专升本高数真题及答案.docx
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专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
高等数学试卷
题号
-一一
-——二
-——三
四
五
六
总分
核分人
分数
得分
评卷人
一、单项选择题（每小题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题
干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分•
解：
对方程xy=exy两边微分得xdy•ydx=exy（dx•dy）,
即（y—ex为）dx=（ex旳_x）dy,
（y-xy）dx=（xy-x）dy,所以主二必卫，应选A.
dyy（1-x）
8.设函数f（x）具有任意阶导数，且f（x）=[f（x）]，则f（n）（x）=（）
A.n[f（x）]n1B.n!
[f（x）]n1
C.（n1）[f（x）]n1D.（n1）!
[f（x）]n
解：
f（x）=2f（x）f（x）=2[f（x）]'二f（x）=23f2（x）f（x）=3[f（x）]4,……二f（n）（x）=n!
[f（x）]n\应选B.
9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（）
A.f（x）=1-x?
[-1,1]B.f（x）=xe»,[-1,1]
1
C.f（x）F,[-1,1]D•f（x）=|x|,[—1,1]
1-x
解：
由罗尔中值定理条件：
连续、可导及端点的函数值相等来确定，只有
f（x）=1-x2,[-1,1]满足,应选A.
10.设f（x）=（x-1）（2x1）,x（」：
，：
：
），则在（丄，1）内，f（x）单调（）
2
A.增加，曲线y=f（x）为凹的B.减少，曲线y=f（x）为凹的
C.增加，曲线y=f（x）为凸的D.减少，曲线y=f（x）为凸的
1
解：
在（孑1）内，显然有f（x）=（x-1）（2x•1）：
：
：
0,而f（x）=4x-10,故函
11.
（
A.
C.
解：
12.
解:
）
只有垂直渐近线B.
.既有垂直渐近线，又有水平渐近线,
limy=1=y
X
只有水平渐近线
D.无水平、垂直渐近线应选C.
设参数
A.
-^D.
3比_I
dx
C.
b
_~~2~~3~
asint
b
a2sintcos21
bcost
—
x/asint
d2y
dx2
11
13.若f（x）exdx=ex
A.-1
B.
解:
14.
bcost「
i
b1
X
・2
asint
f（x）
C.
1
两边对x求导f（x）ex二ex（
.f（x）dx二F（x）C
1
~2
x
-asint
（
A.
C.
）
F（sinx）C
F（cosx）C
B.
D.
bcost「dt
i汉——
\、asint丿tdx
2b3,应选sint
B.
D.
）=f（x）
1
~2
x
则
应选B.
cosxf（sinx）dx=
-F（sinx）C-F（cosx）C
解:
cosxf（sinx）dx二f（sinx）d（sinx）二F（sinx）C,应选A.
15.下列广义积分发散的是
112dxB.0
-bo
A.-
01x
1dxC.
•1-x2
：
：
^dxD.ex
-be
e"dx
解:
16.
arcsinx
严lnx12
1dx=（lnx）
■bo.
-bo
/—x・—x
=00。
[edx=—e
ex2
0
e
o
11
Kdx
0=1,应选
1〒dx=arctanx
1x2
七cJI
0匚
C.
1
_1x|x|dx二
242
2C.4D.-兰
333
解：
被积函数x|x|在积分区间［-1,1］上是奇函数,应选A.
A.0
B.
a
17.设f（x）在［_a,a］上连续,则定积分f（_x）dx二
J_a
（
）
aaa
A.OB.2qf（x）dxC.一卫f（x）dxD.』f（x）dx
at=_u__aaa、
解：
f（-x）dxf（u）d（-u）f（u）duf（x）dx,应选D.
.a昭巴a巴a
18.
设f（x）的一个原函数是sinx,则f（x）sinxdx二（）
11
A._xsin2xC
B.
11
xsin2xC
22
24
C.】sin2x
D.
sinx'C
2
2
解:
（sinx）二f（x）-■
f（x）二cosx=
f（x）二-sinx
19.设函数f（x）在区间［a,b］上连续，则不正确的是（）
bx
A.［f（x）dx是f（x）的一个原函数B.f（t）dt是f（x）的一个原函数
a
C.xf（t）dt是-f（x）的一个原函数D.f（x）在［a,b］上可积
bb
解：
ff（x）dx是常数,它的导数为零,而不是f（x）,即Jf（x）dx不是f（x）的原
a■a
函数,应选A.
20.直线口二丄Z2与平面x-y-z•仁0的关系是
1-12
（）
A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行
解：
s={1,—1,2},n={1,_1,_1）=s_n,另一方面点（3,0,-2）不在平面内,所以应为平行关系，应选D..
21.函数z=f（x,y）在点（X0,y°）处的两个偏导数.和一存在是它在该点处
excy
可微的
（）
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件
解：
两个偏导数存在，不一定可微，但可微一定有偏导数存在，因此为必要条件,应选B.
应选B.
28.
qQqQ
与「Vn收敛，则级数（UnVn）2收敛
n4ng
D.若级数-UnVn收敛，则级数V叫与vV.都收敛
程的通解为x=6cosptC2sin伐，应选A.
1.设f（x+1）=x2+2,J则f（x-2）=___
解：
f（x1）=（x1）2-2（x1）3二f（x）=x2-2x3二
f（x-2）=x2-6x11.
x2ax-6
2.lim
x迄x-2
解：
因lim（x-2）=0=lim（x2ax-6）=0二a=1.
xT^2
3.设函数y=arctanx在点（1,n）处的切线方程是
4
X=1
4，则切线方程为v冷（X-1），
即x「2y-1」=0.
2
1
=xXeX，贝qdy=
InxInx.
ux—XInx
=e=dy=ed（-
x
4.设y
解：
y
1
•x）=x它［書1］dx.
m1
解：
y"=4x-
Xi小
x>0
6.曲线y=e"的拐点是_
_1
解:
yf=ex^—尸n
2Jx
X3
5.函数y=2x2_Inx的单调递增区间是.
4—_丄0—1—1、卡「1、
X二x>_=（_,+划）或［_,+°°）.
222
y,eCx-1）^。
二—=1,得拐点为（1,e）.
4x（x
7.设f（x）连续，且qf（t）dt=x,则f（27）=
3
—
解：
等式［f（t）dt=x两边求导有f（x3）3x2=1,取x=3有f（27）
1
8.设f（0）=1,f
（2）=2,f
（2）=3，贝U°xf（2x）dx二
，则
12.设—=InZzy
解：
令F=~-InZ
zy
Z:
z
十=
-:
x：
：
y
X-Inzlny,则z
11
F，_-F*_—F『_
xyz
y
z
z
-:
zFx
「花
13.设D是由
.z
:
y
y=.1
x1xz
zz
一上
2z
2
z
所以竺+竺=z（y+z）.
Fzy（xz）
-x2,y=x,y=0,所围成的第一象限部分,则
y2
（）dxdyD
3
14.
将f（x）=—J展开为x的幕级数是_
2+x-x
3311111
解：
f（x）y
2+x—x2（1+x）（2—x）1+x2—x1+x2[_?
2
远1辺x处1I
所以f（x）八（-X）n--£）n八（_1）nxn,（J
n=02n=02n=0_2
15.用待定系数法求方程y”-4y*4y=（2x•1）e2x的特解时，特解应设为
解：
2是特征方程f-4「4=0的二重根,且（2x1）是一次多项式，特解应设为
22x
x（AxB）e
解：
lim
1.lim
x50.1xsinx-、cosx
xsinxcosx）
=limlim（-1
xt1-xsinx-cosx
0
0
二2lim2lim
x「°1xsinx-cosx2sinxxcosx
x2
2x
0114
4lim4.
x—03cosx_xsinx33
2.已知y=
‘‘3x-2'2卡dy
Xz0
f（x）=arctanx,求一（5x+2丿dx
解：
令3x-2=u,则y=f（u）,
5x+2
dydydu
=
dxdudx
所以包
dx
3.求不定积分
打/、’3x-2）
=f（u）I
l5x+2.丿
丄彳16人n
=arctan124n
224
3
f.xdx.
、1x2
16
2，
"rctani#—
（5x+2丿（5x+2）
3
解：
一X—dx=
"x2
=x21x2
Jx2亠
/+x2
x2
-.1x2d（x2）.1x2-2（1x2）2
3
In（1+x）,x=0
4.设f（x）二1
=x2,1x2i一1x2d（1x2）
f（x-1）dx.
x:
0
2x
2
解：
令X-1=t,则of（x-1）dx二
11——dt+（ln（1+t）dt
1tIdt01t
1）dt
1t
1
0-3ln2-1.
1
4f（t）dt
01（
二」（t）dt0f（t）dt二
0
42t
0|1
=ln（2十t）|」+tln（1十叽
=2ln2—t
1
一0（1
ln（1t）
解：
令exsiny=u,x
.z:
z:
u:
z:
v
=X十X
:
x:
u:
x:
v:
x
二exsinyfu（u,v）2xfv（u,v）,
//
-'z:
z:
u:
z:
V
——=——X——+——X——
:
y_u;y:
vjy
二excosyfu（u,v）2yfv（u,v）.
2
x
6.求！
！
-^dxdy，其中D是由xy=1,y二x及x=2所围成的闭区域.
□y
解：
积分区域如图05-2所示，曲线xy=1,y=x在第一象限内的交点为（1,1）,1
1_x_2,y_x.
x
2xx22
1dx—dyJ
xy
积分区域可表示为:
2
x
则2dxdy二dy
f22-1L
dx
1〔xj
/42\
XX
=—
42
-11
23
=1（x-x）dx
2
9
4*
x
x2（」）
y
图05-2
7.
的收敛域（考虑区间端点）•
求幕级数、「CiLx2n
nz02n+1
解：
这是缺项的规范的幕级数,
un卅
—hm
（―1严严
2n+1
:
Un
—1II11
n*
2n+3
/八n2n卅
（—1）x
因为p=”
二x2lim二x2,
n厂2n3
当p：
1，即-1：
：
：
x：
：
：
1时，幕级数绝对收敛;当p1，即x1或X:
:
：
-1时，幕级数发散;
当p=1，即x=1时，
若x=1时，幕级数化为「上竺是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，
n卫2n+1
00/1）n+
是收敛的，若x=-1时，幕级数化为上匚也是交错级数，也满足来布尼兹
心2n+1
C
y=0的通解为、二―2.
x+1
设非齐次线性微分方程的通解为y=字，则「2xC（x）2，代入
X2+1X2+1（X2+1）2
方程得C（x）=cosx,所以C（x）=sinx■C.
x21
故原微分方程的通解为y二智-（C为任意常数）.
50套公寓要出租,当月租金定为2000
100元时,就会多一套公寓租不出去，
最大收入是多少？
解：
设每套公寓租金为x元时,所获收入为y元,
贝Uy=[50-匕200）,（x2000）,
100
1
整理得y=丄（_x27200x-1400000）,
100
1y（_2x7200）均有意义，
100
1
令y=0得唯一可能的极值点x=3600,而此时y—：
：
：
0,所以x二3600
50
是使y达到极大值的点，即为最大值的点.
最大收入为y二[50-36002000]（3600一200）=343400=115600（元）.100
故租金定为每套3600元时,获得的收入最大，最大收入为115600元.
2.平面图形由抛物线y2=2x与该曲线在点（*,1）处法线所围成，试求:
（1）该平面图形的面积。
⑵该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.
1
解：
平面图形如图05-3所示，切点AC,1）处的切线斜率为k=y‘1,
X
22
由y2=2x得y'丄，故A点处的切线斜率
y
k二yx」二yy厂1,
■2
从而A点处的法线斜率为-1,
法线方程为x•y-3=0.
2
[y2=2x9
联立方程组＜3得另一交点B（9,
x+y__=02
-2
图05-3
y2=2x
（1）
把该平面图形看作Y型区域,其面积为
13y2丨3y2y3
\|（—一y）——dy=（―y——一—）
*22」226
根据抛物线的对称性知，该平面图形绕
16
x轴旋转所成的旋转体的体积等
于平面图形OBC绕x轴旋转所成旋转体的体积
993
故Vx=n02xdx-n3（x）2dx=
22
2
Tlx
有
/32
n—xx
42
-x3）
3
45
4
得分
评卷人
n81-9]
4
n.
五、证明题（6分）
试证：
当x0时，有:
：
:
in-一:
:
:
-.
1+xxx
证明：
构造函数f（X）=lnx，它在（0,•二）内连续，
1
当x0时，函数在区间［x,1x］上连续，且f（x）=—.
x
故f（x）在［x,1x］上满足Lagrange中值定理,存在E（x,x1）,使得f（1x）一f（x）=f（E,（x：
：
:
Ex1）.
11111
而：
:
f（E）=-:
:
-—,故有In（1x）-Inx,
1xEx1xx
11+x1
即x0时，丄.In「二成立.
1xxx
单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善
2acosm
从而11f（x,y）d；「=°2d0f（rcosv,r
D
26.设L为抛物线y=x2上从0（0,0）到B（1,1）的一段弧，丄2xydxx2dy=（）
A.-1B.1C.2D.-1
x=x,、”
2,x从0变到1,
解：
积分区域在极坐标系下表示为D={（r,0|0兰9<-,^r<1},则
4
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