整式分式因式分解二次根式解题技巧1124130857docx.docx
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整式分式因式分解二次根式解题技巧1124130857docx
1.整式
用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
只含有数与字母的积的代数式叫单项式．
注意：
单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数
表示，如：
41a2b这种表示就是错误的，应写成：
13a2b．一个单项式中，
3
3
所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：
5a3b2c是六次单项式．
几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
单项式和多项式统称整式．
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．
注意：
（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代
入
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整
体”代入．
2.同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
注意：
（1）同类项与系数大小没有关系；
（2）同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
合并同类项的法则是：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字
母的指数不变．
去括号法则1：
括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．
去括号法则2：
括号前是“－”，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．
整式的加减法运算的一般步骤：
（1）去括号；
（2）合并同类项．
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：
aman
amn（m,n都是正整数）．
幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：
amn
amn（m,n都
是正整数）．
积的乘方法则：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
再把所有的幂
相乘．如：
abn
anbn（n为正整数）．
单项式的乘法法则：
单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：
单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．
单项式与多项式相乘的运算法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项
式的每一项，再把所得的积相加．如：
mabcmambmc（m,a,b,c都是
单项式）．
注意：
①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．
②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
多项式乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
注意：
多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．
①平方差公式：
（a②完全平方公式：
③立方和公式：
（a
④立方差公式：
（a
⑤（abc）2
a2
b）（a
b）
a2
b2；
（a
b）2
a2
2ab
b2，（ab）2
a2
2abb2；
b）（a2
ab
b2）
a3
b
3
b）（a2
ab
b2）
a3
b
3；
b2
c2
2ab
2bc
2ac．
注意：
公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．
同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：
amanamn（m,n为正整数，a0）．
注意：
a01（a0）；ap1p（a0,p为正整数）．
a
单项式的除法法则：
单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式的运算法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
注意：
这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的
3．因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
注意：
（1）因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例
如：
8a3b4ab2a2；a11a1等，都不是因式分解．
aa
（2）因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：
2a2bc2abc，不是因式分解．
（3）因式分解和整式乘法是互逆变形．
（4）因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：
a4
25b4在有理数范围内应分解为：
a2
5b2a2
5b2；而在实数范围内则应
分解为：
a2
5b2a5ba5b．
1、提公因式法：
如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式
法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．
2、运用公式法：
把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
平方差公式：
a2
b2
a
b
a
b．
完全平方公式：
a2
2ab
b2
ab2；a2
2abb2
ab2．
立方和公式：
a3
b3
a
b
a2
ab
b2
．
立方差公式：
a3
b3
a
b
a2
ab
b2
．
注意：
运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．
3、分组分解法：
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．
4、十字相乘法：
x2
pqx
pq
xp
xq．
5、求根法：
当二次三项式ax2
bx
c不易或不能写成用公式法或十字相乘
法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程
ax2
bxc0的两个根
x1,x2，然后写成：
ax2
bx
cax
x1
xx2
．运用求根法时，必须注意这个
一元二次方程ax2
bx
c
0要有两个实数根．
因式分解的一般步骤是：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：
二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．
4.分式
一般的，用A,B表示两个整式，AB就可以表示成A的形式．如果B中含
B
有字母，式子A就叫做分式．其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.分
B
式和整式通称为有理式．
注意：
（1）分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；
（2）分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；
（3）当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．
把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的
约分．
一个分式约分的方法是：
当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．
10n，
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式
子表示是：
A
A
M
A
M（其中M是不等于零的整式）．
B
B
M
B
M
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如：
AAAA
BBBB
分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最
小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是其中n等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．
例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．
1
a
1
b
0.4x2
3
y2
（1）2
3
；
（2）
1x2
10
．
1
a
1
b
0.6y2
3
4
4
分析：
第
（1）题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数
所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第
（2）题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．
1
1
1
1
12
a
b
a
b
4b；
解：
（1）
2
3
2
3
6a
1
1
1a
1b
12
4a
3b
a
b
3
4
3
4
0.4x
2
3
y
2
0.4x2
0.3y2
100
40x2
30y2
58x2
6y2
（2）
10
1
2
2
（0.25x2
0.6y2）
100
25x2
60y2
55x2
12y2
0.6y
x
4
8x2
6y2
．
5x2
12y2
1、分式的乘除法则：
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：
ac
ac；
a
c
ad
ad
．
bd
bd
bd
bc
bc
2、分式的乘方法则：
分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：
n
n
a
a
n
（n为整数）．
b
b
3、分式的加减法则：
①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：
abab
ccc
；
②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：
a
c
adbc．
b
d
bd
分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的．
例、计算x
2
x
4
x
6
x
8．
x
1
x
3
x
5
x
7
分析：
对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意
观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法”．
解：
原式
x11x31x51x71
x
1
x
3
x
5
x
7
1
1
1
1
1
1
1
x
1
x
3
x
5
1
x7
1
1
1
1
x
1
x
3
x
5
x
7
2
2
x
1
x
3
x
5
x
7
2x
5
x
7
2x
1
x
3
x
1
x
3
x
5
x
7
16x
64
．
x
1
x
3
x
5
x
7
点评：
本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到．
5.二次根式
式子a（a0）叫做二次根式，二次根式必须满足：
①含有二次根号“”；
②被开方数a必须是非负数．如5，（ab）2，a3（a3）都是二次根式
若二次根式满足:
①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不
含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如5a，
3x2y2，a2b2是最简二次根式，而a，ab2，48ab2，1就不
bx
是最简二次根式．
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．
②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方
的因数或因式开出来．
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．
注意：
当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和324一定是同类二次根式．
合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．
把分母中的根号化去，叫分母有理化．如
1
3
1
3
1
3
1
3
1．
（31）（31）
3
1
2
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两
个代数式互为有理化因式．如
31和31；3
2和3
2；a和a；
aba和aba都是互为有理化因式．
注意：
二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有
理
化
来
运
算
．
如
3（3
7）
3
3（3
7）
33
2133
21．
3
7
（37）（3
7）
32
（7）2
2
（1）（
a）2
a（a
0）．
（2）a2aa（a0），a（a0）．
（3）
ab
a
b（a0,b0）．
（4）
a
a（a
0,b
0）
b
b
二次根式的加减法法则：
（1）先把各个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则：
两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：
abab（a,b0）．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则：
两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：
a
a
b
（a0,b0）．此法则可以推广到多个二次根式的情况．
b
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，
先乘方，再乘除，最后加减，
有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．
例1、计算：
2
2
．
12361236
分析：
此题一般的做法是先分母有理化，
再计算，但由于1
236分
母有理化比较麻烦，我们应注意到1
2
3
6
2131；
1
2
3
6
2
1
3
1
，这样做起来就比较简便．
解：
2
2
1
2
3
6
1
2
3
6
2
2
2
1
3
1
2
1
3
1
2
2
1
3
1
2
2
1
3
1
2
2
2
1
2
1
3
1
2
3
1
2
3
2．
例2、计算：
5
2
7
3
1
．
2
3
3
5
3
5
5
7
5
7
分析：
按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、
减法的运算法则“11ba”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”
a
b
ab
的性质来化简．
解：
52
5
3
3
2；7
3
7
5
53，
原式
1
1
1
1
1
2
3
3
5
3
5
5
7
5
7
1
2
3
3
2．
例3、已知x
3
，a是x的整数部分，b是x的小数部分，求a
b的
7
2
a
b
值．
分析：
先将x分母有理化，求出a,b的值，再求代数式的值．
解：
3
7
2，
x
72
又273，
4
x
5．
a
4,b
724
72
．
ab4
72
67
677
2
8719．
ab
4
72
72
727
2
3
二次根式的化简技巧
一、
巧用公式法
例1计算a2ba
b
ab
b
a
b
a
分析：
本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为
a与
b成
立，且分式也成立，故有a＞0，b＞0，ab0
而同时公式：
a
b2=a2-2ab+b2，a2
-b2=abab，可以帮助我们将
a2ab
b和
ab变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
a
b
2
a
b
a
b=
解：
原式=
+
a
b
+
a
b=2
a-2
b
a
b
a
b
二、适当配方法。
例2．计算：
3
2
2
2
3
3
6
1
分析：
本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有
1+
2
3其分子必有含
1+2
3
3+2
2=
1
2
3
6
31
2，通过因
的因式，于是可以发现
2
，且
式分解，分子所含的
1+
2
3的因式就出来了。
解：
原式=32
6=1
2
2
2
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