各种粒子的量子方程.docx

1、各种粒子的量子方程各种粒子的量子方程施水荣 广东省惠州市惠阳电视台，广东惠阳 (516211) Email：hytvssr2006.10.8 摘要：本文详细研究了常数张量及其性质，并应用常数张量的方法，探讨了电磁场、引力 场、YM 场的经典形式与各种量子形式及其相互转换关系，对各种形式是否等价给出了证 明，并将电磁场、引力规范场、YM 场纳入任意整自旋广义 YM 规范理论进行统一处理，进一步引出任意自旋量子方程，充分展示了常数张量分析方法的威力。应用张量的方法有以下好处：保证每一步协变性 ( 包含内部对称性与外部对称性 )，保证结果的协变性，不再 需要额外证明其协变性，即只要采用广义张量写法，

2、则群规范对称性、洛伦次对称性与广 义协变性是自然满足的。本篇比较全面地列出了电磁场、引力场、YM 场、中微子、电子 及任意自旋场量子方程的各种形式，并基于以上结果提出了自旋模型与中微子振荡模型。关键词：常数张量、经典、量子、自旋、对称性。1. 前言本文运用常数张量的方法，统一将电磁场、引力规范场、Yang-Mills 场及任意自旋场写成类中微子的量子方程形式。对于电磁场的类中微子的量子方程形式，历史上很多人都1 -5 作过研究 ，如朗道、Oppenheimer、Weinberg、Moses、Majorana 等，本文在此基础上运用新的方法常数张量分析方法，将电磁场情形推广运用于 Yang-Mi

3、lls 场与引力场规范 理论及一般情形，得到了所有粒子的量子方程形式，并进一步写出了各种粒子方程的多种 等价形式。2. 数学准备2.1 约定符号约定： ：直积； ：直和；：叉乘；：点乘；*：霍奇星算子 ;采用正交标架：g ab = d i ag ( 1 , 1 , 1 , 1) , 这样可以不区分协变、逆变指标 ; 对易与反对易指标约定：T ab = T ab - T ba T ( ab ) = T ab + T ba ; 坐标指标符号：小写阿拉伯字母u , v , s , t , p , q ； 标架指标符号：除坐标指标符号外的小写阿拉伯字母a , b , c , d ,. ； 旋量指标符号

4、：大写阿拉伯字母A , B , C , D ,. ；自旋指标符号：希腊字母2.2 泡利矩阵, , , , , ,. 。s = 0 11 0 ，0 - ii 0 ，1 00-1 001000000-1 00100 -1 a , b = 2 ic2ab c (s/ 2) 0-1 0010000000000000000000000100-1 0c= 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) a , b = 2 ab (2.2.1)2.3 SO(4) 群生成元2.3.1 空间旋转生成元与 洛仑兹旋转生成元000000-1 00100000000100000-1 00000000000000100000-1

5、 00R = i ， i， i 000100000000-1 000L = i， i ， i c R a , R b = i R a , L b = iab R c L a , L b = icab L c L a , R b = iab L c0-1 001000000100-1 0cab L c (2.3.1)00100001-1 0000-1 002.3.2 空间旋转生成元与洛仑兹旋转生成元的混合表象000100-1 00100-1 000s+ = R + L = i，i ，i000-1 00-1 001001000s - = R - L = i，i ，ic2 + a , + b = 2

6、 iab + c (s+ / 2) = 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) + a , + b = 2 ab - a , - b = 2 i + a , - b =0 c2ab - c (s- / 2) 0010000-1 -1 0000100= 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) - a , - b = 2 ab s+ = (- y x , - I y , y z ) s- = ( x y , - z y , y I ) (2.3.2)2.4 光子自旋矩阵= i0 0 00 0 -1 0 1 00 0 1， i 0 0 0-1 0 00 -1 0， i 1 0 0 0 0 0 a , b

7、 = icab c g2 = 1 ( 1 + 1) (2.4.1)2.5 转换矩阵-1 0 0 10010010000011 0 0 01S em =2- i 0 0 - i0 1 1 00 i - i 0S ex =+ +s+ = S em IS em s- = S em I S em (2.5.1)2.6 矩阵约定a = (- , i ) + a = (- + , i ) - a = (- - , i ) (2.6.1)3. 常数张量分析3.1 常数张量性质的物理证明 注：本节证明属于说明性的，数学上不够严格，但结论是正确的。本节讨论的是最一般的 Yang-Mills 理论，包括引力场与经

8、典YM 场。底流形采用自然基，底流形指标与群指标在 引力场与经典YM 场情形下变换都是独立的，以下保持底流形指标不变，对群指标进行变 换。3.2 广义 Yang-Mills 理论情形3.2.1 YM 理论T 线性无关，且满足 T , T = if T 则可以得到以下 YM 理论。U ( ) = exp i T 注：群参数 可以是实数也可以是复数。UD u UD u D u = u + iA u T-1 A u T UA u T -( u U ) Uuv uv F T UF T U -1 3.2.2 命题证明Fuv = u A v - v A u + if A u A v (3.2.1)F A

9、A命题一：证明：u vB ( = Fuv T B ) 是混合张量。 (3.2.2.1)由 Yang-Mills 理论得变换关系F AA -1 以得AA exp i T uv ( B ) = UF uv ( B ) U ，所 exp - i T T A , B u , v F A = F T Au , v A , B所以 是协变旋量标，结合 是坐标矢量标，所以标的混合张量，证毕。u vB uv B 是关于 , 指命题二：Fuv 是混合张量。 (3.2.2.2)证明：F A A无穷小变换uv ( B ) = ( 1+ i T ) Fuv ( B ) ( 1- i T )Fuv T = i F uv

10、 T T A AFuv T B = i F uv if T BFuv = i if F uv Fuv = i if 可得FT uv exp i if T exp - i if 由上得 是旋量标，结合u , v 是坐标矢量标，所以Fuv 是关于u , v ,证毕。指标的混合张量。T命题三：群基证明：AB 是混合常数张量。 (3.2.2.3)F A A A由 u vB ( = Fuv T B ) 是混合张量及Fuv 是混合张量，可得T B 是关于A , B ,指标的混合常数张量。 证毕。 命题四：结构常数f证明：是常数张量。 (3.2.2.4)T A B A A由结构方程证毕。 B T C = i

11、f T C 及T B 是张量，可得fT A是关于 , ,指标的常数张量。命题五：群基协变导数证明：由 Yang-Mills 理论得B ; s = 0 。 (3.2.2.5)( F uv T ) ; s = s ( Fuv T )+ i A s T , F uv T ( F uv T ) ; s = s ( Fuv ) T + iA s Fuv if T 因为Fuv ; s = s Fuv + iA s Fuv if ( F uv T ) ; s = F uv ; s TA A( F uv T B ) ; s = Fuv ; s T BA得Fuv T B ; s = 0T AB ; s = 0证

12、毕。命题六：结构常数协变导数f ; s = 0 。 (3.2.2.6)证明：T A B A A由结构方程 B T C = if T C 及T B ; s = 0( TT)A B B C ; s= if TA; s C = 0f ; s = 0证毕。命题七：一组线性无关的基T ，只要满足结构方程T T = if T ，则必定满足以上六 个命题。 (3.2.2.7)证明：利用以上基T ，可以构造 Yang-Mills 理论，则自然有命题一到命题六的结论。 命题八：正交标架下任意旋量的常数度规的协变导数都为零。 (3.2.2.8) 证明：任意旋量的变换为A = exp i T B则 A = g AB

13、 - T = exp - i T T g AB A B = g AB A B =不变量T g = g -1 g- T = gT T g + g T = 0 T g + gT T = 0T A CB B AC C CC g + T C g= 0 TA g CB + T B g AC = 0AB D c gAB = c g- iA c TgTA CB C- iA c TgTB AC CAB D c g= c gc CAB - iA T A gc CCB - iA T B g AC AB = c g = 0C CD c g AB = c g AB + iA c TA g CB + iA c T B

14、g AC = c g AB = 0c B cAC D g A = D ( gg CB ) = 0所以只要度规为常数张量，则其协变导数为零。证毕。3.2.3 正交标架正交标架下以上结论同样成立：F A u v Au v Aa bB ( = e a e b F uv T B ) 是混合张量；Fab ( = e a e b Fuv ) 是混合张量；群基T B 是混合常数f T A= 0 f = 0张量；结构常数 是常数张量；群基协变导数3.3 引力场型 YM 情形B ; c；结构常数协变导数 ; c 。3.3.1 引力场型YM 理论ab = - ba ,ab , a b 线性无关，且满足洛仑兹群表示

15、ef ab , cd = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) / 2 = if a b cd ef 则可以得到以下引力场型 YM 规范理论。U ( ) = exp ab Uab ab D u UD u D u = u +u ab ab u ab U-1 ab u ab -1 -( u U ) UR ab Uab -1 ab ab ab ac b ac buv ab UR uv ab U3.3.2 命题证明R A ab AR uv = uv - v u + uvc - vuc (3.3.1)命题一：证明：u vB ( = R uv a bB ) 是

16、混合张量。 (3.3.2.1)由 Yang-Mills 理论得变换关系R AA -1 以得uv ( B ) = UR uv ( B ) U ，所A exp ab ab ab A exp - ab T A , B u , v R A = R T Au , v A , B所以 是协变旋量标，结合 是坐标矢量标，所以标的混合张量，证毕。R ab u vB uv B 是关于 , 指命题二：证明：uv 是混合张量。 (3.3.2.2)洛仑兹群表示 ab , cd = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) /2 无穷小变换R ab uv ab =R , ab

17、cd uv ab cd R ab uv ab =R , ab cd uv ab cd R ab a cb acb uv ab = c R uv - R u vc ab R ab a cb acb uv = R c R uv - R u vc uv = ( 1+ ) R uv ( 1- )a , b exp = exp i wR + L a , b u , v R ab u , v , a , b由上得 是标架矢量标，结合 是坐标矢量标，所以量。证毕。uv 是关于 指标的混合张命题三：群基证明：Aa bB 是混合常数张量。 (3.3.2.3)R A ab A ab A由 u vB ( = R u

18、v a bB ) 是混合张量及R uv 是混合张量，可得a bB 是关于A , B , a , b 指标的混合常数张量。证毕。f ef 命题四：结构常数证明：a b cd 是常数张量。 (3.3.2.4)由结构方程f ef A a bB ,Bef cd C = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) / 2 = if a b cd Ae fC 是张量，可得数 a b cd 证毕。是关于a , b , c , d , e , f 指标的常数张量。A命题五：群基协变导数证明：a bB ; s = 0 。 (3.3.2.5)由引力场型 Yang-Mills

19、 理论得( R ab ab ab cd uv ab ) ; s = s ( R uv ab ) + s ab , R uv cd ( R ab ab a cb a cb uv ab ) ; s =( s R uv ) ab + sc R uv - R u vc s ab ( R ab ab a cb a cb uv ab ) ; s =( s R uv ) ab + sc R uv - R u vc s ab ( R ab ab uv ab ) ; s =( R uv ; s ) ab ( R ab Aab Auv a bB ) ; s =( R uv ; s )Aa bB a bB ; s

20、= 0证毕。f ef 命题六：结构常数协变导数 a b cd ; g = 0证明：(3.3.2.6)由结构方程A a bB ,Bef cd C = if a b cd Ae fC 及Aa bB ; s = 0 得 A Bef A a bB ,f ef cd C ; g = if a b cd ; ge fC a b cd ; g = 0证毕。命题七：一组线性无关的基ab ，a b ，只要满足结构方程A a bB ,Bef cd C = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) / 2 = if a b cd Ae fC ，则必定满足以上六个命题。 (3

21、.3.2.7)证明：利用以上基ab ，可以构造引力 Yang-Mills 理论，则自然有命题一到命题六的结论。证毕。命题八：正交标架下任意旋量的常数度规的协变导数都为零。 (3.3.2.8)证明： 任意旋量的变换为ab A = exp ab 则 A = g AB - T = exp - ab Tab g AB A BA B =g AB = 不变量T g = g -1 gB- T = gTab g + gab = 0 ab g + g Tab = 0Aa bC gCB += 0AC Bga bC Ca bA g CB +Ca bB g AC = 0AB D c g= c gAB -gab TA

22、Ac a bC CB -gab TB AC c a bC AB D c g= c gAB -ab gc a bC CB -Bgab AC c a bC AB = c g = 0D c g AB = c g AB +Cab c a bA g CB +Cab c a bB g AC = c g AB = 0c B cAC D g A = D ( gg CB ) = 0所以只要度规为常数张量，则其协变导数为零。证毕。3.3.3 正交标架正交标架下以上结论同样成立：R A u vcd Acd u v cd Aa bB ( = e a e b R uv T c dB ) 是混合张量；R ab = e a e b R uv 是混合张量；群基a bB 是混合常数f ef A张量；结构常数f ef a b cd ; g = 0 。3.4 小结a b cd 是常数张量；群基协变导数a bB ; c = 0 ；结构常数协变导数以上结论在一般李群与广义Yang-Mills 规范理论下成立，SO(3,1) 群、SL(2,Z) 群