机械优化设计课后习题答案.doc
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第一章习题答案
1-1某厂每日（8h制）产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：
速度为25件／h，正确率为98％，计时工资为4元／h；二级检验员标准为：
速度为15件／h，正确率为95％，计时工资3元／h。
检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为：
一级8人和二级10人。
为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？
解：
（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=；
（2）建立数学模型的目标函数；
取检验费用为目标函数，即：
f（X）=8*4*x1+8*3*x2+2（8*25*0.02x1+8*15*0.05x2）
=40x1+36x2
（3）本问题的最优化设计数学模型：
minf（X）=40x1+36x2X∈R3·
s.t.g1（X）=1800-8*25x1+8*15x2≤0
g2（X）=x1-8≤0
g3（X）=x2-10≤0
g4（X）=-x1≤0
g5（X）=-x2≤0
1-2已知一拉伸弹簧受拉力，剪切弹性模量，材料重度，许用剪切应力，许用最大变形量。
欲选择一组设计变量使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：
弹簧圈数，簧丝直径，弹簧中径。
试建立该优化问题的数学模型。
注：
弹簧的应力与变形计算公式如下
解：
（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=；
（2）建立数学模型的目标函数；
取弹簧重量为目标函数，即：
f（X）=
（3）本问题的最优化设计数学模型：
minf（X）=X∈R3·
s.t.g1（X）=0.5-x1≤0
g2（X）=10-x2≤0
g3（X）=x2-50≤0
g4（X）=3-x3≤0
g5（X）=≤0
g6（X）=≤0
1-3某厂生产一个容积为8000cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
解：
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=,
表面积为目标函数，即：
minf（X）=x12+2x1x2
考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：
minf（X）=x12+2x1x2
X=[x1,x2]T∈R2
s.t.g1（X）=-x1≤0
g2（X）=-x2≤0
h1（X）=8000-x12x2=0
1-4要建造一个容积为1500m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。
基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。
解：
（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=；
（2）建立数学模型的目标函数；
取总价格为目标函数，即：
f（X）=8（x1x3+x2x3）+6x1x2+12x1x2
（3）建立数学模型的约束函数；
1）仓库的容积为1500m3。
即：
1500-x1x2x3=0
2）仓库宽度为高度的两倍。
即：
x2-2x3=0
3）各变量取值应大于0，即：
x1>0,x2.>0.，则-x1≤0，-x2≤0
（4）本问题的最优化设计数学模型：
minf（X）=8（x1x3+x2x3）+18x1x2X∈R3·
s.t.g1（X）=-x1≤0
g2（X）=-x2≤0
g3（X）=-x3≤0
h1（X）=1500-x1x2x3=0
h2（X）=x2-2x3=0
1-5绘出约束条件：
；；所确定的可行域
1-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：
;;。
第二章习题答案
2-1请作示意图解释：
的几何意义。
2-2已知两向量,求该两向量之间的夹角。
2-3求四维空间内两点和之间的距离。
2-4计算二元函数在处，沿方向的方向导数和沿该点梯度方向的方向导数。
2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为
求：
（1）以一定的比例尺画出当目标函数依次为时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。
（2）找出图上的无约束最优解和对应的函数值，约束最优解和；
（3）若加入一个等式约束条件：
求此时的最优解，。
解：
下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X1OX2。
其中的同心圆是目标函数依次为f（X）=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：
X1*＝[3，4]T
函数值f（X1*）=0。
而约束最优解应在由约束线g1（X）=0，g2（X）=0，g3（X）=0，g4（X）=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g1（X）=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程：
，解得X2*=[2，3]。
函数值f（X2*）=（2-3）2+（3-4）2=2。
加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1（X）=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：
，解得X3*=[5/2，5/2]。
函数值f（X3*）=（5/2-3）2+（5/2-4）2=2.5。
2-6试证明在点处函数具有极小值。
证明：
求驻点：
，
，
H（X）是正定的，所以驻点必定是极小点。
故在点处函数具有极小值。
2-7求函数的极值点，并判断其极值的性质。
解：
，
，
H（X）是正定的，所以，为凸函数。
2-8试判断函数的凸性。
解：
，
H（X）是正定的，
所以，为凸函数。
2-9试用向量及矩阵形式表示并证明它在上是一个凸函数。
解：
，
H（X）是正定的，
所以，为凸函数。
2-10现已获得优化问题
的一个数值解,试判定该解是否上述问题的最优解。
第三章习题答案
3-1函数，当初始点分别为及时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长。
解：
当时
（1）取
=0.1
比较，因，所以应作前进搜索。
⑵步长加倍：
=0.3
再比较，因，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。
所以：
。
（3）步长加倍：
=0.7
.
比较，因，所以还应再向前搜索,。
（4）步长加倍：
=1.5
.
比较，因。
已找到具有“高－低－高”特征的区间
即：
时，
时，
时，。
所以，，单峰区间为：
。
当时
同理可得：
3-2用黄金分割法求函数在区间中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。
解：
（1）在初始区间[a,b]＝[-3，5]中取计算点并计算函数值
（2）比较函数值，缩短搜索区间
因有f1≤f2，则
（3）判断迭代终止条件
b－a＞ε
不满足迭代终止条件，比较函数值f1、f2继续缩短区间。
将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。
表黄金分割法的搜索过程
区间缩短次数
a
b
α
（1）
α
（2）
f1
f2
（原区间）
-3
5
0.056
1.944
0.115
7.667
1
-3
1.944
-1.111
0.056
-0.987
0.115
2
-3
0.056
-1.832
-1.111
-0.306
-0.987
3
-1.832
0.056
-1.111
-0.665
-0.987
-0.888
4
-1.832
-0.665
-1.386
-1.111
-0.851
-0.987
（5-8）略
9
-1.11122
-0.94097
-1.046
-1.006
-0.
-0.
3-3用二次插值法求函数的最优解。
已知搜区间为，选代精度。
解：
采用Matlab编程计算得：
3-4函数，取初始点为，规定沿点的负梯度方向进行一次一维优化搜索，选代精度:
。
（1）用进退法确定一维优化搜索区间；
（2）用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值；
（3）用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；
（4）上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？
解：
最优点,最优值
二次插值法更快
3-5求的极小点，选代精度。
要求：
（1）从出发，为步长确定搜索区间；
（2）用黄金分割法求极值点；
（3）用二次插值法求极值点。
解：
（1）①由已知条件可得，
因为，应作前进搜索。
②步长加倍，，
因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。
所以：
③步长加倍，，
因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。
所以：
④步长加倍，，
因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。
所以：
⑤步长加倍，，
因为，所以已找到具有“高—低—高”特征的区间
即时，；
时，；
时，。
（2）由
（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得:
（3）由
（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得:
4-1解：
初始点取,因此。
本题中以函数下降量为终止准则。
第1轮搜索方向，取两坐标轴的单位向量，即取：
从初始点出发，首先沿方向进行一维最优化搜索，求点，即求解：
为此，需先求出最优步长，而后代入式：
，就可求出以为初始点，沿着方向进行一维优化求解的最优点。
因为、已知，由第3章的概念可得：
，下列采用解析法求极值。
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
由可得
故
而函数值：
函数下降量：
第二轮搜索：
先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
由可得
故
而函数值：
函数下降量：
第三轮搜索：
先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
由可得
故
而函数值：
函数下降量：
第四轮搜索：
先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
由可得
故
而函数值：
函数下降量：
第五轮搜索：
先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
由可得
故
而函数值：
函数下降量：
第六轮搜索：
先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
由可得
故
而函数值：
函数下降量：
第七轮搜索：
先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
由可得
故
而函数值：
函数下降量：
第八轮搜索：
先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
由可得
故
而函数值：
函数下降量：
将以上各跌代计算结果整理得如下表格：
迭代次数
迭代点
步长
函数值
函数下降量
1
[1.296，2.2]T
-0.704
2.120
0.2598
[1.296，2.488]T
0.288
1.954
2
[1.439，2.488]T
0.143
1.798
0.1525
[1.439，2.755]T
0.267
1.656
3
[1.555，2.755]T
0.116
1.531
0.1401
[1.555，2.987]T
0.232
1.424
4
[1.646，2.987]T
0.091
1.334
0.1138
[1.646，3.178]T
0.191
1.262
5
[1.717，3.178]T
0.071
1.202
0.0856
[1.717，3.333]T
0.155
1.154
6
[1.772，3.333]T
0.055
1.116
0.0589
[1.772，3.456]T
0.123
1.086
7
[1.813，3.456]T
0.041
1.063
0.0295
[1.813，3.550]T
0.094
1.045
8
[1.845，3.550]T
0.032
1.031
0.0239
[1.845，3.625]T
0.075
1.020
在函数下降量的终止准则的基础上，结合优化计算结果可知，所求最优点为[1.845，3.625]T，对应的函数值为。
4-2解：
解：
已知初始点，因此。
第一轮搜索方向，取：
从初始点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点
即求解：
因为=故
令得，。
所以
==函数值
再从出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点；
=
令得，所以
==函数值
计算=，得=，
，，
-=26-2=24，-=2-0=2
所以-=26-2=24，m=1.
用判别准则检验：
据此取：
由于，第二轮搜索的初始点取：
，.
从初始点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点。
=
令得，所以
==函数值
再从出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点；
=
令得，所以
==函数值
计算=，得=，
，，
-=0+=，-=-+=
所以-=0+=，m=1.
用判别准则检验：
所以
满足判别条件，记新方向为
以为起点，沿方向进行一维最优化搜索，求点；
=
令得，所以
==函数值
检验终止准则
第三轮搜索取新的方向组为：
从初始点取：
，.
从初始点出发，沿
方向进行一维最优化搜索，求点。
=
令得，所以
==函数值
再从出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点；
=
令得，所以
==函数值
计算=，得=，
，，
-=-1+1=0，-=-
所以-=-1+1=0，m=1.
用判别准则检验：
故无需对
计算便可知其不满足判别准则检验。
又由于。
所以，我们直接检验终止准则
满足判别条件，记新方向为
最后，求得最优点为，
4-3解：
（1）
初始点因此第1轮搜索方向，取两坐标轴的单位向量。
即取：
从初始点出发首先沿方向进行一维最优化搜索，求点，即求解因为
所以
令则所以而函数值再从点出发沿方向进行一维最优化搜索，求点
令即故求得即计算：
得即
计算各点函数之差，并确定其中差值的最大值
用判别准则检验：
所以不必计算，即可判定第2轮搜索仍采用原方向，即
，
由于第2轮搜索的初始点应定为
即
重复上述步骤进行计算，从出发沿方向进行一维最优化搜索，找到最优点。
令得所以
所以
再从点出发沿方向进行一维最优化搜索，求点：
令得所以所以计算得得计算各点函数值之差，并确定其中差值最大者
所以
m=2,
，
所以
判断条件成立，需要计算新方向，记为
以为起点，沿方向进行一维优化，可求得令得即所以得检验终止准则：
显然不满足需要进行新一轮的优化搜索，新一轮的优化搜索应采用新的方向组。
即,
第3轮搜索的初始点应选在：
，，
令即所以函数值：
，再从出发沿方向进行一维最优化搜索求点
，令
得即所以即计算,计算
，不满足判别准则。
由于显然满足终止准则。
所以最优点为,
（2）
初始点因此第1轮搜索方向，取两坐标轴的单位向量。
即取：
从初始点出发首先沿方向进行一维最优化搜索，求点，即求解因为
所以
令则所以而函数值再从点出发沿方向进行一维最优化搜索，求点
令即故求得即
计算：
以为起点，沿作一维优化求其最优点,并作为下一轮的初始点。
，令
得所以，
更新搜索方向向量组：
，，K=1+1=2。
由于，与向量共线，这样在继续的搜索过程中，实际上就变成了在一维方向上求解二维平面的问题，必然引起搜索的失败，无法求的最优解。
4-4解：
1）、已知初始点
初始点处的梯度为：
根据式（4.5.1-1）求搜索方向为
则第一轮的迭代点X
（1）为
因为目标函数较简单，这里不用搜索法而用解析法来确定α（0）：
于是得
接下来求第二轮的迭代点，首先计算点处的梯度，得
根据式（4.5.1-1）求搜索方向为
则第二轮的迭代点X
（2）为
因为目标函数较简单，这里不用搜索法而用解析法来确定α
（1）：
于是得
接下来求第三轮的迭代点，首先计算点处的梯度，得
根据式（4.5.1-1）求搜索方向为
则第三轮的迭代点X（3）为
因为目标函数较简单，这里不用搜索法而用解析法来确定α
（2）：
于是得
2）、各轮的搜索方向可由第一步可得，而
故互相垂直，又有
故互相垂直
从而验证了相邻两次迭代的搜索方向为互相垂直。
4-5
（1）
解：
初始点取x=。
==
==
[]=
x=x-[]=-=
将x继续进行迭代
==
所以：
x=x-[]=x
x=即为所求最小值=-1
（2）
解：
取初始点为，经计算可得。
4-6解：
。
4-7解：
由已知条件可得：
，
已知初始点，取初始矩阵
初始点处的梯度为：
求搜索方向：
则第一轮的迭代点为：
因为目标函数较简单，这里采用解析法来确定：
令解得
所以，，
接下来求第二轮的迭代点，首先计算点的梯度，得：
计算:
所以，
计算新的迭代点
令解得
所以，，
接下来求第三轮的迭代点，首先计算点的梯度，得：
计算:
所以，
计算新的迭代点
令解得
所以，，
接下来求第四轮的迭代点，首先计算点的梯度，得：
计算:
所以，
计算新的迭代点
令解得
所以，，
接下来求第五轮的迭代点，首先计算点的梯度，得：
计算:
所以，
计算新的迭代点
令解得
所以，，
将以上结果整理得以下数据表格：
k
0
2
0.5
-1
-2
-5.5
0.25
1
2.088
1.119
-2.062
0.3
-6.161
0.221
2
2.421
0.884
-0.926
-1.306
-6.539
0.086
3
2.432
1.228
-1.592
0.048
-6.77
0.106
4
2.637
1.061
-0.848
-1.03
-6.938
0.052
4-8证明：
（1），则
和是关于共轭的。
和不正交。
（2）
，即与正交
又
和不是关于共轭的。
4-9解：
应用Matlab编程计算得结果：
。
5-1解：
根据式（5.2.4-1）可得:
所以，
此时
不在定义域之内，违法约束
5-2解：
取,则，由已知条件可得：
，
（0）以三点组成的三角形的重心为,
则
，
（1）以三点组成的三角形的重心为,
则
由已知定义域可知，改点不在规定的定义域范围内，所以缩小，取
，
（2）以三点组成的三角形的重心为,则
，
（3）以三点组成的三角形的重心为,则
，
（4）以三点组成的三角形的重心为,则
由已知定义域可知，改点不在规定的定义域范围内，所以缩小，取
，
（5）以三点组成的三角形的重心为,则
通过五次的复合形计算得最优点为。
5-3解：
（1）内点法：
根据内点法初始点选用原则，取其初始点为。
（2）外点法：
，
=
根据外点法初始点选用原则，取其初始点为。
5-4解：
，
5-5解：
将已知约束条件整理得：
，
5-6解：
由已知条件得
令可得其极值表达式为：
惩罚函数的极值为：
，取不同值时惩罚函数的取值情况如下表所示：
0.1
0.01
0.001
0
5.316
5.1
5.032
5.01
5
56.324
52
50.632
50.2
50
通过以上表格数据进行绘图可知，随着值的减小，极值点将沿一直线轨迹缩小。
5-7解：
构造外点法惩罚函数：
=
令函数的一阶偏导数为零，可得其无约束极值点
令可得
当时：
最终的最优解为。
最优点的移动方向沿着直线方向。
5-8解：
构造拉格朗日函数：
再求偏导数并令其等于零，得
解上面的方程组得：
即得最优解：
5-9解：
构造拉格朗日函数：
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