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各种粒子的量子方程

施水荣广东省惠州市惠阳电视台，广东惠阳（516211）Email：

hytvssr@

2006.10.8摘要：

本文详细研究了常数张量及其性质，并应用常数张量的方法，探讨了电磁场、引力场、YM场的经典形式与各种量子形式及其相互转换关系，对各种形式是否等价给出了证明，并将电磁场、引力规范场、YM场纳入任意整自旋广义YM规范理论进行统一处理，

进一步引出任意自旋量子方程，充分展示了常数张量分析方法的威力。

应用张量的方法有

以下好处：

保证每一步协变性（包含内部对称性与外部对称性），保证结果的协变性，不再需要额外证明其协变性，即只要采用广义张量写法，则群规范对称性、洛伦次对称性与广义协变性是自然满足的。

本篇比较全面地列出了电磁场、引力场、YM场、中微子、电子及任意自旋场量子方程的各种形式，并基于以上结果提出了自旋模型与中微子振荡模型。

关键词：

常数张量、经典、量子、自旋、对称性。

1.前言

本文运用常数张量的方法，统一将电磁场、引力规范场、Yang-Mills场及任意自旋场

写成类中微子的量子方程形式。

对于电磁场的类中微子的量子方程形式，历史上很多人都

[1-5]

作过研究，如朗道、Oppenheimer、Weinberg、Moses、Majorana等，本文在此基础上

运用新的方法—常数张量分析方法，将电磁场情形推广运用于Yang-Mills场与引力场规范理论及一般情形，得到了所有粒子的量子方程形式，并进一步写出了各种粒子方程的多种等价形式。

2.数学准备

2.1约定

符号约定：

：

直积；：

直和；×：

叉乘；·：

点乘；*：

霍奇星算子;

采用正交标架：

gab=diag（1,1,1,1）,这样可以不区分协变、逆变指标;对易与反对易指标约定：

T[ab]=Tab-TbaT（ab）=Tab+Tba;坐标指标符号：

小写阿拉伯字母u,v,s,t,p,q；标架指标符号：

除坐标指标符号外的小写阿拉伯字母a,b,c,d,...；旋量指标符号：

大写阿拉伯字母A,B,C,D,...；

自旋指标符号：

希腊字母

2.2泡利矩阵

,,,,,...。

s={

10，

0-i

i0，

-1

}

0-1

[a,b]=2i

abc（s/2）

-1

=1/2（1/2+1）{a,b}=2ab（2.2.1）

2.3SO（4）群生成元

2.3.1空间旋转生成元与洛仑兹旋转生成元

-1

R={i，i

，i}

-1

L={i

，i，i}

[Ra,Rb]=i

[Ra,Lb]=i

abRc[La,Lb]=i

abLc[La,Rb]=i

abLc

-1

abLc（2.3.1）

-1

2.3.2空间旋转生成元与洛仑兹旋转生成元的混合表象

-1

s+=R+L=i

，i，i

-1

s-=R-L=i

，i，i

[+a,+b]=2i

ab+c（s+/2）

=1/2（1/2+1）{+a,+b}=2ab

[-a,-b]=2i

[+a,-b]=0

ab-c（s-/2）

-1

=1/2（1/2+1）{-a,-b}=2ab

s+=（-yx,-Iy,yz）s-=（xy,-zy,yI）（2.3.2）

2.4光子自旋矩阵

={i

000

00-1

010

001

，i000

-100

0-10

，i100}

000

[a,b]=i

abcg

2=1（1+1）

（2.4.1）

2.5转换矩阵

-1001

1000

Sem=

-i00-i

0110

0i-i0

Sex=

s+=SemISems-=SemISem（2.5.1）

2.6矩阵约定

a=（-,i）+a=（-+,i）-a=（--,i）（2.6.1）

3.常数张量分析

3.1常数张量性质的物理证明注：

本节证明属于说明性的，数学上不够严格，但结论是正确的。

本节讨论的是最一般的Yang-Mills理论，包括引力场与经典YM场。

底流形采用自然基，底流形指标与群指标在引力场与经典YM场情形下变换都是独立的，以下保持底流形指标不变，对群指标进行变换。

3.2广义Yang-Mills理论情形

3.2.1YM理论

T线性无关，且满足[T,T]=ifT则可以得到以下YM理论。

U（）=exp[iT]注：

群参数可以是实数也可以是复数。

DuUDuDu=u+iAuT

-1

AuTUAuT-（uU）U

uvuv

FTUFTU-1

3.2.2命题证明

Fuv=uAv-vAu+ifAuAv（3.2.1）

FAA

命题一：

证明：

uvB（=FuvTB）是混合张量。

（3.2.2.1）

由Yang-Mills理论得变换关系F'A

A-1

以得

A~exp[iT]

uv（B）=UFuv（B）U，所

~exp[-iTT]

A,Bu,vFA=FTA

u,vA,B

所以是协变旋量标，结合是坐标矢量标，所以

标的混合张量，证毕。

uvB

uvB是关于,指

命题二：

Fuv是混合张量。

（3.2.2.2）

证明：

F'AA

无穷小变换

uv（B）=（1+iT）Fuv（B）（1-iT）

FuvT=iFuvT[T]

FuvTB=iFuvifTB

Fuv=iifFuv

F<>

uv=iif

可得

T<>

~exp[iifT]~exp[-iif]

由上得是旋量标，结合u,v是坐标矢量标，所以Fuv是关于u,v,

证毕。

指标的混合张量。

命题三：

群基

证明：

B是混合常数张量。

（3.2.2.3）

FAAA

由uvB（=FuvTB）是混合张量及Fuv是混合张量，可得TB是关于A,B,

指标的混合常数

张量。

证毕。

命题四：

结构常数f

证明：

是常数张量。

（3.2.2.4）

TABAA

由结构方程

证毕。

[BT]C=ifTC及TB是张量，可得f

是关于,,

指标的常数张量。

命题五：

群基协变导数

证明：

由Yang-Mills理论得

B;s=0。

（3.2.2.5）

（FuvT）;s=s（FuvT）+i[AsT,FuvT]（FuvT）;s=s（Fuv）T+iAsFuvifT因为Fuv;s=sFuv+iAsFuvif

（FuvT）;s=Fuv;sT

（FuvTB）;s=Fuv;sTB

得FuvTB;s=0

B;s=0

证毕。

命题六：

结构常数协变导数f;s=0。

（3.2.2.6）

证明：

TABAA

由结构方程

[BT]C=ifTC及TB;s=0

（T

）

[B]C;s

=if

;sC=0

f;s=0

证毕。

命题七：

一组线性无关的基T，只要满足结构方程T[T]=ifT，则必定满足以上六个命题。

（3.2.2.7）

证明：

利用以上基T，可以构造Yang-Mills理论，则自然有命题一到命题六的结论。

命题八：

正交标架下任意旋量的常数度规的协变导数都为零。

（3.2.2.8）证明：

任意旋量的变换为

A~=exp[iT]

则A=gAB

-T=exp[-iTT]

gAB

AB=gAB

AB=

不变量

Tg=g-1g

-T=g

TTg+gT=0Tg

TT=0

TACB

BACCC

Cg+TCg

=0T

AgCB+TBgAC=0

Dcg

=cg

-iAcT

TACBC

-iAcT

TBACC

Dcg

=cg

AB-iATAg

CB-iATBgAC

=cg=0

DcgAB=cgAB+iAcT

AgCB+iAcTBgAC=cgAB=0

cBc

DgA=D（g

gCB）=0

所以只要度规为常数张量，则其协变导数为零。

证毕。

3.2.3正交标架

正交标架下以上结论同样成立：

FAuvA

uvA

abB（=eaebFuvTB）是混合张量；Fab（=eaebFuv）是混合张量；群基TB是混合常数

fTA

=0f=0

张量；结构常数是常数张量；群基协变导数

3.3引力场型YM情形

B;c

；结构常数协变导数;c。

3.3.1引力场型YM理论

ab=-ba,

ab,a

[ab,cd]=（gcbad+gdbca-gcabd-gdacb）/2=ifabcdef

则可以得到以下引力场型YM规范理论。

U（）=exp[ab

ab]

DuUDuDu=u+

uab

-1

uab

-1

-（uU）U

Rab

ab-1

abab

abacbacb

uvabURuvabU

3.3.2命题证明

RAabA

Ruv=u

v-vu+u

vc-v

uc（3.3.1）

命题一：

证明：

uvB（=Ruv

abB）是混合张量。

（3.3.2.1）

由Yang-Mills理论得变换关系R'A

A-1

以得

uv（B）=URuv（B）U，所

A~exp[ab

ab]

~exp[-abT]

A,Bu,vRA=RTA

u,vA,B

所以是协变旋量标，结合是坐标矢量标，所以

标的混合张量，证毕。

Rab

uvB

uvB是关于,指

命题二：

证明：

uv是混合张量。

（3.3.2.2）

洛仑兹群表示[ab,cd]=（gcbad+gdbca-gcabd-gdacb）/2

无穷小变换

Rab

uvab=

R[,]

abcd

uvabcd

Rab

uvab=

R[,]

abcd

uvabcd

Rab

acba

cb]

uvab=[

cRuv-Ruvcab

Rab

acba

cb]

uv=[

cRuv-Ruvc

uv=（1+）Ruv（1-）

a,b~exp[]=exp[iwR+L]

a,bu,vRab

u,v,a,b

由上得是标架矢量标，结合是坐标矢量标，所以

量。

证毕。

uv是关于指标的混合张

命题三：

群基

证明：

abB是混合常数张量。

（3.3.2.3）

RAabAabA

由uvB（=Ruv

abB）是混合张量及Ruv是混合张量，可得

abB是关于A,B,a,b指标的混合

常数张量。

证毕。

fef

命题四：

结构常数

证明：

abcd

是常数张量。

（3.3.2.4）

由结构方程

fef

[abB,

cd]C]=（gcbad+gdbca-gcabd-gdacb）/2=ifabcd

efC是张量，可

得数abcd

证毕。

是关于a,b,c,d,e,f指标的常数张量。

命题五：

群基协变导数

证明：

abB;s=0。

（3.3.2.5）

由引力场型Yang-Mills理论得

（Rab

ababcd

uvab）;s=s（Ruvab）+[

sab,Ruvcd]

（Rab

abacbacb

uvab）;s=（sRuv）ab+[

scRuv-Ruvc

s]ab

（Rab

abacbacb

uvab）;s=（sRuv）ab+[

scRuv-Ruvc

s]ab

（Rabab

uvab）;s=（Ruv;s）ab

（RabA

abA

uvabB）;s=（Ruv;s）

abB

abB;s=0

证毕。

fef

命题六：

结构常数协变导数abcd;g=0

证明：

（3.3.2.6）

由结构方程

[abB,

cd]C=ifabcd

efC及

abB;s=0得

{AB

efA

[abB,

fef

cd]C};g=ifabcd;g

efC

abcd;g=0

证毕。

命题七：

一组线性无关的基

ab，a>b，只要满足结构方程

[abB,

cd]C]=（gcbad+gdbca-gcabd-gdacb）/2=ifabcd

efC，则必定满足以上六个

命题。

（3.3.2.7）

证明：

利用以上基

ab，可以构造引力Yang-Mills理论，则自然有命题一到命题六的结论。

证毕。

命题八：

正交标架下任意旋量的常数度规的协变导数都为零。

（3.3.2.8）

证明：

任意旋量的变换为

]

A~=exp[ab

则A=gAB

-T=exp[-

abT

]

gAB

AB=

gAB=不变量

Tg=g-1g

-T=g

abg

ab=0abg+g

ab=0

abCg

CB+

abC

abAgCB+

abBgAC=0

Dcg

=cg

AB-

abTA

cabC

CB-

abTBAC

cabC

Dcg

=cg

AB-

cabC

CB-

abAC

cabC

=cg=0

DcgAB=cgAB+

cabAgCB+

cabBgAC=cgAB=0

cBc

DgA=D（g

gCB）=0

所以只要度规为常数张量，则其协变导数为零。

证毕。

3.3.3正交标架

正交标架下以上结论同样成立：

RAuv

cdA

cduvcdA

abB（=eaebRuvTcdB）是混合张量；Rab=eaebRuv是混合张量；群基

abB是混合常数

fefA

张量；结构常数

fef

abcd;g=0。

3.4小结

abcd

是常数张量；群基协变导数

abB;c=0；结构常数协变导数

以上结论在一般李群与广义Yang-Mills规范理论下成立，SO（3,1）群、SL（2,Z）群

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