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1、14勾股定理第14章勾股定理14.1勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 2. 直角三角形的判定 阅读材料 勾股定理史话 美丽的勾股树14.2勾股定理的应用 小结复习题 课题学习 勾股定理的“无字证明”第14章勾股定理还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（）吗?在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图14.1 勾股定理1. 直角三角形三边的关系本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺试一试测量你的两块直角三角尺的三边

2、的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R的面积即AC，图14.1.1这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积 平方厘米；正方形Q的面积 平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2正方形R的面积 平方厘米我们发现，正

3、方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 由此，我们得出直角三角形的三边的长度之间存在关系 做一做在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立（每一小格代表1平方厘米）图14.1.3概 括数学上可以说明： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有abc，这种关系我们称为勾股定理勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，长为2.16米，求梯子上端A到墙的底

4、边的垂直距离（精确到0.01米）图14.1.4解 如图14.1.4，在Rt中，.米，.米，根据勾股定理可得 .（米）答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 约为4.96米练习1. 在Rt中， c， a， ACb， B90（1） 已知a6， b10， 求c；（2） 已知a24， c25， 求b2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论 图14.1.5 图14.1.6用上面得到的

5、完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦图14.1.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的图14.1.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就 图14.1.7 图14.1.8例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形恰好为直角三角形通过测量，得到AC长160米，长128米问从点A穿过湖到点B有多远?图14

6、.1.9解 如图14.1.9，在直角三角形中，AC米，米，根据勾股定理可得96（米）答： 从点A穿过湖到点B有96米练习1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形D的面积与周长2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米? （第1题） （第2题）2. 直角三角形的判定古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角

7、你知道这是什么道理吗?图14.1.10试一试试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：（1） a3， b4， c5；（2） a4， b6， c8；（3） a6， b8， c10可以发现，其中按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而按（2）所画的不是直角三角形在这三组数据中，（1）、（3）两组都满足abc，而组（2）不满足以后我们会证明一般的结论：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： abc，那么这个三角形是直角三角形古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角例3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1）

8、 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9解 因为 25，所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形练习1. 设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形若是，指出哪一条边所对的角是直角（1） 12， 16， 20；（2） 8， 12， 15；（3） 5， 6， 82. 有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?习题14.11. 将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形利用此图的面积表示式验证勾股定理（第1题）2. 已知中，B，

9、ACcm， cm，求的长. 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆试探索这三个圆的面积之间的关系 （第题） （第5题）5. 如图，已知直角三角形的三边分别为6、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积6. 试判断以如下的a、 b、 c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是，那么哪一条边所对的角是直角?（1） a25， b20， c15；（2） a1， b2， c3；（3） a40， b9， c40；（4） abc51213阅读材料勾股定理史话勾股

10、定理从被发现到现在已有五千年的历史远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了我国古代也发现了这个定理据周髀算经记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，周髀算经中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日勾股这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情形了人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的

11、国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（Pythagoras）学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多1940年卢米斯（E.S. Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子毕氏命题，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达芬奇和美国第任总统詹姆士阿加菲尔德（James Abram Garfield， 18311881）的证法美丽的勾股树你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物可是你是否见过如下的勾股树呢? 你知道这是如何画出来的吗?仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了

12、多么奇妙美丽的勾股树!动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树 14.2 勾股定理的应用 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程图14.2.1分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形 D，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长（精确到.cm）图14.2.2解 如图14.2.2，在Rt中，底面周长的一半cm， AC229（cm）（勾

13、股定理）答： 最短路程约为cm例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?图14.2.3分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图.所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H解 在RtOCD中，由勾股定理得.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门做一做图14.2.4如图14.2.4，以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形试将图中5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方

14、形练习1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?（第题）例3如图14.2.5，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1） 从点A出发画一条线段，使它的另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出所有的以（1）中的为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求 图14.2.5 图14.2.6解（1）

15、 图14.2.6中长度为22（2） 图14.2.6中、 D就是所要画的等腰三角形例4如图14.2.7，已知CDm， ADm， ADC， BCm， m求图中阴影部分的面积图14.2.7解 在RtADC中，AC（勾股定理）， ACm ， ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： abc，那么这个三角形是直角三角形）， S阴影部分ACBACD1/21/2（m）练习1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能值2. 利用勾股定理，分别画出长度为和厘米的线段习题14.21. 若等腰直角三角形的斜边长为2cm，试求出它的直角边和斜边上的高的长度2. 下图由个等腰直

16、角三角形组成，其中第个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长度 （第题） （第3题）3. 如图，为了加固一个高2米、宽3米的大门，需在相对角的顶点间加一块木条求木条的长度4. 在中，23， C， 求B的大小5. 已知三角形的三边分别是n1、 n2、 n3，当n是多少时，三角形是一个直角三角形?6. 如图，ADCD， ，若C，求B的大小（第6题）小结一、 知识结构直角三角形勾股定理应用判定直角三角形的一种方法二、 概括本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此产生的一种判定直角三角形的方法如果知道了直角三角形任意两边的长度，那么应用勾股定理可以计算出第三边的长度；如果知道了

17、一个三角形的三边的长，也可以判断这个三角形是否是直角三角形勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题，在现实生活中有许多重要的应用复习题A组1. 求下列阴影部分的面积：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆（第1题）2. 如图，以Rt的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系（第2题）3. 试判断下列三角形是否是直角三角形：（1） 三边长为mn、 mn、 mn （mn0）；（2） 三边长之比为 112；（3） 的三边长为a、 b、 c，满足abc4. 一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物.7米，如果梯子的顶部滑下.4米

18、，梯子的底部向外滑出多远?5. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A、 B、 C、 D的面积和（第5题）B组6. 在中， BD是AC边的高，DC， 求BD的长（第7题）7. 有一块四边形地D（如图），B， m， m， CDm， DAm， 求该四边形地D的面积8. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数请你写出5组勾股数9. 已知中，三条边长分别为an， b2n， cn（n1）试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角C组10. 如图，四边形D中， CD， 且B，求D的度数 （第10题）

19、（第11题）11. 如图，在矩形D中，cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把ADE折叠，使点D恰好落在边上一点F处，且F的面积是30cm求此时AD的长（第12题）12. 折竹抵地（源自九章算术）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何?意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远问原处还有多高的竹子?课题学习勾股定理的“无字证明”在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的个直角三角形的面积之和，即为(a+b) =c+4（/ab）,由此可以推出勾股定理a+b=c这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形现在请你和大家一起，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，相信你一定能够发现更多的有趣图形，验证勾股定理实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空间与图形等领域中的许多数学公式和规律！