，=（x,x+3）^_=（2x,x+1）,

2

•••x（x+1）-2x（x+3）=0,

解得x=-2或x=0或x=3.

［问题］上述解法正确吗？

［结论］不正确，错误一：

没有注意四边形ABC□顶点的顺序，需满足，亠，…反向才行•错误二：

没有注意向量的平行与线段平行的不同，一//一一时,AB与CD可能平行也可能重

合.

=-.（10，-4）=-_（a-3b）.

k=-.,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.

（法二）由题意知ka+b=（k-3,2k+2）,a-3b=（10,-4）,当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数入,

使ka+b=X（a-3b）,由（k-3,2k+2）=X（10,-4）,

•••当k=-时，ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-.（a-3b）.

VO,向相反.

•k=-.,此时ka+b与a-3b平行,并且反向

基础智能检测

1.D设点B的坐标为（x,y）,

..=（x,y）_.=（3,7）,」=..-丽［=（x-3,y-7）=（-2,-5）,•_解得叮二

2.A：

_=（3,-4）,所以|一|=5,这样同方向的单位向量是=（,-）,选A.

3.

（3,4）如图，建立直角坐标系，

有A（0,0）,B（1,0）,Q1,1）,Q0,1）,

即一=（1,0）,諮=（0,1）,

..=（1,1）,则有2」+3--+..

=（2,0）+（0,3）+（1,1）=（3,4）.

4.解：

设顶点D的坐标为（x,y）.

亠=（-1-（-2）,3-1）=（1,2）,=（3-x,4-y）,

由乔=…，得（1,2）=（3-x,4-y）.

.i一…：

.-

…1戈二4-V,…5=亍・

•顶点D的坐标为（2,2）.

全新视角拓展

C因为a=（1,n）i,b=（m2）,且a//b,所以1^2=m-n?

m=±^,所以选C.

思维导图构建

xi+yj（x,y）（X1±X2,y1±y2）（入X1,Xy1）（x2-x1,y2-y1）X1y2=X2y1

（1）如图，因为/POP'=45°,|裕|=2,所以a=^=-F+^=^i+；.^j,所以a=（羽，屜）.

（2）因为/QOQ'=O°,同|=3,

所以b=^=吋+..一

玉血

=-i+一j,

所以b=（二,竽）.

（3）因为/ROR'=30°,|巫|=4,

所以c=^?

=..七屜=2阀i-2j,

所以C=（2•.画，-2）.

应用二：

A（2,-4）、B（0,6）、C（-8,10）,

得，=（-2,10）,…=（-8,4）,..=（-10,14）,

•••忌+2站-蘇

=（-2,10）+2（-8,4）-（-10,14）

=（-2,10）+（-16,8）-（-5,7）

=（-18,18）-（-5,7）

=（-13,11）.

应用三:

（法一）ka+b=k（1,2）+（-3,2）=（k-3,2k+2）,a-3b=（1,2）-3（-3,2）=（10,-4）.

■/（ka+b）//（a-3b）,

•（k-3）X（-4）-10（2k+2）=0,解得k=-.此时ka+b=（-討-3,-+2）=（-,-）