专升本高数真题及答案.docx

1、专升本高数真题及答案2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号-一一-二-三四五六总分核分人分数得 分评卷人一、单项选择题(每小题2分，共计60分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 并将其代码 写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分 解：对方程xy =ex y两边微分得xdy ydx = ex y (dx dy),即(y ex为)dx = (ex旳 _x)dy ,(y -xy)dx = (xy -x)dy , 所以主二必卫，应选A.dy y(1-x)8.设函数f (x)具有任意阶导数，且f (x) = f (x)，则f (n)(x)=

2、( )A. nf(x)n1 B. n!f(x)n1C. (n 1)f(x)n1D. (n 1)!f(x)n 解：f (x) =2f(x)f (x) =2f(x)二 f (x) = 2 3f 2(x)f (x) =3f (x)4, 二 f(n)(x)= n!f(x)n 应选 B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 ( )A. f (x) = 1 - x?, -1,1 B. f (x) = xe, -1,11C. f (x) F,-1,1 D f(x) =|x|,1,11 -x解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定 ，只有f(x) =1 -x2,-1,1满足,应选

3、A.10.设 f (x) =(x-1)(2x 1),x (：，：)，则在(丄，1)内，f(x)单调 ()2A.增加，曲线y = f(x)为凹的 B. 减少，曲线y = f(x)为凹的C.增加，曲线y = f (x)为凸的 D. 减少，曲线y = f (x)为凸的1解：在(孑1)内，显然有 f (x) =(x -1)(2x 1) ： 0 ,而 f (x) =4x-1 0 ,故函11.(A.C.解：12.解:)只有垂直渐近线 B.既有垂直渐近线，又有水平渐近线,lim y = 1 = yX只有水平渐近线D.无水平、垂直渐近线 应选C.设参数A.-D.3 比_ IdxC.b_ 2 3a sin tb

4、a2 sin tcos21bcost x/ asintd2ydx21 113. 若 f (x)exdx = exA. -1B.解:14.bcost i06.曲线y = e的拐点是_ 1解: yf=ex尸 n2JxX35.函数y = 2x2 _In x的单调递增区间是 .4 _丄 0 1 1 、卡1 、X 二 x_= (_,+划)或_,+).2 2 2y,e Cx-1)。二=1,得拐点为(1,e).4x( x7.设 f (x)连续，且 q f(t)dt =x,则 f(27)=3解：等式f(t)dt=x两边求导有f(x3)3x2=1,取x = 3有f(27)18.设 f (0) =1, f(2)=

5、2, f (2) =3，贝U xf (2x)dx 二，则12.设=In Z z y解：令 F = -InZz yZ : z 十 =-:x ：yX -In z ln y ,则 z1 1F，_- F*_ F_x y zyzz-:z Fx花13.设D是由.z:yy = .1x 1 x zz z一上2 z2z,所以竺+竺= z(y+z).Fz y(x z)-x2, y = x, y = 0 ,所围成的第一象限部分,则y 2()dxdy D 314.将f (x) = J展开为x的幕级数是_2+ x- x33 1 1 111解：f (x) y2+xx2 (1+x)(2x) 1+x 2 x 1 + x 2_

6、?2远 1辺x 处 1 I所以 f(x)八(-X)n - - )n 八(_1)nxn,(Jn=0 2 n=0 2 n=0 _ 215.用待定系数法求方程 y” -4y* 4y = (2x 1)e2x的特解时，特解应设为解：2是特征方程f -44=0的二重根,且(2x 1)是一次多项式，特解应 设为2 2xx (Ax B)e解：lim1.limx 50 . 1 xsin x -、cosxxsin x cosx)=lim lim ( -1xt 1 - xsinx - cosx00二 2 lim 2 lim x1 xsinx-cosx 2sin x xcosxx22x0 1 1 44lim 4 .x

7、03cosx_xsi nx 3 32.已知y =3x-2 2 卡 dyXz0 ,f (x) = arctan x ,求一 (5x + 2 丿 dx解：令 3x -2 =u ,则 y = f (u),5x +2dy dy du = dx du dx所以包dx3.求不定积分打/、3x-2)=f (u) Il5x + 2.丿丄彳16 人 n=arcta n1 2 4 n22 43f . x dx.、1 x2162 ，rctani # (5x + 2 丿(5x + 2)3解：一Xdx =x2=x2 1 x2Jx2亠/ + x2x2-.1 x2d(x2) .1 x2 -2(1 x2)23In(1 + x

8、), x = 04.设 f (x)二 1=x2 ,1 x2 i 一 1 x2d(1 x2)f (x -1)dx.,x : 02 x2解：令 X -1 =t ,则 o f(x -1)dx 二1 1 dt + (ln (1 +t)dt1 t I dt 01 t1 )dt1 t10 -3ln2 -1.1,4f(t)dt0 1 (二(t)dt 0 f(t)dt 二042 t0 | 1=ln(2 十t)|+tln(1 十叽= 2ln 2 t1一 0(1ln(1 t)解：令 exsin y =u, x.z :z : u :z :v = X 十 X :x : u :x :v :x二exsin yfu (u,

9、v) 2xfv(u,v),/-z :z :u :z :V= X + X :y _u ;y :v jy二 excosyfu (u,v) 2yfv(u, v).2x6.求！ -dxdy，其中D是由xy = 1, y二x及x = 2所围成的闭区域. y解：积分区域如图05-2所示，曲线xy=1,y = x在第一象限内的交点为（1, 1）, 11 _ x _ 2, y _ x .x2 x x2 21 dx dy Jx y积分区域可表示为:2x则 2dxdy 二 d yf2 2 - 1 Ldx1 xj/ 4 2 X X= 4 2-112 3=1 （x - x） dx294 *xx2()y图 05-27.

10、的收敛域（考虑区间端点）求幕级数、CiLx2n nz0 2 n +1解：这是缺项的规范的幕级数,un卅hm（1严严2n +1:Un1II11n*2n +3/ 八n 2n卅(1) x因为p = ”二 x2 lim 二 x2 ,n 厂2n 3当p： 1，即-1 ：x ：1时，幕级数绝对收敛; 当p 1，即x 1或X :： -1时，幕级数发散;当p = 1，即x = 1时，若x =1时，幕级数化为上竺 是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，n 卫 2n +100 / 1）n +是收敛的，若x = -1时，幕级数化为上匚也是交错级数，也满足来布尼兹心 2n+1Cy = 0的通解为、二2 .x +1设非齐

11、次线性微分方程的通解为y =字，则2xC（x）2，代入X2 +1 X2 +1 （X2 +1）2方程得 C （x） = cosx ,所以 C（x） = sin x C .x2 1故原微分方程的通解为y二智 -（C为任意常数）.50套公寓要出租,当月租金定为2000100元时,就会多一套公寓租不出去，最大收入是多少？解：设每套公寓租金为x元时,所获收入为y元,贝 U y=50-匕 200), (x 2000),1001整理得 y =丄(_x2 7200x -1400000),1001 y (_2x 7200)均有意义，1001令y =0得唯一可能的极值点 x =3600,而此时y ： 0 ,所以x

12、二360050是使y达到极大值的点，即为最大值的点.最大收入为 y 二50-3600 2000(3600 一200) =34 3400 = 115600(元). 100故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大，最大收入为115600元.2.平面图形由抛物线y2=2x与该曲线在点(*,1)处法线所围成，试求:(1)该平面图形的面积。该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.1解：平面图形如图05-3所示，切点AC,1)处的切线斜率为k = y 1,X2 2由y2 =2x得y丄，故A点处的切线斜率yk 二y x二y y 厂1,2从而A点处的法线斜率为-1,法线方程为x y - 3 = 0 .2y

13、2=2x 9联立方程组 3 得另一交点B(9,x+y_=0 2- 2图 05-3y2 = 2x(1)把该平面图形看作Y型区域,其面积为1 3 y2 丨 3 y2 y3 |( 一 y) dy = ( y 一 )*2 22 2 6根据抛物线的对称性知，该平面图形绕16x轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC绕x轴旋转所成旋转体的体积9 9 3故 Vx = n 0 2xdx - n 3( x)2dx =2 22Tlx有/ 3 2n x x4 2-x3)3454得 分评卷人n81 -94n.五、证明题(6分)试证：当 x 0 时，有 :：: in -一 :-.1 + x x x证明：构造函数f(X

14、)= ln x，它在(0, 二)内连续，1当x 0时，函数在区间x,1 x上连续，且f(x)= .x故f (x)在x,1 x上满足Lagrange中值定理,存在E (x,x 1), 使得 f (1 x) 一 f (x) = f ( E , (x ：: E x 1)., 1 11 1 1而 ：:f( E)= - :-,故有 In(1 x) -In x ,1 x E x 1 x x1 1 + x 1即x 0时，丄.In二成立.1 x x x单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善2 a cos m从而 11 f(x, y)d；= 2d 0 f(rcosv,rD26.设L为抛物线y=x2上从0(0,0)到B(1,1)的一段弧，丄2xydx x2dy =()A. -1 B.1 C. 2 D. -1x = x ,、”2, x从0变到1 ,解：积分区域在极坐标系下表示为 D=(r, 0|0兰9-,r 1,则4