大学课程《线性代数(第二版)》PPT课件：第4章.pptx

1、第4章 特征值与特征向量,4.1 向量的正交性与4.2 整系数多项式的4.3 方阵的特征值与特征向量 4.4 矩阵的相似对角化 4.5 实对称矩阵的对角化总复习题,4.1 向量的正交性与正交矩阵,4.1.1 向量的内积与长度 把解析几何中向量的内积推广到n 维向量,即定义1 设n 维列向量,令称X,Y为向量X,Y 的内积(行向量亦类似).内积作为一种运算满足下列运算规律(下面X,Y,Z 为n 维列向量,k 为实数):(1)对称性(交换性):X,Y=Y,X;(2)与数乘的结合性:kX,Y=kX,Y;(3)对加法的分配性:X+Y,Z=X,Z+Y,Z;(4)非负性:X,X0;且X,X=0X=0.根据

2、内积的定义可证明施瓦兹不等式:X,Y2 X,XY,Y 等号成立当且仅当X,Y 线性相关,证明 对于任意实数t,由内积的性质,有上式作为t的二次三项式大于或等于零,则其判别式小于或等于零,即X,Y2X,XY,Y.,4.1.2 正交向量组的概念与求法 定义4 当X,Y=0时,即X,Y 的夹角为 2 时称n 维向量X,Y 正交.由正交的定义,零向量与任何向量正交.定义5 两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组.定理1 正交向量组必线性无关.,证明 设1,2,s 为正交向量组,任取s个实数x1,x2,xs,若两边都与i(i=1,2,s)作内积,则由已知,i,ixi=0(i=1,2,s),又i0,

3、i,i0(i=1,2,s),于是xi=0(i=1,2,s),则1,2,s 线性无关.,4.1.3 标准正交组的概念与求法 定义6 n 维单位向量构成的正交组称为标准正交组.n 维单位向量组1,2,n 既是正交组,也是其标准正交组.又如,2维向量:都是标准正交组;,3维向量:是标准正交组;4维向量:是标准正交组.,4.1.4 正交矩阵 定义7 满足ATA=E(即A-1=AT)的n 阶实方阵称为正交矩阵.由标准正交组与正交矩阵的定义,我们有以下定理2.定理2 n 阶实方阵A 称为正交矩阵的充分必要条件是A 的行(列)向量组为 Rn 的标准正 交基.如:四个都是正交矩阵.,正交矩阵A,B 具有以下两

4、个性质:(1)|A|=1;(2)AB 还是正交矩阵.,4.2 整系数多项式的有理根,在中学,我们学习了一元二次方程的求根公式,使一元二次方程的求根问题得到解决.那么 对于高次方程的求根,特别是整系数代数方程的有理根求法,是非常重要的现实问题.对此,我们 详细讨论.,设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 是整系数多项式,bx+c是1次整系数多项式,用 bx+c去除f(x),得到的商式与余数分别设为g(x)=dn-1xn-1+dn-2xn-2+d1x+d0 与r它们一般是有理系数多项式,即f(x)=(bx+c)g(x)+r 这是带余除法的特殊情况.对于数c,f(c)=ancn+an

5、-1cn-1+a1c+a0 称为f(x)当x=c时的值.,定理1(余数定理)若f(x)=(x-c)g(x)+r,则f(c)=r.当f(x)=(bx+c)g(x)+r,r=0时,称bx+c整除f(x),记作bx+c|f(x),否则就称bx+c不整除f(x).对于有理数(u,v 是互质整数),若f()=0,则uv称为f(x)的有理根.定理2(u,v 是互质整数)是整系数多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的有理根的充分必要条件是(vx-u)|f(x)且商式为整系数多项式.,定理3(整系数多项式有理根定理)设有理数(u,v 是互质整数)是整系数多项式 f(x)=anx+an-1x

6、n-1+a1x+a0的有理根,则根u/v 的分子u 是多项式f(x)常数项a0 的因数,根的分母v 是f(x)首项系数an 的因数,且有整系数多项式q(x),使,比较等式f(x)=(x-c)q(x)+r 中两端同次项的系数,得到这样,欲求系数bk,只要把前一系数bk-1乘以c再加上对应系数ak,而余式r 也可以按照类似的 规律求出.因此按照如下算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:其中的加号通常略去不写,这种除法称为综合除法.,4.3 方阵的特征值与特征向量,4.3.1 特征值与特征向量的概念与计算 定义 设A 是n 阶方阵,若数(可以是复数)和n 维非零列向量X 使关系AX=X 成立,则

7、数 称为方阵A 的特征值,非零列向量X 称为A 的属于特征值 的特征向量.,AX=X 可写为(A-E)X=O,它作为齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式|-E|=0,即该式是以 为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程,其左端|A-E|是 的n 次多项 式,记作f(),称为方阵A 的特征多项式.显然,A 的特征值就是其特征方程的解,而A 属于特 征值 的特征向量X 是齐次线性方程组(A-E)X=O 的非零解向量.,对于3=2时,由(A-2E)X=O,即得线性无关的特征向量是对应于特征值3=2的全部特征向量.注意:若Xi 是A 的对应于特征值i 的特征向量,则kXi(k0)也是对

8、应于特征值i 的特征 向量.,对于3=5时,由(A-5E)X=O,即得线性无关的特征向量是对应于特征值3=5的全部特征向量.注意:例4.3.1与例4.3.2中都是矩阵的重特征值对应线性无关的特征向量个数与重特征值的 重数相等.,得线性无关的特征向量是对应于特征值3=1的全部特征 向量.,注意:例4.3.3中矩阵的重特征值对应线性无关的特征向量个数与重特征值的重数不相等.综上,可得求矩阵A 的特征值和特征向量的方法步骤:(1)求A 的特征多项式f()=|A-E|;(2)求出特征方程f()=0的全部根,即A 的全部特征值1,2,n;(3)对于每个特征值,求出对应齐次线性方程组(A-E)X=O 的基

9、础解系,即A 属于特征 值 的线性无关特征向量1,2,s,得A 属于特征值 的全部特征向量:k11+k22+kss(k1,k2,ks 不同时为0),4.3.2 特征值的性质 性质1 在复数范围内,方阵A 的特征方程有n 个根,设n 阶方阵A 的特征值为1,2,n(可能有相等的),则有(1)1+2+n=a11+a22+ann;(2)12n=|A|一个n 阶方阵A的对.角线上的元素之和,称为矩阵的迹,记作 Tr(A),即 Tr(A)=a11+a22+ann=1+2+n,推论1 方阵A 可逆的充分必要条件是A 的所有特征值全不为0.性质2 设 是方阵A 的一个特征值,X 是对应的特征向量,则对于任意

10、正整数k,k 是Ak 的特征值;对于任意数a,a 是aA 的特征值,且X 仍是它们对应的特征向量.推论2 设 是方阵A 的一个特征值,X 是对应的特征向量,(x)是多项式,则()是(A)的特征值,且X 仍是对应的特征向量.性质3 设 是可逆矩阵A 的一个特征值,X 是对应的特征向量,则1是A-1的特征值,且X 仍是对应的特征向量.,例4.3.4 设3阶方阵A 的特征值1,-1,2,求值|A*+3A-2E|.解 由题设,A 可逆.A*=|A|A-1=-2A-1,故A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E 的特征 值为-1,-3,3,故|A*+3A-2E|=9.,4.4 矩阵的相似对角化,4.4.

11、1 相似矩阵的概念与性质 定义 设A,B 都是n 阶方阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称矩阵A,B 相似,或B 是A 的相似矩阵,记作AB.对矩阵A 作运算P-1AP,称为对A 作相似变换,并称可逆矩阵P 为矩阵A 的相似变换矩阵.矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.,定理1 若n 阶方阵A,B 相似,则A,B 有相等的特征多项式,从而A,B 有相同的特征值.证明 由已知,有可逆矩阵P,使P-1AP=B.因故相似矩阵有相等的特征多项式,从而有相同的特征值.,定理的逆命题未必成立,如的特征多项式均为2 而相等,故有相同 的特征值,但它们不相似.推论 若n 阶 方 阵A 与 对 角 矩

12、阵相 似,则 A 的 特 征 值 为1,2,n.,4.4.2 矩阵相似对角化的概念与基本性质 矩阵相似对角化:对于n 阶方阵A,若有可逆矩阵P,使P-1AP=为对角矩阵,则称方阵 A 可对角化.若方阵A 可对角化,P-1AP=,则设可逆矩阵P=(P1,P2,Pn),由于P 可逆,则P 的 列向量P1,P2,Pn 线性无关.由AP=P,则,定理2 n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.,4.4.3 特征向量的性质 性质1 不同特征值所对应的特征向量线性无关.证明 设A 属于不同特征值1,2,k 的特征向量1,2,k,来证明它们线性无关.对特征值个数k 作数学归纳法

13、.当k=1时,由于特征向量非零,因此1 线性无关.,性质2 不同特征值所对应线性无关的特征向量组合起来仍线性无关,即设1,2,k 是 矩阵A 的互不相同的特征值,i1,i2,iri 是A 的属于i 的线性无关的特征向量,那么也线性无关.,由性质1与性质2,要判断n 阶方阵A 是否可对角化,只需求出A 的所有不同特征值,然后 对于每个特征值,求出所有线性无关的特征向量.若这些线性无关的特征向量的总个数等于n,则 说明A 可对角化,否则A 不可对角化.于是,我们得到以下定理3,定理3 n 阶方阵A 可对角化的充要条件是:(1)A 有n 个特征值(重根按重数计算);(2)对于每个特征值,(A-E)X=O 的基础解系中所含向量个数(几何重数)n-R(A-E)=在特征方程中的重数(代数重数).,4.5 实对称矩阵的对角化,4.5.1 实对称矩阵的性质定理1 实对称矩阵的特征值都是实数.,4.5.2 实对称矩阵对角化的方法步骤(1)求n 阶实对称矩阵A 的所有不同特征值,即求|A-E|=0的所有不同根;(2)对于A 的每个特征值,求其对应线性无关的特征向量,即求(A-E)X=O 的基础解系,然后把它们正交化、单位化,即可得n 个两两正交的单位向量构成正交矩阵P,使得P-1AP=为对角矩阵.,总复习题,一、单项选择,二、填空,