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1、大学数学练习题大学数学习题及答案一填空题：I 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线2二阶线性齐次微分方程的两个解 yi(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是 3方程y 2y y 0的基本解组是 .4 一个不可延展解的存在区间一定是 区间.5方程dy 1 y2的常数解是dx r6方程x p(t)x q(t)x 0 一个非零解为xi(t),经过变换 7若4(t)是线性方程组 X A(t)X的基解矩阵，则此方程组的任一解 4(t)= .8 曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的 2倍，则此曲线方程为 .9满足 条件的解，称为微分方程的特解10如果在微分方程中，自变量的个数只有一个我

2、们称这种微分方程为 .II 一阶线性方程y p(x)y q(x)有积分因子( ).dy12求解方程 x/y的解是( ).dx2 2 213已知(axy 3x y)dx (x y)x dy 0为恰当方程,则玄= .14dy 2 x dx2y ,R：|x1,1/ 1由存在唯一性定理其解的存在区间是 ()y(0) 015方程2dy5dy 6y0的通解是().dxdx16方程4dy3 5y x y的阶数为dx17若向量函数1(x); 2(x); 3(x) n(x)在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式(x)= .18若P(X)是方程组 鱼 A(x)的基本解方阵则该方程组的通解可表示为 .dx2 2

3、19方程x(y 1)dx y(x 1)dy 0所有常数解是 .20 方程y4y0的基本解组是21 dy 方程dx、y1满足解的存在唯一性定理条件的区域是22 函数组1(X),2(x), , n(x)在区间|上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零.23若 y 1(x),y 2 (x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们共同零占八、二单项选择：方程巴xdxy满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().(A)上半平面方程巴.ydx(A)有一个(B) xoy平面1 ( )奇解.(B)有两个在下列函数中是微分方程 y(A) y(B) y x方程yx的一个特解(C)下半平面 (D)

4、除y(C)无0的解的函数是(C) y sin xy*形如().轴外的全平面(D)有无数个).x(D) y ex(A) aex(B) axebx(C) aex bx c(D) axex bx cf (y)连续可微是保证方程dydxf (y)解存在且唯一的()条件.(A )必要 (B)充分二阶线性非齐次微分方程的所有解(A)构成一个2维线性空间(C)不能构成一个线性空间(C)充分必要(D)必要非充分).(B)构成一个3维线性空间(D)构成一个无限维线性空间方程dy 3y 过点(0,0)有(dx).(A) 无数个解(B) 只有一个解(C) 只有两个解(D) 只有三个解初值问题x(0)在区间，上的解是

5、().tet(A)U(t) * (B)u(t) t (C) U(t)(D) U(t)te方程dy 2x y cos x0 是()dx(A)一阶非线性方程(B) 一阶线性方程9(C)超越方程(D)二阶线性方程2方程dy 3dydx dx0的通解是().3x(A) C1 C2e(B) Gx C2e 3x (C) C1小 3xC?e(D) C2e3x11方程dy 4dy 4y 0的一个基本解组是（）.dx dx2x 2x(A) x,e (B)1,e2(C)x2x,e2x 2x(D) e , xe212若y1和y2是方程dxp(x)学dxq(x)y0的两个解，则y e1 y1 e y2（A）是该方程的

6、通解 （B）是该方程的解（C）不一定是该方程的通解 （D）是该方程的特解（&,e2为任意常数）一 dy 2- . .13方程 1 y过点（0,0）的解为y sinx,此解存在（）.dx(A) ( , ) (B) ( ,014方程y3x2xy e是（）（A）可分离变量:方程（B）齐次方程15微分方程dy1y0的通解是（dxxc(A) yx(B)y cx (C) y16在下列函数中是微分方程(C) 0,)（D） -，-（C）全微分方程（D）线性非齐次方程).1-c (D) y xx cy y 0的解的函数是（）.(A) y 1(B) y xx(C) y sin x (D) y e17方程y y e

7、x x的一个数解yx形如（ ）.x x .(A) ae b (B) axe bxx .(C) ae bx cx .(D) axe bx c0 1118初值问题X1d c x；x(0)11 0(A) U(t)t4 (B) u(t)t ettdyy19.方程dx的奇解是(A)yx(B)20.方程叢1 72过点対共有在区间t 上的解是（）.tt e(C) u(t)t (D) U(t)et e).y 1(C)y 1(D) y 0）个解.(A)（B）无数(C)两(D )三21. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是)个.(A)n(B) n-i(C) n+i(D) n+222 阶线性非齐次微分方程

8、组的任两个非零解之差（ ）.（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解23.如果 f (x, y),(A)必为(f(x, y)y,)都在xoy平面上连续，那么方程dydx(C)的任一解的存在区间（ ）(B)必为(0,)必为（,） （ D）将因解而定三求下列方程的解：1求下列方程的通解或通积分黒10孚dx1 y2工V x xy5xy2 2(4) 2xydx (x y )dy 0(5) y xy 2(y)312求方程的解 x(5) - X 02 26 求(3x 6xy )dx(6x2y 4y3 )dyt求解方程：

9、d4x dt4d2x3解方程2y cosx并求出满足初始条件：当x=0时,y=2的特解dx4求方程:dyytgydxxx5求方程:dy6y2xy的通解dxx0的通解.5d x1d4x8求方程：54dttdt0的解9求方程y 5y 5x2的通解dx10求下列方程组的通解dtdydt11求初值问题 yy(1)R: x1的解的存在区间并求出第二次近似解12求方程的通解旻dxtan#x2 (y 3x )dx (4y x)dy 0 (种方法)2dydx4y13计算方程y 4y3sin 2x的通解14计算方程d2xdx4 4x cost dt dt15求下列常系数线性微分方程：y 2y10yxe2x16试

10、求x1x的基解矩阵217试求矩阵18试求矩阵19解方程组y1y2的特征值和对应的特征向量20.求下列方程组的通解dxdtdydt四名词解释1微分方程4伯努利方程五证明题的特征值和特征向量3xy1y22y4y2常微分方程、偏微分方程5 Lipschitz 条件3变量分离方程6线性相关x轴相切.求证:该方程的任一非零解在 xoy平面上不能与2设xi（t）、X2（t）分别是非齐次性线方程dnxd?n 1G1(t)加dtGn(t)Xfl(t)dnx dtndn 1xG1亍Gn(t)xf2(t)证明：Xl（t）+X2（t）是方程dnx dtnn 11住)加dtGn(t)xfl (t) f2(t)的解。3

11、设f （x）在0 ; + 上连续且lim f (x)=o 求证:方程dxy f (x)的一切解 y(x);均有 limy (x)=oX4 在方程 y p(x)y q(x)y0 中 p(x)、q(x)在）上连续；求证：若p（x）恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w （ x ）是（）上的严格单调函数。5证明：Xi（t）+X2（t）是方程dnx denn 1d xG(t) nrdtan(x)tf2 （t）的解。6证明：函数组e 1X,e 2XenX（其中当j ）在任意区间（a ,b）上线性无关。7.在方程dydxf(y) (y)中,已知f(y)(x)在(）上连续，且 （1） 0 .求证：

12、对任意Xoy。在方程11，满足初值条件y（x。）yo的解y（x）的存在区间必为（y P(x)y q(x)y 0 中，已知 p(x) , q(x)在(）上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与X轴相切.练习题答案一填空题：1、 22、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、 e; xeX4、 开5、 y 16、 x xi ydt7、 (t)C,C为常数列向量28、 y=x +c9、 初始10、 常微分方程11、e p(x)dx12、 x2+y2=c ; c为任意正常数13、 /1 114、 ；2 215、56p16p16、4 17、018、 (x)c ;其中c是确定的n维常数

13、列向量19. y 1, x 120. sin 2x, cos2x221. D (x, y) Ry 0,(或不含x轴的上半平面)22 .充分23 .没有单项选择1、 D 2、 C3、C4、D 5、B 6、C 7、A 8、D9、A 10、C11、 D 12、 B13、D14、D 15、B 16、C 17、D 18、D19. D 20. B21 . A22.C 23. D三求下列方程的解1 (1)解：当 y 0,y1时,分离变量取不定积分，得dydxCy1ny通积分为1ny：=Cex(2)解：令 y= xu ,则dy-J.u x ，代入原方程，得dx dx1 u2dx分离变量，取不定积分，得dudx

14、1nCx(C 0)(3)(4)(5)通积分为：yarcs in 1nCxXy-5,得5解：方程两端同乘以令 y -4= z2 解:dy 4ydx，则-4ydz4 dx通解为z Ce原方程通解为解:解:4xy 4 Cedy-5dx4x-J ，代入上式，得dx因为卫 2xyN ，所以原方程是全微分方程。x取(X0,y0)=( 0，0)xo2xydx原方程的通积分为yy2dy2 1 3x y 3y原方程是克莱洛方程，通解为:dx dx则方程化为一dt dt11y是 x=C1t5+C2t3+C3t2+C4t+C5dnx(t)Gi(t)dn1x(t)dtn 宀 dtn1Gn(t)X2(t)=f1(t)

15、+ f2(t)故X1（t）+X2（t）为方程dnx(t)dtn3解：将变量分离，得到y = cx+2c3dx，积分后得y = ct即 ct dt其中C1 , C2 , C3 , C4 , C5为任意常数Gn(t)X1(t)dtG(t)dn1x(t)dtn 1G1(t)dn1x(t)dtn1GnX(t)=f1(t)+f2 (t)的解。cosxdx y两边积分，即得 1 si nx c因而，通解为这里c是任意常数。以y1y sin x cc,得到x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c = -1因而，所求特解为11 sin x将上式分离变量，即有两边积分，得到ctgududxxu及翌xdyu代

16、入，则原方程变为dxdxdux -u u tgudxdutgudxx4解：以yxn si nu nx c这里c是任意函数，整理后，得到csinu e xe令 e c，得到 sinu = cx5 解：令z = y-1得dz 2 dy ydx dx代入原方程得到dz 6z x dx x这是线性方程，求得它的通解为代回原来的变量y，得到1 x!y x6 8这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0。6 解： 这里 M =3x 2+6xy2 .N = 6x2y+4y3，这时12xy.12xy因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程3x26xy22 ,36x y 4y由（1）对x积分，

17、得到 u x3 3x2y2(y)为了确定 （y），将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得6x2yd (y)dyc 2 A 36x y 4y于是3= 4y4dy积分后可得(y) =y4将（y）代入（3），得到因此，方程的通解为这里c是任意常数 u = x3 + 3x2y2 + y4 x3 + 3x2/ + y4=c4 27解：特征方程 2 10即特征根i是重根，因此方程有四个实值解 cost、tcost、si nt、tsint故通解为x =(C1+C2t)cost +(C3+C4t)sin 其中C1 ; C2 ; C3 ; C4为任意常数8 解:d4xdt4y则方程化为:宜1 y 0dt t

18、积分后得d4xy=ctCt 于是 x=C1t5 + C2t3 + C3t2 + C4t1 + C5其中C1 ; C2C5为任意常数，这就是原方程的通解。9解对应齐次方程的特征方程为 2 5 0 ,1012齐次方程的通解为 y=C什C2e5x因为a=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y1(x)=x ( Ax 2 + Bx + C)代入原方程，比较系数确定出B= 151 A= _ ,3原方程的通解为y C12C=25C2e5x1 2 2-X X5 25ysi ntcost令非齐次方程特解为xcostsi nt=C1(t)+C2(t) 丄ysintcostC1(t),C； (t)满足costs

19、int1C1 (t) 1=sintsi ntcostC) 0cost解得Cl(t),C2 (t)1sin t积分，得C1(t)1nsin t ,C2 (t) t通解为xcostsin tC1C2ysin tcost解: M=maxf(x, y)=4 hmin (a, )M2) q0(x)=0q1(x)=0x(g2 0)dgq2(x)=0+x 2gg2 3 1g -dg 99 9xxx x11=3918 6042解：先解出齐次方程的通解sint+C211求方程的通解：X =C1 COst1罟cost1 nsint tsintsin t1n sin t_g3tcost1一故解的存在区间为 x4g

20、|X31_g_63X 13 3空361 X9g解：变形dydx y1x y （1）,将y看作自变量,x为未知函数ydx 1解齐线性方程 X ,通解为x = cydy ydx 令x = c (y)y.(2)微分得,一dyd(c(y) y)dy警 y c(y)dy由(1)(2)知-yy響 y c(y)dyc( y)yydc(y)dy1,积分得c（y）y 故x （y c） y （c是任意常数）dy y2) dx x解：令-xtanyxux,于是dy x竺u dx dx则原方程变为xdx卄 du tan u即dx xduutan u将上式分离变量有cotududx积分得Insinu1nxc, c为任意

21、吊数。整理 sinu ec ?x令 ec c 0 得 sinu cx(c 0)方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu = cx (c为任意常数)24ydy3) (y 3x )dx (4y x)dy 0(三种方法)M1, N1,因此此方程是恰当1方程yx现求u使uy3x2 (1),x4y （2）xy对（1）中x积分得3u yx x(y)(3)解：法一，这里 M=y-3x 2 , N= - (4y-x )= 4-4y对（3）中y求导ud (y)故通解为yx x3 2y2 c, c为任意常数法二，重新组合得2ydx 3x dx 4ydy xdy0,即 ydx dx3 2dy2 xdy

22、 03 2于是通解为xy x 2ydy 4 2解：令p 则p 5p 4ydx5 dp 3 dp对x求导得P -p p3 2 dx dx5 2 p4积分得(一 p2 ) px c, x4 4521 40, ypp4453、dp53、（尹p）丁dx，（尹p )dp pdx 042pp4c51 3 c-p-p -p44 pd(xy x3 2y2 0)c其中c是任意常数。51 3cx -pp4于是方程通解为4p（p=0）521 4yp-p4413方程y 4y 3sin2x的通解解：齐次方程是y 4y 0, 2 4 0, 2iy & cos2t c2 sin 2t由于2i是特征方程单根故所求特解应具形式

23、 y1x( Acos2x bsin 2x)代入原方程4A 3,B3-,B 04yi故通解为y3一 xcos2x43xcos2x c1 cos 2t4c2 sin 2t，其中C1C2为任意常数4xcost2d x 4dx14dt dt解：特征方程4 4 0有重根1因此对应齐线性方程的通解为 x2t（C1 C2t）e ，其中C1,c2为任意常数。因为i不是特征根，现求形如 Acost Bsint的特征解,代入原方程化简(3A - 4B)cost(4A3B)si nt cost3A曰是4A4B故通解为3B25425(CiC2t)e2tcost254sin t其中C1,C2为任意常数2515求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为 y 2y10y0特征方程为22 2 10特征根为1 3ia不是特征根,故原方程有形如y*=(ax+b) e故原方程通解为16解：因为A得到exp AtexpI2!所以,17 解:150a丄,b101 1、2xC2 sin 3t) ( x )e ，10 502x的特解代入原方程得ex(c1 cost但是,级数只有两项。因此,特征方程为因此,因此,向量（c1 ,c2为任意常数）而且后面的两个矩阵是可交换的exp2t12teE +基解矩阵就是exp At edet( E A)2t3是A的二重特征值.为了寻求对应于3的特征向量，考虑方程组(3E A)c 1C2是对应于