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1、数学理 答案邯郸市 2020 年空中课堂高三备考检测理科数学 参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数 z =i3 - 4i，则在复平面内z 对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限1答案：B解析： z = i = i (3 + 4i) = -4 + 3i ，所以 z 在复平面内对应的点位于第二象限3 - 4i 25 25N =5，+)2已知集合 M = x x2 - 6x + 5 0，N = y y = x2 +1，则 MA 5，+)B1C 1，5D R2答案：B解析： M = x x

2、 1或x 5，N = y y 13 (1- 2x)6 的展开式第三项为A 60 B -120C 60x2D -120x33答案：C解析： T = C2 (-2x)2 = 60x23 6ex +14函数 f (x) = cos x 的部分图象大致为ex -1A. B. C. D.4答案: Ae- x +1ex +1f (x)解析:因为 f (-x) = e- x -1 cos(-x) = - ex -1 cos x = - f (x) ，所以排除C ，当 x 0+ 时， f (x) 0 ，排除 B、D ，故选 A .为奇函数，x + y 1,5设变量 x ， y 满足约束条件2x - y 2,x

3、 - y +1 0,A2 B 4 55则 z = (x - 3)2 + y2 的最小值为C4 D 1655答案：D解析：画出可行域，可发现 z = (x - 3)2 + y2 的最小值是(3, 0) 到2x - y - 2 = 0 距离的平方.6公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前 4 个，则第 10 个五角形数为A120 B145 C270 D2856答案：B解析：记第n 个五角形数为an ，由题意知： a1 = 1, a2 - a1 = 4, a3 - a2 = 7, a4 - a3

4、 = 10 易知a - a= 3(n -1) +1，由累加法得a = (3n -1)n ，所以a = 145 .n n-1n 2 107若双曲线 x2 - y2 = 1(a 0, b 0) 的一条渐近线与函数 f (x) = ln (x +1) 的图象相切，则该双曲线离心率为a2 b223A B7答案：AC2 D5解析：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为 y = b xa函数 f (x) = ln (x +1)图象也过原点，结合图形可知切点就是(0, 0)2k = f (0) = 1 = b ，e =a8 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 其图象关于点 (3, 0) 对称，当 x

5、(0 , 3) 时x 2018, 2019时， f (x)的最小值为f (x) = ex ， 则当A0 B e C e2 D e38答案：A解析： f (x) 关于(3,0) 对称 f (x) + f (6 - x) = 0 f (x) = - f (6 - x) = f (x - 6) f (x) 的周期为6 x 2018,2019时 f (x) 最小值即为 x 2,3时 f (x) 最小值min x 2,3)，f (x) = f (2) = e2 f (3) = f (-3) = - f (3) f (3) = 0 x 2,3， f (x)min = 0 ，选 A 9设m ， n 为正数，

6、且m + n = 2 ，则1m +1+n + 3 的最小值为n + 2A 3 B 5 C 7 D 92 3 4 59答案：D解析:当m + n = 2 时，1 + n + 3 = 1 + 1+1 =m + n + 3+1 =5 +1m +1n + 2m +1n + 2（m +1）（n + 2）（m +1）（n + 2） , m +1+ n + 2 2 25因为（m +1）（n + 2） 2 = 4 ，当且仅当m +1 = n + 2 ，即m = 3，n = 1 时取等号，则 1 + n + 3 9 2 2 m +1 n + 2 510已知 F 为抛物线C : y2 = 2 px( p 0) 的

7、焦点.过点 F 的直线l 交抛物线C 于 A，B 两点，交准线于点 M . 若 BM + BA = 0 ，= 9 ，则 p 为ABA 2 B 3 C 4 D 510答案: C解析:过 A, B 做准线的垂线，垂足为 A1, B1, x 轴与准线交点为 F1 ，BB1AA1MBMA= = 1 ,2设 BF = t ，则 BB1 = t, AA1 = AF= 2t ，FF1AA1MFMA= = 4t =6tp，因为2t= AF+BF= 3t = 9,得t = 3 ， p = 4 .AB11已知点 A（0,1），B（x , 2），C（x , -2）在函数 f (x) = 2sin(x + )( 0

8、，0 f (2019) s :方程 f (x) = 2lg x 有 3 个实数根其中真命题的个数是A4 B3 C2 D1 11答案：C解析： f (0) = 1sin = 1 = 2 6 T = 3 T = 6 = ， f (x) =2sin( x + )BC 2 - 422 3 3 6T = 6 ，所以 p 为假命题对称轴为 x = 3k +1(k Z) ，所以q 为真命题f (2020) = f (4) = -2, f (2019) = f (3) = -1，所以r 为假命题方程 f (x) = 2lg x 有3 个根，所以 s 为真命题选 C12已知三棱柱 ABC - A1B1C1 各棱

9、长均为 2， AA1 平面 ABC ，有一个过点 B 且平行于平面 AB1C 的平面 ， 则该三棱柱在平面 内的正投影面积是A 11 77B 10 77C 9 77D 8 7712答案：A解析：投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以我们就以平面 AB1C 为投影面，然后构造四棱柱，得到投影为1五边形 B MACN ，通过计算可得正投影的面积为11 7 .7二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知an 是首项为1的等比数列，若4an , 2an+1, an+2 成等差数列，则 an = .n13答案： a = 2n-1解析： 4an+1=4an +an+2, 4q

10、 = 4 + q2 ,q = 2,a= 2n-1n14执行如图所示的程序框图，若输出的 y 值为1，则可输入的所有 x 值组成的集合为 .14答案： -2, 1 ,10 10 解析：（1）当 x 0 时， lg x = 1得 x = 10, x = 11 2 10（2）当 x 0) BA = (1, 0, 0), BP = (-1, -1, h), DP = (-2, 0, h), BD = (1, -1, 0)BD 平面 PBC平面 PBC 的法向量可取 BD = (1, -1, 0) 7 分设平面 ABP 法向量为a = (x, y, z)a BA = 0,由a BP = 0,x = 0得

11、-x - y + hz = 0可取a = (0, h,1) 8 分 cos= - 10a,BD = -h2 1+ h25h=29 分 DP = (-2, 0, 2) ， a = (0, 2,1) 10 分cos= 10DP,a = 28 51010PD 与平面 PAB 所成角的正弦值为1019（12 分）12 分.中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期 30 个周降雨量t （单位： mm ）的数据，得到如下茎叶图（表

12、中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.周降雨量t（单位： mm ） 10(10,50(50,100 100猕猴桃灾害等级轻灾正常轻灾重灾根据上述信息，解答如下问题.（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率.估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；若无灾害影响，每亩果树获利 6000 元；若受轻灾害影响，则每亩损失 5400 元；若受重灾害影响则每亩损失 10800 元为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案； 方案 1：防控到轻灾害，每亩防控费用 400 元.方案 2：防控

13、到重灾害，每亩防控费用 1080 元. 方案 3：不采取防控措施.问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.19解：（1）根据茎叶图，可得中位数为 12.5，众数为 10 .4 分（2） 根据图中的数据，可得该地区周降雨量t （单位： mm ）的概率：P(t 10) = 15 = 1 ， P(10 t 50) = 11 ， P(50 t 100) = 3 = 1 ， P(t 100) = 1 ，30 2 30 30 10 30P(轻灾)=P(t 10) + P(50 100) = 15 301因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为 和303 11，无灾害概率为5 306 分 方案 1

14、：设每亩的获利为 X1 （元），则 X1 的可能取值为 6000，-10800，则 X1 的分布列如下：X16000-10800P( X1 )293013029则 E( X ) = 6000 -10800 1= 5440 (元)，则每亩净利润为5440 - 400=5040 （元）；1 30 30方案 2：设每亩的获利为 X 2（元），则 X 2 的可能取值为 6000 元，于是 P( X2 =6000) = 1，E( X2 ) = 6000 ， 净利润为6000 -1080 = 4920 （元）；方案 3：设每亩的获利为 X 3 （元），则 X 3 的可能取值为 6000，-5400，-10

15、800， 则 X 3 的分布列如下：X16000-5400-10800P( X1 )11303513011 3 1则 E( X3 ) = 6000 30 - 5400 5 -10800 30 = -1400 (元)，于是每亩亏损为1400 （元）； 由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.12 分20（12 分）x2 y2 1已知椭圆C : a2 + b2 = 1(a b 0) 过点 M (2 3, 3) 且离心率为 2 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上存在三个不同的点 A，B，P ,满足OA+ OB = OP ,求弦长 AB 的取值范围.20解：（1）由题意知 ca

16、1 2 3 2( 3)2(=)， +2 a2 b2= 1，又因为c2 + b2 = a2 ，解得a2 = 16,b2 = 12 .2则椭圆标准方程为 x16+y212= 1. 4 分（2）因为OA+ OB = OP ，则由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形. 设直线l 过 A、B 两点，若直线l 垂直于 x 轴，易得： P(4,0), A(2,3), B(2,-3)或者 P(- 4,0), A(- 2,3), B(- 2,-3)，此时 AB= 6 . 5 分若直线l 不垂直于 x 轴，设l : y = kx + m(m 0)， A(x1, y1), B(x2 , y2 ), P(x0

17、 , y0 )，将直线 y = kx + m 代入C 的方程得(3 + 4k 2 )x2 + 8kmx+ 4m2 - 48 = 0故 x + x = - 8km ，x x =1 2 3 + 4k 2 1 24m2 - 483 + 4k 2， 7 分因为OP = OA+ OB ，所以 x0 = x1 + x2 , y0 = y1 + y2 ，则 x = -8km， y = y + y= k(x+ x )+ 2m =6m ，即 P -8km ,6m .0 3 + 4k 2 0 1 2 8km 21 2 6m 23 + 4k 2 3 + 4k 2 3 + 4k 2 因为 P 在椭圆上，有 - 3 +

18、 4k 2 3 + 4k 2 ，化简得m2 = 3 + 4k 2 . 9 分 + 16 = 112验证， = 64k 2m2 -16(3 + 4k 2 )(m2 -12) = 144m2 0 .所 以 x + x = - 8km =12 1+ k 2m1 2 3 + 4k 2- 8k m，x1x2 =4m2 - 48 =1+ k 23 + 4k 23 + 4k 24m2 - 481 + 14 4 3 + 4k 2()m21+ k 2所 以 AB =x1 - x2 = 12= 12.10 分23 + 4k因为3 + 4k 2 3，则0 1 1 ，即 1 1 + ( 12 ) 1 ，得6 AB 4

19、 .33444 3 + 4k3综上可得，弦长 AB 的取值范围为6,4 3 12 分21（12 分）已知函数 f (x) = ln x + a ex（1）当a = 1时，判断 f (x) 的单调性；（2）求证： exa+1 + e 1 f (x) ln(x +1) 0, f (x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x (1, +) 时， g(x) 0, f (x) 0 ， f (x) 单调递减.故 f (x) 递增区间为(0,1) ； f (x) 递减区间为(1, +)1 - ln x - a（2） f (x) = x ， ex f (x) = 1 - ln x - a4 分只需证( 1ex-ln x - a) ln(x +1) xea+1 +1x ea+1即 (1- x ln x -