14勾股定理.docx

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14勾股定理

第14章勾股定理

§14.1勾股定理

1.直角三角形三边的关系

2.直角三角形的判定

阅读材料勾股定理史话

美丽的勾股树

§14.2勾股定理的应用

小结

复习题

课题学习勾股定理的“无字证明”

第14章勾股定理

还记得2002年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）吗?

在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．

那是采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．

§14.1勾股定理

1.直角三角形三边的关系

本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系，让我们首先观察经常使用的两块直角三角尺．

试一试

测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：

三角尺

直角边a

直角边b

斜边c

关系

1

2

根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系．

图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积．即

AC

＋ＢＣ

＝ＡＢ

，

图14.1.1

这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?

试一试

观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：

正方形P的面积＝平方厘米；

正方形Q的面积＝平方厘米；

（每一小方格表示1平方厘米）

图14.1.2

正方形R的面积＝平方厘米．

我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．

由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．

做一做

在图14.1.3的方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立．

（每一小格代表1平方厘米）

图14.1.3

概括

数学上可以说明：

对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a

＋b

＝c

，这种关系我们称为勾股定理．

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．

例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）

图14.1.4

解如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，

ＢＣ＝２.１６米，　ＡＣ＝５.４１米，

根据勾股定理可得

ＡＢ＝

＝

≈４.９６（米）．

答：

梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ约为4.96米．

练习

1.在Rt△ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，ＢＣ＝a，AC＝b，∠B＝90°．

（1）已知a＝6，b＝10，求c；

（2）已知a＝24，c＝25，求b．

2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?

试一试

剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．

大正方形的面积可以表示为，又可以表示为．

对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．

图14.1.5图14.1.6

用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．

读一读

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图14.1.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图14.1.8是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．

图14.1.7图14.1.8

例2如图14.1.9，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A穿过湖到点B有多远?

图14.1.9

解如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中，

AC＝１６０米，　ＢＣ＝１２８米，

根据勾股定理可得

ＡＢ＝

＝

＝96（米）．

答：

从点A穿过湖到点B有96米．

练习

1.如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积与周长．

2.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?

（第1题）（第2题）

2.直角三角形的判定

古埃及人曾经用下面的方法画直角：

将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.10那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．

你知道这是什么道理吗?

图14.1.10

试一试

试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：

（1）a＝3，b＝4，c＝5；

（2）a＝4，b＝6，c＝8；

（3）a＝6，b＝8，c＝10．

可以发现，其中按

（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，而按

（2）所画的不是直角三角形．

在这三组数据中，

（1）、（3）两组都满足a

＋b

＝c

，而组

（2）不满足．以后我们会证明一般的结论：

如果三角形的三边长a、b、c有关系：

a

＋b

＝c

，那么这个三角形是直角三角形．

古埃及人所画的三角形的三边长恰好满足这样的关系，所以其中一个角是直角．

例3设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：

（1）7，24，25；

（2）12，35，37；（3）13，11，9．

解因为25

＝２４

＋７

，

３７

＝３５

＋１２

，

１３

≠１１

＋９

，

所以根据前面的判定方法可知，以

（1）、

（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形．

练习

1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角．

（1）12，16，20；

（2）8，12，15；

（3）5，6，8．

2.有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形?

习题14.1

1.将图14.1.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形．利用此图的面积表示式验证勾股定理．

（第1题）

2.已知△ＡＢＣ中，∠B＝９０°，AC＝１３cm，ＢＣ＝５cm，求ＡＢ的长．

３.已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长．

４.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系．

（第４题）（第5题）

5.如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．

6.试判断以如下的a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?

如果是，那么哪一条边所对的角是直角?

（1）a＝25，b＝20，c＝15；

（2）a＝1，b＝2，c＝3；

（3）a＝40，b＝9，c＝40；（4）a∶b∶c＝5∶12∶13．

阅读材料

勾股定理史话

勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史．远在公元前三千年的巴比伦人就已经知道和应用它了．我国古代也发现了这个定理．据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：

“勾广三，股修四，径隅五．”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：

“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即邪至日＝勾２＋股２．这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情形了．

人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的．国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯（Pythagoras）学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理．

勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多．1940年卢米斯（E.S.Loomis）专门编辑了一本证明勾股定理的小册子——《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达·芬奇和美国第２０任总统詹姆士·阿·加菲尔德（JamesAbramGarfield，1831～1881）的证法．

美丽的勾股树

你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物．可是你是否见过如下的勾股树呢?

你知道这是如何画出来的吗?

仔细看看，你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股树!

动手画画看，相信你也能画出其他形态的勾股树．

§14.2勾股定理的应用

勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用．

例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

图14.2.1

分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形ＡＢＣD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到０.０１cm）

图14.2.2

解如图14.2.2，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，

∴AC＝

＝

＝229≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

答：

最短路程约为１０．７７cm．

例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

图14.2.3

分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．

解在Rt△OCD中，由勾股定理得

ＣＤ＝

＝

＝０.６米，

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．

做一做

图14.2.4

如图14.2.4，以直角三角形ＡＢＣ的三边为边分别向外作正方形，其中一个正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形．试将图中5个带色的图形拼入到大正方形中，填满整个大正方形．

练习

1.如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离．

2.现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?

（第１题）

例3如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：

（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；

（2）画出所有的以

（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．

分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．

图14.2.5图14.2.6

解

（1）图14.2.6中ＡＢ长度为22．

（2）图14.2.6中△ＡＢＣ、△ＡＢD就是所要画的等腰三角形．

例4如图14.2.7，已知CD＝６m，AD＝８m，∠ADC＝９０°，BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．

图14.2.7

解在Rt△ADC中，

AC

＝ＡＤ

＋ＣＤ

＝６

＋８

＝１００（勾股定理），

∴AC＝１０m．

∵ＡＣ

＋ＢＣ

＝１０

＋２４

＝６７６＝ＡＢ

，

∴△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、b、c有关系：

a

＋b

＝c

，那么这个三角形是直角三角形），

∴S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD

＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６（m

）．

练习

1.若直角三角形的三边长分别为2、4、x，试求出x的所有可能值．

2.利用勾股定理，分别画出长度为

和

厘米的线段．

习题14.2

1.若等腰直角三角形的斜边长为2cm，试求出它的直角边和斜边上的高的长度．

2.下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm，求第4个直角三角形斜边长度．

（第２题）（第3题）

3.如图，为了加固一个高2米、宽3米的大门，需在相对角的顶点间加一块木条．求木条的长度．

4.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，　ＢＣ＝４，　ＡＣ＝23，∠C＝３０°，求∠B的大小．

5.已知三角形的三边分别是n＋1、n＋2、n＋3，当n是多少时，三角形是一个直角三角形?

6.如图，AD⊥CD，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，　若∠CＡＢ＝５５°，求∠B的大小．

（第6题）

小结

一、知识结构

直角三角形

勾股定理

应用

判定直角三角形的一种方法

二、概括

本章研究了揭示直角三角形三条边之间关系的勾股定理和由此产生的一种判定直角三角形的方法．如果知道了直角三角形任意两边的长度，那么应用勾股定理可以计算出第三边的长度；如果知道了一个三角形的三边的长，也可以判断这个三角形是否是直角三角形．勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题，在现实生活中有许多重要的应用．

复习题

A组

1.求下列阴影部分的面积：

（1）阴影部分是正方形；

（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

（第1题）

2.如图，以Rt△ＡＢＣ的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

（第2题）

3.试判断下列三角形是否是直角三角形：

（1）三边长为m

＋n

、mn、m

－n

（m＞n＞0）；

（2）三边长之比为1∶1∶2；

（3）△ＡＢＣ的三边长为a、b、c，满足a

－b

＝c

．

4.一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物０.7米，如果梯子的顶部滑下０.4米，梯子的底部向外滑出多远?

5.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A、B、C、D的面积和．

（第5题）

B组

6.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，BD是AC边的高，DC＝２，求BD的长．

（第7题）

7.有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m，CD＝１２m，DA＝１３m，求该四边形地ＡＢＣD的面积．

8.能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出5组勾股数．

9.已知△ＡＢＣ中，三条边长分别为a＝n

－１，b＝2n，c＝n

＋１（n＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．

C组

10.如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２，CD＝３，　ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．

（第10题）（第11题）

11.如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm

．求此时AD的长．

（第12题）

12.折竹抵地（源自《九章算术》）：

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何?

意即：

一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子?

课题学习

勾股定理的“无字证明”

在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用以下图形，验证著名的勾股定理：

整个大正方形的面积可以表示为里面小正方形的面积与四边上的４个直角三角形的面积之和，即为

（a+b）

=c

+4·（１/２ab）,

由此可以推出勾股定理

a

+b

=c

．

这种根据图形可以极其简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．

对于勾股定理，我们还可以找到一些用于“无字证明”的图形．现在请你和大家一起，查阅课本和其他有关书籍，上网查询各种相应的资料，相信你一定能够发现更多的有趣图形，验证勾股定理．

实际上你还可以发现“无字证明”也可以用于验证数与代数、空间与图形等领域中的许多数学公式和规律！