1、,三、数量乘法,一、加法,二、乘法,四、转置,4.2 矩阵的运算,1定义,设 则矩阵,称为矩阵A与B的和，记作 即,一、加法,说明,例如,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,(1)交换律,(2)结合律,(3),(4),定义,2性质,3减法,设 则 矩阵,其中,称为 与 的积，记为,1定义,二、乘法,乘积 有意义要求 A 的列数 的行数.,乘积 中第 行第 列的元素由 的第 行,乘 的第 列相应元素相加得到,注意,如,不存在.,例1 线性方程组,令,则（1）可看成矩阵方程,而 无意义,例2,例3,例4,注意,未必,若，称A与B可交换,一般地，,即 且 时，有可能,未必有 或,2矩阵乘
2、法的运算规律,(5),(结合律),（分配律),证：1）设,令,其中,的第 i 行第 l 列元素为,的第 i 行第 l 列元素为,结合律得证.,设 为 级方阵 定义,称 为 的 次幂.,3矩阵的方幂,定义,个,(3)一般地,性质,解:,例5设 求,由此归纳出,用数学归纳法证明之.,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,故对于任意 都有,称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积记作：,三、数量乘法,1定义,设 则矩阵,即,2性质,注:矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的 线性运算.,(6)若 A 为 n 级方阵，,(数量矩阵与任意矩阵可交换),(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法),设
3、的转置矩阵是指矩阵,记作 或,四、转置,1定义,2性质,(5)若 为方阵，则,（3）证：,设,中 的元素为,从而 中 的元素为,中的 元素为,又的第 i 行元素为,的第 j 列元素为,设 n 级方阵,(1)若 满足 即,3对称矩阵反对称矩阵,定义,则称 A 为对称矩阵；,(2)若 满足 即,则称 A 为反对称矩阵.,性质,(2)对称，对称；,反对称，反对称,(1)对称 对称;,反对称 反对称,(3)奇数级反对称矩阵的行列式等于零,为奇数时，,i)对称，积 对称吗?,想一想,ii)反对称，积 反对称吗?,皆为 n 级对称矩阵，,对称,证：,若AB对称，则有,反过来，若AB=BA，则有,所以 AB 对称.,例8 设 A 为 n 级实对称矩阵，且，证明：,证：,设,又 皆为实数,练习,1 设列矩阵 满足,H 是对称矩阵，且,2 已知,求,1 证:,2 解:,附:共轭矩阵,运算性质,（设 为复矩阵，为复数）,
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