大学数学练习题.docx
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大学数学练习题
大学数学习题及答案
一填空题：
I一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线•
2二阶线性齐次微分方程的两个解yi（x）;y2（x）为方程的基本解组充分必要条件是
3方程y''2y'y0的基本解组是.
4一个不可延展解的存在区间一定是区间.
5方程dy<1y2的常数解是
dxr
6方程x''p（t）x'q（t）x0一个非零解为xi（t）,经过变换
7若4（t）是线性方程组X'A（t）X的基解矩阵，则此方程组的任一解4（t）=.
8—曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍，则此曲线方程为.
9满足条件的解，称为微分方程的特解•
10如果在微分方程中，自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为.
II一阶线性方程y'p（x）yq（x）有积分因子（）.
dy
12求解方程x/y的解是（）.
dx
222
13已知（axy3xy）dx（xy）xdy0为恰当方程,则玄=.
14
dy2—xdx
2
y,R：
|x
1,1
/1由存在唯一性定理其解的存在区间是（）
y（0）0
15方程
2
dy
5dy6y
0的通解是（
）.
dx
dx
16方程
4
dy
35
yxy
的阶数为
dx
17若向量函数1（x）;2（x）;3（x）n（x）在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式
（x）=.
18若P（X）是方程组鱼A（x）的基本解方阵则该方程组的通解可表示为.
dx
22
19•方程x（y1）dxy（x1）dy0所有常数解是.
20•
方程y
4y
0的基本解组是
21•
dy方程dx
、、y
1
满足解的存在唯一性定理条件的区域是
•
22•
函数组
1（X）,
2（x）,,n（x）在区间|上线性无关的
条件是它们的朗斯基行
列式在区间I上不恒等于零.
23•若y1（x）,
y2（x）是二阶线性齐次微分方程的基本解组,
则它们
共同零
占
八、、♦
二单项选择：
方程巴x
dx
y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是
（）.
（A）上半平面
方程巴..y
dx
（A）有一个
（B）xoy平面
1（）奇解.
（B）有两个
在下列函数中是微分方程y''
（A）y
（B）yx
方程y''
x的一个特解
（C）下半平面（D）除y
（C）无
0的解的函数是（
（C）ysinx
y*形如（）.
轴外的全平面
（D）有无数个
）.
x
（D）ye
x
（A）ae
x
（B）axe
bx
（C）aexbxc
（D）axexbxc
f（y）连续可微是保证方程
dy
dx
f（y）解存在且唯一的
（）条件.
（A）必要（B）充分
二阶线性非齐次微分方程的所有解
（A）构成一个2维线性空间
（C）不能构成一个线性空间
（C）充分必要
（
（D）必要非充分
）.
（B）构成一个3维线性空间
（D）构成一个无限维线性空间
方程dy3y^过点（0,0）有（
dx
）.
（A）无数个解
（B）只有一个解
（C）只有两个解
（D）只有三个解
初值问题
x（0）
在区间，
上的解是
（）.
t
e
t
（A）
U（t）*（B）
u（t）t（C）U（t）
（D）U（t）
t
e
方程
dy2
xycosx
0是（）•
dx
（A）
一阶非线性方程
（B）一阶线性方程
9
（C）超越方程
（D）二阶线性方程
2
方程dy3dy
dxdx
0的通解是（）.
3x
（A）C1C2e
（B）GxC2e3x（C）C1
小3x
C?
e
（D）C2e
3x
11方程dy4dy4y0的一个基本解组是（）.
dxdx
2x2x
（A）x,e（B）1,e
2
（C）x
2x
e
2x2x
（D）e,xe
2
12若y1和y2是方程
dx
p（x）学
dx
q（x）y
0的两个解，则ye1y1ey2
（A）是该方程的通解（B）是该方程的解
（C）不一定是该方程的通解（D）是该方程的特解
（&,e2为任意常数）
一dy「2-..
13方程1y过点（0,0）的解为ysinx,此解存在（）.
dx
（A）（,）（B）（,0]
14方程y'
3x2
x
ye
是（）•
（A）可分离变量
:
方程
（B）齐次方程
15微分方程
dy
1
y
0的通解是（
dx
x
c
（A）y
x
（B）
ycx（C）y
16在下列函数中是微分方程
（C）[0,）
（D）[-，-]
（C）全微分方程
（D）线性非齐次方程
）.
1
-c（D）yx
xc
y''y0的解的函数是（）.
（A）y1
（B）yx
x
（C）ysinx（D）ye
17方程y"yexx的一个数解yx形如（）.
x■x.
（A）aeb（B）axebx
x.
（C）aebxc
x.
（D）axebxc
01
1
18初值问题X1
'dcx；x（0）
1
10
（A）U（t）
t
4（B）u（t）
te
t
t
dy
y
19.方程
dx
的奇解是
（
（A）
y
x
（B）
20.方程叢172过点対共有
在区间
t上的解是（）.
t
te
（C）u（t）
t（D）U（t）
e
te
）.
y1
（C）
y1
（D）y0
）个解.
（A）
（B）无数
（C）两
（D）三
21.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是
）个.
（A）n
（B）n-i
（C）n+i
（D）n+2
22•—阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）.
（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解
23.如果f（x,y）,
（A）必为（
f（x,y）
y
）
都在xoy平面上连续，那么方程
dy
dx
（C）
的任一解的存在区间（）•
（B）必为（0,
）
'必为（
°）（D）将因解
而定
三求下列方程的解：
1求下列方程的通解或通积分
⑴黒¥10¥
⑵孚
dx
1y2工
Vxx
y
5
xy
22
（4）2xydx（xy）dy0
（5）yxy'2（y'）3
1
2求方程的解x（5）-X⑷0
22
6求（3x6xy）dx
（6x2y4y3）dy
t
求解方程：
d4xdt4
d2x
3解方程
2
ycosx并求出满足初始条件：
当x=0时,y=2的特解
dx
4求方程
:
dy
y
tgy
dx
x
x
5求方程:
dy
6y
2
xy的通解
dx
x
0的通解.
.5
dx
1
d4x
8求方程：
5
4
dt
t
dt
0的解
9求方程y5y'5x2的通解
dx
10求下列方程组的通解
dt
dy
dt
11求初值问题y
y（
1）
R:
x
1的解的存在区间并求出第二次近似解
12求方程的通解
⑵旻
dx
tan#
x
2
⑶（y3x）dx（4yx）dy0（
种方法）
2
dy
dx
4y
13计算方程
y''4y
3sin2x的通解
14计算方程
d2x
dx
4—4xcostdtdt
15
求下列常系数线性微分方程：
y''2y'
10y
xe2x
16
试求x
1
x的基解矩阵
2
17
试求矩阵
18
试求矩阵
19
解方程组
y'1
y'2
的特征值和对应的特征向量
20.求下列方程组的通解
dx
dt
dy
dt
四名词解释
1微分方程
4伯努利方程
五证明题
的特征值和特征向量
3x
y1
y2
2y
4y
2常微分方程、偏微分方程
5Lipschitz条件
3变量分离方程
6线性相关
x轴相切.
求证:
该方程的任一非零解在xoy平面上不能与
2设xi（t）、X2（t）分别是非齐次性线方程
dnx
d?
"
n1
G1（t）加
dt
Gn（t）X
fl（t）
dnxdtn
dn1x
G1⑴亍
Gn（t）x
f2（t）
证明：
Xl（t）+X2（t）是方程
dnxdtn
n1
°1住）加
dt
Gn（t）x
fl（t）f2（t）的解。
3设f（x）在［0;+］上连续且
limf（x）=o求证:
方程dx
yf（x）的一切解y（x）;
均有limy（x）=o
X
4在方程y''p（x）y'q（x）y
0中p（x）、q（x）在
）上连续；求证：
若
p（x）恒不为零；则该方程
的任一基本解组的朗斯基行列式
w（x）是（
）上的严格单调函数。
5证明：
Xi（t）+X2（t）是方程
dnxden
n1
dx
G（t）nr
dt
an（x）t
f2（t）的解。
6证明：
函数组
e1X,e2X
enX
（其中当
j）在任意区间（
a,b）上线性无关。
7.
在方程
dy
dx
f（y）（y）中,
已知
f（y）
（x）在（
）上连续，且（
1）0.求证：
对任意Xo
y。
在方程
1
1，满足初值条件
y（x。
）
yo的解y（x）的存在区间必为（
yP（x）yq（x）y0中，已知p（x）,q（x）在（
）上连续.
求证：
该方程的任一非零
解在xoy平面上不能与X轴相切.
练习题答案
一填空题：
1、2
2、线性无关（或：
它们的朗斯基行列式不等于零）
3、e";xeX
4、开
5、y1
6、xxiydt
7、（t）C,C为常数列向量
2
8、y=x+c
9、初始
10、常微分方程
11、ep（x）dx
12、x2+y2=c;c为任意正常数
13、/
11
14、；—
22
15、
5
6p
1
6p
16、417、0
18、（x）c;其中c是确定的n维常数列向量
19.y1,x1
20.sin2x,cos2x
2
21.D{（x,y）Ry0},（或不含x轴的上半平面）
22.充分
23.没有
单项选择
1、D2、C
3、C
4、D5、B6、C7、A8、D
9、A10、C
11、D12、B
13、
D
14、D15、B16、C17、D18、D
19.D20.B
21.A
22.C23.D
三求下列方程的解
1
（1）解：
当y0,
y
1时,
分离变量取不定积分，得
dy
dx
C
y1ny
通积分为
1ny：
=Cex
（2）解：
令y=xu,
则
dy
-J..
ux，代入原方程，得
dxdx
1u2
dx
分离变量，取不定积分，得
du
dx
1nC
x
（C0）
（3）
（4）
（5）
通积分为：
y
arcsin1nCx
X
y-5,得
5
解：
方程两端同乘以
令y-4=z
2解:
dy4
y
dx
，则-4y
dz
4dx
通解为
zCe
原方程通解为
解:
解:
4x
y4Ce
dy
-5
dx
4x
-J—
，代入上式，得
dx
因为卫2x
y
N，所以原方程是全微分方程。
x
取（X0,y0）=（0，0）
x
o2xydx
原方程的通积分为
°yy2dy
213
xy3y
原方程是克莱洛方程，通解为:
dxdx
则方程化为一
dtdt
1
1y
是x=C1t5+C2t3+C3t2+C4t+C5
[dnx（t）
Gi（t）
dn1x（t）
dtn「宀dtn1
Gn（t）X2（t）]
=f1（t）+f2（t）
故X1（t）+X2（t）为方程
dnx（t）
dtn
3解：
将变量分离，得到
y=cx+2c3
dx
，积分后得y=ct即ctdt
其中C1,C2,C3,C4,C5为任意常数
Gn（t）X1（t）]
dt
G（t）
dn1x（t）
dtn1
G1（t）
dn1x（t）
dtn1
GnX（t）=f1（t）+f2（t）的解。
cosxdxy
两边积分，即得1sinxc
因而，通解为
这里c是任意常数。
以
y
1
ysinxc
c,得到
x=0,y=1代入通解中以决定任意常数
c=-1
因而，所求特解为
1
1sinx
将上式分离变量，即有
两边积分，得到
ctgudu
dx
x
u及翌
xdy
u代入，则原方程变为
dx
dx
du
x-
uutgu
dx
du
tgu
dx
x
4解：
以y
x
nsinunxc
这里c'是任意函数，整理后，得到
c'
sinuex
e'
令ec，得到sinu=cx
5解：
令z=y-1得
dz2dyy
dxdx
代入原方程得到
dz6
zxdxx
这是线性方程，求得它的通解为
代回原来的变量y，得到
1x!
yx68
这就是原方程的通解。
此外，方程还有解y=0。
6解：
这里M=3x2+6xy2.N=6x2y+4y3，这时
12xy.
12xy
因此方程是恰当方程。
现在求
u，使它同时满足如下两个方程
3x2
6xy2
2,3
6xy4y
由
（1）对x积分，得到ux33x2y2
（y）
为了确定（y），将（3）对y求导数，并使它满足
（2），即得
6x2y
d（y）
dy
c2A3
6xy4y
于是
3=4y4
dy
积分后可得
（y）=y4
将（y）代入（3），得到
因此，方程的通解为
这里c是任意常数u=x3+3x2y2+y4x3+3x2/+y4=c
42
7解：
特征方程21
0即特征根
i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost、sint、
tsint
故通解为
x=（C1+C2t）cost+（C3+C4t）sin其中
C1;C2;C3;C4为任意常数
8解:
d4x
dt4
y则方程化为:
宜1y0
dtt
积分后得
d4x
y=ct
Ct于是x=C1t5+C2t3+C3t2+C4t1+C5
其中C1;C2…C5为任意常数，这就是原方程的通解。
9解对应齐次方程的特征方程为250,
10
12
齐次方程的通解为y=C什C2e5x
因为a=0是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为
2
y1（x）=x（Ax2+Bx+C）
代入原方程，比较系数确定出
B=1
5
1A=_,
3
原方程的通解为
yC1
2
C=—
25
C2e5x
122
-X——X
525
y
sint
cost
令非齐次方程特解为
x
cost
sint
〜=C1（t）
+C2（t）丄
y
sint
cost
C'1（t）,C；（t）满足
cost
sint
1
C'1（t）1
=sint
sint
cost
C）0
cost
解得Cl（t）
C'2（t）
1
sint
积分，得C1
（t）
1n
sint,C2（t）t
通解为
x
cost
sint
C1
C2
y
sint
cost
解:
M=max
f（x,y）
=4h
min（a,）
M
2）q0（x）=0
q1（x）=0
x（g20）dg
q2（x）=0+
x2
[g
g
231
~g-]dg[
9
99
x
x
xx
11
=3
9
1860
42
解：
先解出齐次方程的通解
sint
+C2
11
求方程的通解：
X=C1COst
1罟
cost1nsinttsint
sint1nsint
_g
3
tcost
1
一故解的存在区间为x
4
g|X
31
_g_
63
X1
33
空
36
1[X
9g]
解：
变形dy」
dxy
1xy
（1）,将y看作自变量,x为未知函数
y
dx1
解齐线性方程X,通解为x=cy
dyy
dx令x=c（y）y…..
（2）微分得,一
dy
d（c（y）y）
dy
警yc（y）
dy
由
（1）
（2）知-y
y
響yc（y）
dy
c（y）y
y
dc（y）
dy
1,积分得c（y）
y~故x（yc）y（c是任意常数）
dyy
2）dxx
解：
令-
x
tany
x
ux,于是dyx竺udxdx
则原方程变为x
dx
卄dutanu
即
dxx
du
u
tanu
将上式分离变量有cotudu
dx
积分得Insinu
1nx
c,c为任意吊数。
整理sinuec?
x
令ecc0得sinucx（c0）
方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为sinu=cx（c为任意常数）
2
4y
dy
3）（y3x）dx（4yx）dy0（三种方法）
M
1,N
1,因此此方程是恰当1
方程
y
x
现求u
使
u
y
3x2
（1）,」
x
4y
（2）
x
y
对
（1）
中
x积分得
3
uyxx
（y）
（3）
解：
法一，这里M=y-3x2,N=-（4y-x）=4-4y
对（3）中y求导
u
d（y）
故通解为yxx32y2c,c为任意常数
法二，重新组合得
2
ydx3xdx4ydyxdy
0,即ydxdx32dy2xdy0
32
于是通解为xyx2y
dy42
解：
令p则p5p4y
dx
5dp3dp
对x求导得P-pp3—
2dxdx
52p4
积分得（一p2）pxc,x
44
5
2
14
0,y
—
p
p
4
4
5
3、dp
5
3、
（尹
p
）丁
dx
，（尹
p）dppdx0
4
2
p
p
4
c
5
13c
-p
-p-
p
4
4p
d（xyx32y20）
c其中c是任意常数。
5
13
c
x-
p
p
——
4
于是方程通解为
4
p
（p=0）
5
2
14
y
p
-p
4
4
13方程y''4y3sin2x的通解
解：
齐次方程是y''4y0,240,2i
y&cos2tc2sin2t
由于2i是特征方程单根
故所求特解应具形式y1
x（Acos2xbsin2x）
代入原方程
4A3,B
3
-,B0
4
yi
故通解为y
3
一xcos2x
4
3
xcos2xc1cos2t
4
c2sin2t，
其中C1C2为任意常数
4x
cost
2
dx4dx
14
dtdt
解：
特征方程
440有重根1
因此对应齐线性方程的通解为x
2t
（C1C2t）e，其中C1,c2为任意常数。
因为i不是特征根，现求形如~
AcostBsint的特征解,
代入原方程化简
（3A-4B）cost
（4A
3B）sintcost
3A
曰
是
4A
4B
故通解为
3B
25
4
25
（Ci
C2t）e
2t
cost
25
4
sint其中C1,C2为任意常数
25
15求下列常系数线性微分方程
对应的齐次方程为y''2y'
10y
0特征方程为
2
2210
特征根为
13i
a不是特征根,
故原方程有形如
y*=（ax+b）e
故原方程通解为
16解：
因为A
得到expAt
exp
I
2!
所以,
17解:
1
50
a丄,b
10
11、2x
C2sin3t）（x）e，
1050
2x的特解代入原方程得
ex（c1cost
｝但是,
级数只有两项。
因此,
特征方程为
因此,
因此,向量
（c1,c2为任意常数）
而且后面的两个矩阵是可交换的
exp
2t
1
2t
e
{E+
基解矩阵就是
expAte
det（EA）
2t
3是A的二重特征值.为了寻求对应于
3的特征向量，考虑方程组
（3EA）c1
C2
是对应于
升级会员 