大学课程《线性代数(第二版)》PPT课件：第4章.pptx
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第4章特征值与特征向量,4.1向量的正交性与4.2整系数多项式的4.3方阵的特征值与特征向量4.4矩阵的相似对角化4.5实对称矩阵的对角化总复习题,4.1向量的正交性与正交矩阵,4.1.1向量的内积与长度把解析几何中向量的内积推广到n维向量,即定义1设n维列向量,令称X,Y为向量X,Y的内积（行向量亦类似）.内积作为一种运算满足下列运算规律（下面X,Y,Z为n维列向量,k为实数）:
（1）对称性（交换性）:
X,Y=Y,X;
（2）与数乘的结合性:
kX,Y=kX,Y;（3）对加法的分配性:
X+Y,Z=X,Z+Y,Z;（4）非负性:
X,X0;且X,X=0X=0.根据内积的定义可证明施瓦兹不等式:
X,Y2X,XY,Y等号成立当且仅当X,Y线性相关,证明对于任意实数t,由内积的性质,有上式作为t的二次三项式大于或等于零,则其判别式小于或等于零,即X,Y2X,XY,Y.,4.1.2正交向量组的概念与求法定义4当X,Y=0时,即X,Y的夹角为2时称n维向量X,Y正交.由正交的定义,零向量与任何向量正交.定义5两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组.定理1正交向量组必线性无关.,证明设1,2,s为正交向量组,任取s个实数x1,x2,xs,若两边都与i（i=1,2,s）作内积,则由已知,i,ixi=0（i=1,2,s）,又i0,i,i0（i=1,2,s）,于是xi=0（i=1,2,s）,则1,2,s线性无关.,4.1.3标准正交组的概念与求法定义6n维单位向量构成的正交组称为标准正交组.n维单位向量组1,2,n既是正交组,也是其标准正交组.又如,2维向量:
都是标准正交组;,3维向量:
是标准正交组;4维向量:
是标准正交组.,4.1.4正交矩阵定义7满足ATA=E（即A-1=AT）的n阶实方阵称为正交矩阵.由标准正交组与正交矩阵的定义,我们有以下定理2.定理2n阶实方阵A称为正交矩阵的充分必要条件是A的行（列）向量组为Rn的标准正交基.如:
四个都是正交矩阵.,正交矩阵A,B具有以下两个性质:
（1）|A|=1;
（2）AB还是正交矩阵.,4.2整系数多项式的有理根,在中学,我们学习了一元二次方程的求根公式,使一元二次方程的求根问题得到解决.那么对于高次方程的求根,特别是整系数代数方程的有理根求法,是非常重要的现实问题.对此,我们详细讨论.,设f（x）=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项式,bx+c是1次整系数多项式,用bx+c去除f（x）,得到的商式与余数分别设为g（x）=dn-1xn-1+dn-2xn-2+d1x+d0与r它们一般是有理系数多项式,即f（x）=（bx+c）g（x）+r这是带余除法的特殊情况.对于数c,f（c）=ancn+an-1cn-1+a1c+a0称为f（x）当x=c时的值.,定理1（余数定理）若f（x）=（x-c）g（x）+r,则f（c）=r.当f（x）=（bx+c）g（x）+r,r=0时,称bx+c整除f（x）,记作bx+c|f（x）,否则就称bx+c不整除f（x）.对于有理数（u,v是互质整数）,若f（）=0,则uv称为f（x）的有理根.定理2（u,v是互质整数）是整系数多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的有理根的充分必要条件是（vx-u）|f（x）且商式为整系数多项式.,定理3（整系数多项式有理根定理）设有理数（u,v是互质整数）是整系数多项式f（x）=anx+an-1xn-1+a1x+a0的有理根,则根u/v的分子u是多项式f（x）常数项a0的因数,根的分母v是f（x）首项系数an的因数,且有整系数多项式q（x）,使,比较等式f（x）=（x-c）q（x）+r中两端同次项的系数,得到这样,欲求系数bk,只要把前一系数bk-1乘以c再加上对应系数ak,而余式r也可以按照类似的规律求出.因此按照如下算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:
其中的加号通常略去不写,这种除法称为综合除法.,4.3方阵的特征值与特征向量,4.3.1特征值与特征向量的概念与计算定义设A是n阶方阵,若数（可以是复数）和n维非零列向量X使关系AX=X成立,则数称为方阵A的特征值,非零列向量X称为A的属于特征值的特征向量.,AX=X可写为（A-E）X=O,它作为齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式|-E|=0,即该式是以为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程,其左端|A-E|是的n次多项式,记作f（）,称为方阵A的特征多项式.显然,A的特征值就是其特征方程的解,而A属于特征值的特征向量X是齐次线性方程组（A-E）X=O的非零解向量.,对于3=2时,由（A-2E）X=O,即得线性无关的特征向量是对应于特征值3=2的全部特征向量.注意:
若Xi是A的对应于特征值i的特征向量,则kXi（k0）也是对应于特征值i的特征向量.,对于3=5时,由（A-5E）X=O,即得线性无关的特征向量是对应于特征值3=5的全部特征向量.注意:
例4.3.1与例4.3.2中都是矩阵的重特征值对应线性无关的特征向量个数与重特征值的重数相等.,得线性无关的特征向量是对应于特征值3=1的全部特征向量.,注意:
例4.3.3中矩阵的重特征值对应线性无关的特征向量个数与重特征值的重数不相等.综上,可得求矩阵A的特征值和特征向量的方法步骤:
（1）求A的特征多项式f（）=|A-E|;
（2）求出特征方程f（）=0的全部根,即A的全部特征值1,2,n;（3）对于每个特征值,求出对应齐次线性方程组（A-E）X=O的基础解系,即A属于特征值的线性无关特征向量1,2,s,得A属于特征值的全部特征向量:
k11+k22+kss（k1,k2,ks不同时为0）,4.3.2特征值的性质性质1在复数范围内,方阵A的特征方程有n个根,设n阶方阵A的特征值为1,2,n（可能有相等的）,则有
（1）1+2+n=a11+a22+ann;
（2）12n=|A|一个n阶方阵A的对.角线上的元素之和,称为矩阵的迹,记作Tr（A）,即Tr（A）=a11+a22+ann=1+2+n,推论1方阵A可逆的充分必要条件是A的所有特征值全不为0.性质2设是方阵A的一个特征值,X是对应的特征向量,则对于任意正整数k,k是Ak的特征值;对于任意数a,a是aA的特征值,且X仍是它们对应的特征向量.推论2设是方阵A的一个特征值,X是对应的特征向量,（x）是多项式,则（）是（A）的特征值,且X仍是对应的特征向量.性质3设是可逆矩阵A的一个特征值,X是对应的特征向量,则1是A-1的特征值,且X仍是对应的特征向量.,例4.3.4设3阶方阵A的特征值1,-1,2,求值|A*+3A-2E|.解由题设,A可逆.A*=|A|A-1=-2A-1,故A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E的特征值为-1,-3,3,故|A*+3A-2E|=9.,4.4矩阵的相似对角化,4.4.1相似矩阵的概念与性质定义设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称矩阵A,B相似,或B是A的相似矩阵,记作AB.对矩阵A作运算P-1AP,称为对A作相似变换,并称可逆矩阵P为矩阵A的相似变换矩阵.矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.,定理1若n阶方阵A,B相似,则A,B有相等的特征多项式,从而A,B有相同的特征值.证明由已知,有可逆矩阵P,使P-1AP=B.因故相似矩阵有相等的特征多项式,从而有相同的特征值.,定理的逆命题未必成立,如的特征多项式均为2而相等,故有相同的特征值,但它们不相似.推论若n阶方阵A与对角矩阵相似,则A的特征值为1,2,n.,4.4.2矩阵相似对角化的概念与基本性质矩阵相似对角化:
对于n阶方阵A,若有可逆矩阵P,使P-1AP=为对角矩阵,则称方阵A可对角化.若方阵A可对角化,P-1AP=,则设可逆矩阵P=（P1,P2,Pn）,由于P可逆,则P的列向量P1,P2,Pn线性无关.由AP=P,则,定理2n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,4.4.3特征向量的性质性质1不同特征值所对应的特征向量线性无关.证明设A属于不同特征值1,2,k的特征向量1,2,k,来证明它们线性无关.对特征值个数k作数学归纳法.当k=1时,由于特征向量非零,因此1线性无关.,性质2不同特征值所对应线性无关的特征向量组合起来仍线性无关,即设1,2,k是矩阵A的互不相同的特征值,i1,i2,iri是A的属于i的线性无关的特征向量,那么也线性无关.,由性质1与性质2,要判断n阶方阵A是否可对角化,只需求出A的所有不同特征值,然后对于每个特征值,求出所有线性无关的特征向量.若这些线性无关的特征向量的总个数等于n,则说明A可对角化,否则A不可对角化.于是,我们得到以下定理3,定理3n阶方阵A可对角化的充要条件是:
（1）A有n个特征值（重根按重数计算）;
（2）对于每个特征值,（A-E）X=O的基础解系中所含向量个数（几何重数）n-R（A-E）=在特征方程中的重数（代数重数）.,4.5实对称矩阵的对角化,4.5.1实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值都是实数.,4.5.2实对称矩阵对角化的方法步骤
（1）求n阶实对称矩阵A的所有不同特征值,即求|A-E|=0的所有不同根;
（2）对于A的每个特征值,求其对应线性无关的特征向量,即求（A-E）X=O的基础解系,然后把它们正交化、单位化,即可得n个两两正交的单位向量构成正交矩阵P,使得P-1AP=为对角矩阵.,总复习题,一、单项选择,二、填空,
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