最新现代控制理论基础考试题B卷及答案.docx

1、最新现代控制理论基础考试题B卷及答案一（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状 丽- 态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感 l2的电流强度。行 为 规 范L* + Rx + X3 = u L2X2 + Rx2 = x3CX3 + X2 = x写成矩阵形式为(本题满分10分)单输入单输出离散时间系统的差分方程为y(k 2) 5y(k 1) 3y(k) = r(k 1) 2r(k)回答下列问题：(1)求系统的脉冲传递函数；(2)分析系统的稳定性；(3)取状态变量为N(k)二y(k)，X2(k)= X1(k 1)-r(k)，求系统的状态空间表达式;(

2、4)分析系统的状态能观性。【解答】(1)在零初始条件下进行z变换有：z2 5z 3 Y(z) hz 2 R(z)系统的脉冲传递函数：匕可二 2 -R(z) z2+5z+3(2)系统的特征方程为D(z) =z2 5z 3 =0特征根为乙=-4.3， Z2 = -0.7， z1 1，所以离散系统不稳定。(3) 由 X1(k)=y(k)， X2(k)二为(k 1) r(k)，可以得到X2(k 1) =X1(k 2) -r(k 1) = y(k 2) r(k 1)由已知得y(k 2) -r(k 1) =2r(k) _5y(k 1)-3y(k) =2r(k)-5xdk 1)-3/) = 2r(k) -5

3、 X2(k) r(k)丨-3为化)=-3为(k) -5x2(k) -3r(k)于是有：X2(k 1-3X1(k) -5x2(k)-3r(k)又因为X!(k 1) =x2(k) r(k)所以状态空间表达式为更多精品文档xi(k 1) 0 1 xi(k) 1”X2(k+1)3 5X2(k)弋 J心1。必: (4)系统矩阵为5能观性矩阵为Q。=0 cG0 1 一3.(本题满分10分)回答下列问题：(1)简述线性系统的对偶原理；(2)简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系;(3)r输入r输出r 2阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？【解答】(1)若线性系统1与线性系统2互为对

4、偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性, 系统1的能观性等价于系统2的能控性。(2)若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定， 则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳 定性和输出稳定性才是等价的。(3)r输入r输出r 2阶线性解耦系统等效于r个独立的单输入单输出系统。4.(本题满分10分) 丸=捲-冷cosx2设有一个2阶非线性系统，其状态方程为(，判断该系统在坐标 比=X2原点处的稳定性，并证明你的判断。【解】此系统在坐标原点处不稳定。【证明】取李雅普诺夫函数 V x) =X12 x2，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的

5、导数为：V(x)=2为凡 2x2X2 = 2为 -cosx；? 222xf -2x1x2cosx2 2x；=2 X；-浓2 cosx2 2x； = 2 i xj-X1X2 COSX2 1 x； cos2 X2 2x；-1 x；cos2 X24 2写成矩阵形式为丸 + 2 -3detQl -A)=1 九显然系统渐近稳定。 T _1 _51系统的能控性矩阵为Qc= b Ab】=I ，显然，Qc满秩，所以系统状态一 -1一完全能控。11 Xj6.（本题满分10分）某系统的状态空间表达式为0 0 1I X+I uJ -6一 y - 10 1 lx设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为 -10【

6、解答】设全维观测器方程为0 0 11 lnX = . - I 【0i 1 -6 一 12 一2 2（九 +10）=丸2 +20 丸 +100根据多项式恒等的条件得6 + 120 =100解得100，全维状态观测器方程为2 =147.（本题满分10分）证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。 【证明】设原线性系统为乂 = Ax + Buy = Cx + Du其特征方程为det si - A =0设线性变换为x二Tz，变换后的线性系统为Z=T ATz+T，Bu y = CTz + Du该系统的特征方程为det si T AT =0写成det sT JT -TAT =0det T J

7、si - A T =0det T J det si - A det T =0det T det T det si - A = 0det T，T det si - A、= 0det i det si - A =0det si - A =0证毕显然，其特征方程保持不变。8.（本题满分10分）开环系统的结构如图所示:试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts二5.65秒 （也=0.02），超调量为 p =4.32%，其中一个闭环特征值为-5。求状态反馈控制律 的数学表达式。【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下： H1P* = X2X2 = -5x2 5x3写成状态空间表达式为

8、Xj = -Xj + 2u ，即y = Xi 0 1 0 1 01|o -5 5 |x+ |0!u_o 0 -1 _2 y =1 0 0 】x闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts = 5.65秒（心=0.02），可得：4ts 5.65， n 0.707，n超调量为二p =e = 4.32%，解得0.707，所以， n :T。期望闭环特征多项 式为s 5 s2 2 s ； s 5 s2 2s 1f (s)二 s3 5 * 2 s2 1 5, 2 s 5s -1二 det 0 s 5_2k| - 2 k?设状态反馈控制律为u二K k2 k3 lx，代入可得闭环系统的状态方程01101X = 0-55 x_2k12k22k1闭环特征多项式为厂 s 0 01 010r1f (s) =det(sl - A) = det0 s 0-0-5511J。 0 s 2k12k22k3 -1丿0一5 二 s3 6-2k3 s2 5-10k2T0k3 s-10kis - 2k3 16-2k3 =5 .2 二 6.414根据多项式恒等条件可得:5-10k2-10k3 = 1 = 8.07-10k 5匕=-0.5解得：k2=-0.1 ，状态反馈控制律为k3 = -0.207u - |k1 k2 k3 】x - -0.5-0.1x2 -0.207x3。