数值分析试题a.doc

1、中国石油大学（北京）2008-2009学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析 所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 题号一二三四五六七八总分得分注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分）1、已知是互异节点，是对应节点的Lagrange插值基函数， 是任意一个首项系数为1的次多项式，则= 。2、设分段多项式 是以为节点的三次样条函数，则 ， 。3、如果是正交矩阵，则= 。4、用x = 3.141作为的近似值，则x有 位有效数字，其绝对误差限为 。5、数值积分公式是否为插值型求积公式： ，其代数精度为 。6、下列matlab程序中s2计算的是 ，并指

2、明s1与s2的区别为 。其中：。 t=0;s2=1e14;for i=1:1e6 temp= 1/(1e3+i); t=t+temp; s2=s2+temp;ends1= t+1e14;二、（8分）已知函数表0121011试利用重节点Newton差商构造满足插值条件 的三次多项式。（要求构造出差商表）三、（8分）已知向量，试构造Householder变换阵，使，其中。四、（12分）已知勒让德（Legendre）正交多项式，试利用勒让德正交多项式在二次多项式类中求一个多项式，使其成为上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。五、（10分）写出求解线性代数方程组 的Gauss-Seidel迭代格式，

3、并分析此格式的敛散性。六、（12分）用追赶法求解三对角方程组。（要求写出LU分解的具体计算过程）七、（12分）给出计算的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性,并证明。八、（8分）求解常微分方程初值问题的改进欧拉公式是几阶方法？其中为常数，。中国石油大学（北京）2008-2009学年第一学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称：数值分析题号一二三四五六七八总分得分一、（30分） 1、； 2、； 3、1；4、3，； 5、 是， 1；6、计算的值，其中，s2会产生大数吃小数的问题。二、（8分）构造差商表：一阶二阶三阶0110-110122110-1 （5分）所以插值多项式 （3分）三、（8分

4、）方法1：故取。 （3分） （3分） （2分）方法2： 取， （3分） （3分） （2分）四、（12分）,设 （3分） 即：解得： （3分） （3分） （3分）五、（10分）方程组的Gauss-Seidel迭代格式为 (5分)其迭代矩阵为 （3分）其特征方程为解之得谱半径，故迭代发散。 （2分）六、（12分）方法1： ， ， 方法2： （8分） （2分）（2分）七、（12分）由题意可得出其迭代格式为 （3分） 当时，所以迭代格式是收敛的。 （6分）由可得，解得：其中舍去。可得即解得 （3分）八、（8分）假定将改进欧拉公式写成：则在处的Taylor展式为 （3分）另一方面，依Taylor公式 （3分）因此有 所以改进欧拉公式是二阶方法。 （2分）