整式分式因式分解二次根式解题技巧1124130857docx.docx

1、整式分式因式分解二次根式解题技巧1124130857docx1.整式用运算符号 ( 加、减、乘、除、乘方、开方 ) 把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式单独的一个数或一个字母也是代数式只含有数与字母的积的代数式叫单项式注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：4 1 a2 b 这种表示就是错误的，应写成：13 a 2b 一个单项式中，33所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数如：5a 3b2 c 是六次单项式几个单项式的和叫多项式 其中每个单项式叫做这个多项式的项 多项式中不含字母的项叫做常数项 多项式里次数最高的项的次数， 叫做这个多项式的次数单项式和多

2、项式统称整式用数值代替代数式中的字母， 按照代数式指明的运算， 计算出的结果， 叫代数式的值注意： (1) 求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入(2) 求代数式的值， 有时求不出其字母的值， 需要利用技巧， 利用“整体”代入2.同类项所含字母相同， 并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项 几个常数项也是同类项注意： (1) 同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项合并同类项的法则是： 同类项的系数相加， 所得的结果作为系数， 字母和字母的指数不变去括号法则 1：括号前是“” ，把括号和它前面的“”号

3、一起去掉，括号里各项都不变号去括号法则 2：括号前是“” ，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号整式的加减法运算的一般步骤： (1) 去括号； (2) 合并同类项同底数幂的乘 法法则： 同底数幂相乘 ，底数 不变，指数相 加 如：a m a na m n ( m, n 都是正整数 ) 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘如：a m na mn ( m,n 都是正整数 ) 积的乘方法则： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘如： ab na nb n ( n 为正整数 ) 单项式的乘法法则： 单项式乘以单项式， 把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单

4、项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式单项式与多项式相乘的运算法则： 单项式与多项式相乘， 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加如： m a b c ma mb mc ( m, a,b, c 都是单项式 ) 注意：单项式与多项式相乘， 结果是一个多项式， 其项数与因式中多项式的项数相同计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号多项式乘法法则： 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项平方差公式

5、： ( a 完全平方公式：立方和公式： (a立方差公式： (a (a b c) 2a2b)(ab)a2b 2 ；(ab)2a 22abb 2 ， (a b) 2a 22ab b 2 ；b)(a 2abb2 )a 3b3b)(a 2abb2 )a 3b3 ；b2c 22ab2bc2ac 注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式同底数幂的除 法法则： 同底数幂相除 ，底数 不变，指数相 减 如：a m a n a m n ( m, n 为正整数， a 0 ) 注意： a 0 1( a 0 ) ； a p 1p (a 0, p 为正整数 ) a单项式的除法法则： 单项式相除， 把系数和

6、同底数幂分别相除， 作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式的运算法则： 多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式， 反之，单项式除以多项式是不能这么计算的3因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做把这个多项式因式分解， 也叫做把这个多项式分解因式注意： (1) 因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式例如： 8a3 b 4ab 2a 2 ； a 1 1 a 1 等，都不是因式分解aa(2)因 式 分 解 的 结 果必 须 是 几 个 整 式

7、的 积 的 形 式 例 如 ：2a 2b c 2 a b c ，不是因式分解(3)因式分解和整式乘法是互逆变形(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止如：a 425b4 在有理数范围内应分解为： a 25b2 a25b2 ；而在实数范围内则应分解为： a 25b2 a5b a5b 1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法的关键在于准确的找到公因式， 而公因式并不都是单项式； 公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数； 字母取多项式各项相同的字母； 各字母指数取次数最低的2、运

8、用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法平方差公式： a 2b2abab 完全平方公式： a 22abb 2a b 2 ； a 22ab b 2a b 2 立方和公式： a 3b3aba 2abb 2立方差公式： a 3b3aba 2abb2注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法分组分解法的关键是合理的选择分组的方法， 分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式4、十字

9、相乘法： x 2p q xpqx px q 5、求根法：当二次三项式 ax 2bxc 不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程ax 2bx c 0 的两个根x1 , x2 ，然后写成： ax 2bxc a xx1x x2运用求根法时，必须注意这个一元二次方程 ax 2bxc0 要有两个实数根因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下， 观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式； 三项式可以尝试运用公式法、 十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解

10、法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止4.分式一般的，用 A, B 表示两个整式， A B 就可以表示成 A 的形式如果 B 中含B有字母，式子 A 就叫做分式其中， A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母 . 分B式和整式通称为有理式注意： (1) 分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零 若分母的值为零， 则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零把一个分式的分子与分母的公因式约去， 把分式化成最简分式， 叫做分式的约分一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、

11、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式10 n ，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式， 叫做分式的通分取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母分式的分子和分母都乘以 ( 或除以 ) 同一个不等于零的整式， 分式的值不变 用式子表示是： AAMAM ( 其中 M 是不等于零的整式 ) BBMBM分式的分子、分母与分式本身的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变如：A A A AB B B B分式的系数化整问题， 是利用分式的基本性质， 将分子、分母都乘以一个

12、适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数当分子、分母中的系数都是分数时， 这个“适当的数” 应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是其中 n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小1a1b0.4x 23y2(1) 23；(2)1 x 2101a1b0.6y 2344分析：第 (1) 题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数， 然后把原式的分子、 分母都乘以这个最小公倍数， 即可把系数化为整数；

13、第 (2) 题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数111112abab4b ；解： (1)23236a111 a1 b124a3bab34340.4x23y20.4x 20.3y 210040x 230y 25 8x26y 2(2)10122(0.25x 20.6 y2 )10025x 260y 25 5x 212 y20.6yx48x26 y 25x212y 21、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘用式子表示是：a cac ；aca da

14、db dbdb db cbc2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方用式子表示是：nnaan( n 为整数 ) bb3、分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减用式子表示是：a b a bc c c；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减用式子表示是：acad bc bdbd分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的例、计算 x2x4x6x8 x1x3x5x7分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并

15、且每个分子都是分母与 1 的和，所以可以采取“裂项法” 解：原式x 1 1 x 3 1 x 5 1 x 7 1x1x3x5x71111111x1x3x51x 71111x1x3x5x722x1x3x5x72 x5x72 x1x3x1x3x5x716x64x1x3x5x7点评：本题考查在分式运算中的技巧问题， 要认真分析题目特点， 找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到5.二次根式式子 a(a 0) 叫做二次根式，二次根式必须满足： 含有二次根号 “ ” ；被开方数 a 必须是非负数如 5 ， (a b) 2 ， a 3(a 3) 都是二次根式若二次根式满足 : 被开方数的因数是整

16、数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如 5a ，3x 2 y2 ， a2 b2 是最简二次根式，而 a ， a b 2 ， 48ab2 ， 1 就不b x是最简二次根式化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：如果被开方数是分数 ( 包括小数 ) 或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式， 先将它分解因数或因式， 然后把能开得尽方的因数或因式开出来几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫同类二次根式注意：当几个二次根式的被开方数相同时， 也可以直接看出它们

17、是同类二次根式如 24 和 3 24 一定是同类二次根式合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式 合并同类二次根式的方法和合并同类项类似， 把根号外面的因式相加， 根式指数和被开方数都不变把 分 母 中 的 根 号 化 去 ， 叫 分 母 有 理 化 如131313131 ( 3 1)( 3 1)312两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 那么这两个代数式互为有理化因式如3 1和 3 1； 32和 32 ； a 和 a ；ab a和 a b a 都是互为有理化因式注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算如3 (37 )

18、33(37 )3 321 3 321 37(3 7 )(37)32( 7 ) 22(1) (a ) 2a(a0) (2)a 2a a(a 0)， a(a 0)(3)abab (a 0, b 0) (4)aa (a0, b0)bb二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)再把同类二次根式分别合并二次根式的乘法法则：两个 二 次 根 式 相 乘 ， 被 开 方 数 相 乘 ， 根 指 数 不 变 即 ：ab ab ( a,b 0 ) 此法则可以推广到多个二次根式的情况二次根式的除法法则：两 个 二 次 根 式 相 除 ， 被 开 方 数 相

19、除 ， 根 指 数 不 变 ， 即 ：aab( a 0, b 0 ) 此法则可以推广到多个二次根式的情况b二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的 ( 或先去掉括号 ) 例 1、计算：221 2 3 6 1 2 3 6分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于 1236 分母 有 理 化 比 较 麻 烦 ， 我 们 应 注 意 到 12362 1 3 1 ；12362131，这样做起来就比较简便解：22123612362221312131221312213122212131231232 例 2、计算：527312335355757分析：按

20、一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“ 1 1 b a ”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”abab的性质来化简解：525332 ； 737553 ，原式11111233535575712332 例 3、已知 x3， a 是 x 的整数部分， b 是 x 的小数部分，求 ab 的72ab值分析：先将 x 分母有理化，求出 a, b 的值，再求代数式的值解：372 ，x72又27 3 ，4x5 a4, b7 2 47 2a b 47 26 76 7 728 7 19 a b47 27 27 2 723二次根式的化简技巧一、巧用公式法例 1 计算 a 2

21、baba bbaba分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立 ， 且 分 式 也 成 立 ， 故 有 a 0 ， b 0 ， ab 0而 同 时 公 式 ：ab 2 = a 2 -2 ab + b 2 ， a 2- b 2 = a b a b ，可以帮助我们将a 2 abb 和ab 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。ab2abab =解：原式 =+ab+ab =2a -2babab二、适当配方法。例 2计算： 32223361分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，分母含有1+23 其分子必有含1+ 233+22 =12363 12 ，通过因的因式，于是可以发现2，且式分解，分子所含的1+23 的因式就出来了。解：原式 = 3 26 = 1222