高等代数北大版课件4.2矩阵的运算.ppt

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,三、数量乘法,一、加法,二、乘法,四、转置,4.2矩阵的运算,1定义,设则矩阵,称为矩阵A与B的和，记作即,一、加法,说明,例如,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,

（1）交换律,

（2）结合律,（3）,（4）,定义,2性质,3减法,设则矩阵,其中,称为与的积，记为,1定义,二、乘法,乘积有意义要求A的列数的行数.,乘积中第行第列的元素由的第行,乘的第列相应元素相加得到,注意,如,不存在.,例1线性方程组,令,则

（1）可看成矩阵方程,而无意义,例2,例3,例4,注意,未必,若，称A与B可交换,一般地，,即且时，有可能,未必有或,2矩阵乘法的运算规律,（5）,（结合律）,（分配律）,证：

1）设,令,其中,的第i行第l列元素为,的第i行第l列元素为,结合律得证.,设为级方阵定义,称为的次幂.,3矩阵的方幂,定义,个,（3）一般地,性质,解:

例5设求,由此归纳出,用数学归纳法证明之.,当时，显然成立.,假设时成立，则时，,故对于任意都有,称为矩阵A与数k的数量乘积记作：

三、数量乘法,1定义,设则矩阵,即,2性质,注:

矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的线性运算.,（6）若A为n级方阵，,（数量矩阵与任意矩阵可交换）,（数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法）,设的转置矩阵是指矩阵,记作或,四、转置,1定义,2性质,（5）若为方阵，则,（3）证：

设,中的元素为,从而中的元素为,中的元素为,又的第i行元素为,的第j列元素为,设n级方阵,

（1）若满足即,3对称矩阵反对称矩阵,定义,则称A为对称矩阵；,

（2）若满足即,则称A为反对称矩阵.,性质,

（2）对称，对称；,反对称，反对称,

（1）对称对称;,反对称反对称,（3）奇数级反对称矩阵的行列式等于零,为奇数时，,i）对称，积对称吗?

想一想,ii）反对称，积反对称吗?

皆为n级对称矩阵，,对称,证：

若AB对称，则有,反过来，若AB=BA，则有,所以AB对称.,例8设A为n级实对称矩阵，且，证明：

证：

设,又皆为实数,练习,1设列矩阵满足,H是对称矩阵，且,2已知,求,1证:

2解:

附:

共轭矩阵,运算性质,（设为复矩阵，为复数）,