机械优化设计课后习题答案.doc

1、第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件h，正确率为98，计时工资为4元h；二级检验员标准为：速度为15件h，正确率为95，计时工资3元h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2 + 2（8*25*0.02x1 +8*15*0.05x2 ） =4

2、0x1+ 36x2 （3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X) = 40x1+ 36x2 XR3s.t. g1(X) =1800-8*25x1+8*15x20g2(X) =x1 -80g3(X) =x2-100 g4(X) = -x1 0 g5(X) = -x2 0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力，剪切弹性模量，材料重度，许用剪切应力，许用最大变形量。欲选择一组设计变量使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数，簧丝直径，弹簧中径。试建立该优化问题的数学模型。注：弹簧的应力与变形计算公式如下 解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ；（2）建立

3、数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f(X) = （3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X) = XR3s.t. g1(X) =0.5-x1 0g2(X) =10-x2 0g3(X) =x2-50 0g4(X) =3-x3 0g5(X) =0g6(X) =0 1-3 某厂生产一个容积为8000 cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。 解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = , 表面积为目标函数，即： minf(X) = x12 + 2 x1 x2 考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：minf(X

4、) = x12 + 2 x1 x2 X=x1,x2TR2s.t. g1(X) = -x1 0g2(X) = -x2 0 h1(X) = 8000 - x12 x2 = 0 1-4 要建造一个容积为1500 m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ；（2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f(X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 6 x1 x2 + 12 x1 x2 （3）

5、建立数学模型的约束函数；1）仓库的容积为1500 m3。即：1500-x1 x2 x3 =02）仓库宽度为高度的两倍。即：x2 -2 x3 = 0 3）各变量取值应大于0，即：x1 0, x2 . 0.，则 -x1 0，-x2 0（4）本问题的最优化设计数学模型：min f (X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 18 x1 x2 XR3s.t. g1(X) = -x1 0g2(X) = -x2 0g3(X) = -x3 0h1(X) = 1500-x1 x2 x3 =0h2(X) = x2 -2 x3 = 0 1-5 绘出约束条件： ； ； 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间

6、中，用向量分别表示设计变量： ; ; 。第二章习题答案 2-1 请作示意图解释：的几何意义。 2-2 已知两向量,求该两向量之间的夹角。 2-3 求四维空间内两点和之间的距离。 2-4 计算二元函数在处，沿方向的方向导数和沿该点梯度方向的方向导数。 2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为 求： (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。 (2) 找出图上的无约束最优解和对应的函数值，约束最优解和； (3) 若加入一个等式约束条件：求此时的最优解，。解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X1OX2 。其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2

7、、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即： X1*3，4T 函数值 f(X1*)= 0 。 而约束最优解应在由约束线g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g1(X)=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程： ，解得X2*=2，3 。函数值 f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。 加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程： ， 解得X3*=5/2，5/2 。函数值 f(X3*)= (5

8、/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。 2-6 试证明在点处函数具有极小值。证明：求驻点：，H(X)是正定的， 所以驻点必定是极小点。故在点处函数具有极小值。2-7 求函数的极值点，并判断其极值的性质。解：，H(X)是正定的，所以，为凸函数。2-8 试判断函数的凸性。解：，H(X)是正定的，所以，为凸函数。2-9 试用向量及矩阵形式表示并证明它在上是一个凸函数。解：，H(X)是正定的，所以，为凸函数。 2-10 现已获得优化问题的一个数值解,试判定该解是否上述问题的最优解。第三章习题答案3-1 函数，当初始点分别为及时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长。解：当时（1）取

9、 =0.1 比较，因 ，所以应作前进搜索。 步长加倍： =0.3 再比较，因，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。所以：。 (3) 步长加倍：=0.7 .比较，因，所以还应再向前搜索, 。 (4) 步长加倍：=1.5 .比较，因。已找到具有“高低高”特征的区间 即：时， 时， 时，。 所以，单峰区间为： 。当时同理可得：3-2 用黄金分割法求函数在区间中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。解：（1）在初始区间a,b-3，5中取计算点并计算函数值（2）比较函数值，缩短搜索区间因有f1f2，则（3）判断迭代终止条件ba不满足迭代终止条件，比较函数值f1、f2继续缩短区间。将各

10、次缩短区间的有关计算数据列于下表。表 黄金分割法的搜索过程区间缩短次数ab (1) (2)f1f2(原区间)-350.0561.9440.1157.6671-31.944-1.1110.056-0.9870.1152-30.056-1.832-1.111-0.306-0.9873-1.8320.056-1.111-0.665-0.987-0.8884-1.832-0.665-1.386-1.111-0.851-0.987（5-8）略9-1.11122-0.94097-1.046-1.006-0.-0.3-3 用二次插值法求函数的最优解。已知搜区间为，选代精度。解：采用Matlab编程计算得：

11、3-4 函数，取初始点为，规定沿点的负梯度方向进行一次一维优化搜索，选代精度:。 (1)用进退法确定一维优化搜索区间； (2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值； (3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；(4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？解：最优点,最优值二次插值法更快3-5 求的极小点，选代精度。要求： (1)从出发，为步长确定搜索区间； (2)用黄金分割法求极值点；(3)用二次插值法求极值点。解：(1) 由已知条件可得，因为，应作前进搜索。步长加倍， 因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。所以：步长加倍， 因为，所以还应再向前

12、搜索，为此应舍去上一次的点。所以：步长加倍， 因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。所以：步长加倍， 因为，所以已找到具有“高低高”特征的区间即时，；时，；时，。（2）由（1）确定的搜索区间0.7,3.1，利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得:（3）由（1）确定的搜索区间0.7,3.1，利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得:4-1解：初始点取,因此。本题中以函数下降量为终止准则。第1轮搜索方向，取两坐标轴的单位向量，即取：从初始点出发，首先沿方向进行一维最优化搜索，求点，即求解：为此，需先求出最优步长，而后代入式：，就可求出以为初始点，沿着方向进行一维优化求解的最优点

13、。 因为、已知，由第3章的概念可得：，下列采用解析法求极值。因为 所以由可得则而函数值：再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：由可得故而函数值：函数下降量：第二轮搜索：先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，因为 所以由可得则而函数值：再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：由可得故而函数值：函数下降量：第三轮搜索：先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，因为 所以由可得则而函数值：再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：由可得故而函数值：函数下降量：第四轮搜索：先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，因为 所以由可得则而函数值：再从点出发，沿方向进行一维最优化

14、搜索，求点：由可得故而函数值：函数下降量：第五轮搜索：先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，因为 所以由可得则而函数值：再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：由可得故而函数值：函数下降量：第六轮搜索：先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，因为 所以由可得则而函数值：再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：由可得故而函数值：函数下降量：第七轮搜索：先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，因为 所以由可得则而函数值：再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：由可得故而函数值：函数下降量：第八轮搜索：先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，因为 所以由可得则而

15、函数值：再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：由可得故而函数值：函数下降量：将以上各跌代计算结果整理得如下表格：迭代次数迭代点步长函数值函数下降量11.296，2.2T-0.7042.1200.25981.296，2.488T0.2881.95421.439，2.488T0.1431.7980.15251.439，2.755T0.2671.65631.555，2.755T0.1161.5310.14011.555，2.987T0.2321.42441.646，2.987T0.0911.3340.11381.646，3.178T0.1911.26251.717，3.178T0.0711.2

16、020.08561.717，3.333T0.1551.15461.772，3.333T0.0551.1160.05891.772，3.456T0.1231.08671.813，3.456T0.0411.0630.02951.813，3.550T0.0941.04581.845，3.550T0.0321.0310.02391.845，3.625T0.0751.020在函数下降量的终止准则的基础上，结合优化计算结果可知，所求最优点为1.845，3.625T，对应的函数值为。4-2解：解：已知初始点，因此。第一轮搜索方向，取：从初始点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点即求解：因为=故令得，。所以=

17、函数值再从出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点；=令得 ，所以 =函数值计算=，得=，-=26-2=24，-=2-0=2所以 -=26-2=24，m=1.用判别准则检验：据此取：由于，第二轮搜索的初始点取：，.从初始点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点。=令得 ，所以 =函数值再从出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点；=令得 ，所以 =函数值计算=，得=，-=0+=，-=-+=所以 -=0+=，m=1.用判别准则检验：所以满足判别条件，记新方向为以为起点，沿方向进行一维最优化搜索，求点；= 令得 ，所以 =函数值检验终止准则第三轮搜索取新的方向组为：从初始点取：，.从初始点出发，沿方向进行一

18、维最优化搜索，求点。=令得 ，所以 =函数值再从出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点；=令得 ，所以 =函数值计算=，得=，-=-1+1=0，-=-所以 -=-1+1=0，m=1.用判别准则检验：故无需对计算便可知其不满足判别准则检验。又由于。所以，我们直接检验终止准则满足判别条件，记新方向为最后，求得最优点为，4-3解：(1)初始点因此 第1轮搜索方向，取两坐标轴的单位向量。即取： 从初始点出发首先沿方向进行一维最优化搜索，求点，即求解因为所以 令则 所以而函数值 再从点出发沿方向进行一维最优化搜索，求点 令即故求得即计算：得即计算各点函数之差，并确定其中差值的最大值 用判别准则检验： 所以

19、不必计算，即可判定第2轮搜索仍采用原方向，即，由于 第2轮搜索的初始点应定为即重复上述步骤进行计算，从出发沿方向进行一维最优化搜索，找到最优点。令得 所以所以再从点出发沿方向进行一维最优化搜索，求点：令得所以所以计算得得计算各点函数值之差，并确定其中差值最大者所以 m=2, ，所以判断条件成立，需要计算新方向，记为 以为起点，沿方向进行一维优化，可求得令得即所以得检验终止准则：显然不满足需要进行新一轮的优化搜索，新一轮的优化搜索应采用新的方向组。即,第3轮搜索的初始点应选在：，令即所以函数值：，再从出发沿方向进行一维最优化搜索求点，令得即所以即计算,计算， 不满足判别准则。由于显然满足终止准则

20、。所以最优点为,（2）初始点因此 第1轮搜索方向，取两坐标轴的单位向量。即取： 从初始点出发首先沿方向进行一维最优化搜索，求点，即求解因为所以 令则 所以而函数值 再从点出发沿方向进行一维最优化搜索，求点 令即故求得即计算：以为起点，沿作一维优化求其最优点,并作为下一轮的初始点。，令得所以，更新搜索方向向量组：，K=1+1=2。由于，与向量共线，这样在继续的搜索过程中，实际上就变成了在一维方向上求解二维平面的问题，必然引起搜索的失败，无法求的最优解。4-4解：1）、已知初始点 初始点处的梯度为： 根据式(4.5.1-1)求搜索方向为 则第一轮的迭代点X(1)为 因为目标函数较简单，这里不用搜索

21、法而用解析法来确定(0) ：于是得 接下来求第二轮的迭代点，首先计算点处的梯度，得 根据式(4.5.1-1)求搜索方向为 则第二轮的迭代点X(2)为 因为目标函数较简单，这里不用搜索法而用解析法来确定(1) ：于是得 接下来求第三轮的迭代点，首先计算点处的梯度，得 根据式(4.5.1-1)求搜索方向为 则第三轮的迭代点X(3)为 因为目标函数较简单，这里不用搜索法而用解析法来确定(2) ：于是得 2）、各轮的搜索方向可由第一步可得，而故互相垂直，又有 故互相垂直从而验证了相邻两次迭代的搜索方向为互相垂直。4-5(1) 解： 初始点取x=。 = = =x=x-=-=将x继续进行迭代 =所以：x=

22、x-= x x= 即为所求最小值 = -1(2) 解：取初始点为，经计算可得。4-6解：。4-7解：由已知条件可得：，已知初始点，取初始矩阵初始点处的梯度为：求搜索方向：则第一轮的迭代点为：因为目标函数较简单，这里采用解析法来确定：令解得所以，接下来求第二轮的迭代点，首先计算点的梯度，得：计算:所以，计算新的迭代点令解得所以，接下来求第三轮的迭代点，首先计算点的梯度，得：计算:所以，计算新的迭代点令解得所以，接下来求第四轮的迭代点，首先计算点的梯度，得：计算:所以，计算新的迭代点令解得所以，接下来求第五轮的迭代点，首先计算点的梯度，得：计算:所以，计算新的迭代点令解得所以，将以上结果整理得以下

23、数据表格：k020.5-1-2-5.50.2512.0881.119-2.0620.3-6.1610.22122.4210.884-0.926-1.306-6.5390.08632.4321.228-1.5920.048-6.770.10642.6371.061-0.848-1.03-6.9380.0524-8证明：(1) ，则和是关于共轭的。和不正交。(2) ，即与正交又和不是关于共轭的。4-9解：应用Matlab编程计算得结果：。5-1解：根据式(5.2.4-1)可得:所以，此时 不在定义域之内，违法约束5-2解：取,则，由已知条件可得：，（0）以三点组成的三角形的重心为,则 ，(1) 以

24、三点组成的三角形的重心为,则由已知定义域可知，改点不在规定的定义域范围内，所以缩小，取 ，(2) 以三点组成的三角形的重心为,则 ，(3) 以三点组成的三角形的重心为,则 ，(4) 以三点组成的三角形的重心为,则由已知定义域可知，改点不在规定的定义域范围内，所以缩小，取 ，(5) 以三点组成的三角形的重心为,则 通过五次的复合形计算得最优点为。 5-3解：(1)内点法：根据内点法初始点选用原则，取其初始点为。(2)外点法：，=根据外点法初始点选用原则，取其初始点为。5-4解：，5-5解：将已知约束条件整理得：，5-6解：由已知条件得令可得其极值表达式为：惩罚函数的极值为：，取不同值时惩罚函数的取值情况如下表所示：0.10.010.00105.3165.15.0325.01556.3245250.63250.250通过以上表格数据进行绘图可知，随着值的减小，极值点将沿一直线轨迹缩小。5-7解：构造外点法惩罚函数：=令函数的一阶偏导数为零，可得其无约束极值点令可得当时：最终的最优解为。最优点的移动方向沿着直线方向。5-8解：构造拉格朗日函数：再求偏导数并令其等于零，得解上面的方程组得：即得最优解：5-9解：构造拉格朗日函数：