数值分析试题a.doc

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中国石油大学（北京）2008--2009学年第一学期

研究生期末考试试题A（闭卷考试）

课程名称：

数值分析

所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

总分

得分

注：

计算题取小数点后四位

一、填空题（共30分，每空3分）

1、已知是互异节点，是对应节点的Lagrange插值基函数，是任意一个首项系数为1的次多项式，则=。

2、设分段多项式

是以为节点的三次样条函数，则，。

3、如果是正交矩阵，则=。

4、用x=3.141作为的近似值，则x有位有效数字，其绝对误差限为。

5、数值积分公式是否为插值型求积公式：

，其代数

精度为。

6、下列matlab程序中s2计算的是，

并指明s1与s2的区别为。

其中：

。

t=0;

s2=1e14;

fori=1:

1e6

temp=1/（1e3+i）;

t=t+temp;

s2=s2+temp;

end

s1=t+1e14;

二、（8分）已知函数表

0

1

2

1

0

1

1

试利用重节点Newton差商构造满足插值条件的三次多项式。

（要求构造出差商表）

三、（8分）已知向量，试构造Householder变换阵，使，

其中。

四、（12分）已知勒让德（Legendre）正交多项式，试利用勒

让德正交多项式在二次多项式类中求一个多项式，使其成为上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。

五、（10分）写出求解线性代数方程组

的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。

六、（12分）用追赶法求解三对角方程组。

（要求写出LU分解的具体计算过程）

七、（12分）给出计算的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性,

并证明。

八、（8分）求解常微分方程初值问题

的改进欧拉公式是几阶方法？

其中为常数，。

中国石油大学（北京）2008--2009学年第一学期

研究生期末考试试题标准答案A（闭卷考试）

课程名称：

数值分析

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

总分

得分

一、（30分）1、；2、；3、1；

4、3，；5、是，1；

6、计算的值，

其中，

，s2会产生大数吃小数的问题。

二、（8分）构造差商表：

一阶

二阶

三阶

0

1

1

0

-1

1

0

1

2

2

1

1

0

-1

（5分）

所以插值多项式（3分）

三、（8分）方法1：

故取。

（3分）

（3分）

（2分）

方法2：

取，（3分）

（3分）

（2分）

四、（12分）,设（3分）

即：

解得：

（3分）

（3分）

（3分）

五、（10分）方程组的Gauss-Seidel迭代格式为

（5分）

其迭代矩阵为

（3分）

其特征方程为

解之得

谱半径，故迭代发散。

（2分）

六、（12分）方法1：

，

，，

方法2：

（8分）

（2分）

（2分）

七、（12分）由题意可得出其迭代格式为

（3分）

　　　当时，　所以迭代格式是收敛的。

（6分）

　由可得，　

解得：

　其中舍去。

可得

　即解得（3分）

八、（8分）假定将改进欧拉公式写成：

则在处的Taylor展式为

　　（3分）

另一方面，依Taylor公式

　　　　　（3分）

因此有

所以改进欧拉公式是二阶方法。

（2分）