最新现代控制理论基础考试题B卷及答案.docx
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最新现代控制理论基础考试题B卷及答案
一•（本题满分10分）
请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。
其中状丽-态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感l2的电流强度。
行为规范
L*+Rx〔+X3=u«L2X2+Rx2=x3
CX3+X2=x
写成矩阵形式为
（本题满分10分）
单输入单输出离散时间系统的差分方程为
y（k2）5y（k1）3y（k）=r（k1）2r（k）
回答下列问题：
（1）求系统的脉冲传递函数；
（2）分析系统的稳定性；
（3）取状态变量为N（k）二y（k），X2（k）=X1（k•1）-r（k），求系统的状态空间表达式;
（4）分析系统的状态能观性。
【解答】
（1）在零初始条件下进行z变换有：
z25z3Y（z）h[z2R（z）
系统的脉冲传递函数：
匕可二¥2-
R（z）z2+5z+3
（2）系统的特征方程为
D（z）=z25z3=0
特征根为乙=-4.3，Z2=-0.7，z1>1，所以离散系统不稳定。
（3）由X1（k）=y（k），X2（k）二为（k1）—r（k），可以得到
X2（k1）=X1（k2）-r（k1）=y（k2）—r（k1）
由已知得
y（k2）-r（k1）=2r（k）_5y（k1）-3y（k）=2r（k）-5xdk1）-3/）=2r（k）-5X2（k）r（k）丨-3为化）=-3为（k）-5x2（k）-3r（k）
于是有：
X2（k1^-3X1（k）-5x2（k）-3r（k）
又因为
X!
（k1）=x2（k）r（k）
所以状态空间表达式为
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xi（k1）01xi（k）1
”X2（k+1）「］—3—5」X2（k）「弋J
心1。
必:
（4）系统矩阵为
5
能观性矩阵为Q。
=『［=『
0］cG」］01一
3.（本题满分10分）
回答下列问题：
（1）简述线性系统的对偶原理；
（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系;
（3）r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？
【解答】
（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性,系统1的能观性等价于系统2的能控性。
（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。
当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。
（3）r输入r输出r2阶线性解耦系统等效于r个独立的单输入单输出系统。
4.（本题满分10分）丸=捲-冷cosx2
设有一个2阶非线性系统，其状态方程为（，判断该系统在坐标比=X2
原点处的稳定性，并证明你的判断。
【解】此系统在坐标原点处不稳定。
【证明】
取李雅普诺夫函数Vx）=X12x2，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：
V（x）=2为凡2x2X2=2为^-^cosx；?
2>2^2xf-2x1x2cosx22x；
=2X；-浓2cosx22x；=2ixj-X1X2COSX21x；cos2X22x；-1x；cos2X2
42
写成矩阵形式为
丸+2-3
detQl-A）=
1九
显然系统渐近稳定。
「T_1_51
系统的能控性矩阵为Qc=[bAb】=I，显然，Qc满秩，所以系统状态
一-1一
完全能控。
11X
j
6.（本题满分10分）
某系统的状态空间表达式为
001
IX+Iu
J-6一①
y-101lx
设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点均为-10
【解答】
设全维观测器方程为
0011ln
X=.-I【0
i1-6一12一
22
（九+10）=丸2+20丸+100
根据多项式恒等的条件得
6+1^20
£=100
解得100，全维状态观测器方程为
2=14
7.（本题满分10分）
证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。
【证明】设原线性系统为
乂=Ax+Bu
y=Cx+Du
其特征方程为detsi-A=0
设线性变换为x二Tz，变换后的线性系统为
Z=T‘ATz+T，Buy=CTz+Du
该系统的特征方程为
detsiTAT=0
写成
detsTJT-T」AT=0
detTJsi-AT=0
detTJdetsi-AdetT=0
detT'detTdetsi-A=0
detT，Tdetsi-A、=0
detidetsi-A=0
detsi-A=0
证毕
显然，其特征方程保持不变。
8.（本题满分10分）
开环系统的结构如图所示:
试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts二5.65秒（也=0.02），超调量为▽p=4.32%，其中一个闭环特征值为-5。
求状态反馈控制律的数学表达式。
【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：
H1P
*=X2
X2=-5x25x3
写成状态空间表达式为'Xj=-Xj+2u，即
y=Xi
「「0101「01
「|o-55|x+|0!
u
_o0-1_2
♦y=〔100】x
闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间ts=5.65秒（心=0.02），可得：
4
ts5.65，n0.707，
n
超调量为二p=e=4.32%，解得」0.707，所以，■n:
T。
期望闭环特征多项式为
s5s22\s；s5s2•2s1
f（s）二s35*2s215,2s5
s-1
二det0s5
_2k|-2k?
设状态反馈控制律为u二Kk2k3lx，代入可得闭环系统的状态方程
0
1
1
0
1
X=0
-5
5x
_2k1
2k2
2k^1
闭环特征多项式为
厂s001「0
1
0
r
1
f（s）=det（sl-A）=det
0s0-0
-5
5
1
1
J。
0s]2k1
2k2
2k3-
-1」丿
0
一5二s36-2k3s25-10k2T0k3s-10ki
s-2k31
6-2k3=5.2二6.414
根据多项式恒等条件可得:
5-10k2-10k3=1=8.07
-10k^5
匕=-0.5
解得：
＜k2=-0.1，状态反馈控制律为
k3=-0.207
u-|k1k2k3】x--0.5^-0.1x2-0.207x3。
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