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数学理答案

邯郸市2020年空中课堂高三备考检测

理科数学参考答案

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设复数z=

i

3-4i

，则在复平面内z对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

1．答案：

B

解析：

z=i=i（3+4i）=-4+3i，所以z在复平面内对应的点位于第二象限．

3-4i2525

N=

[5，+∞）

2．已知集合M={xx2-6x+5≥0}，N={yy=x2+1}，则M

A．[5，+∞）

B．{1}

C．[1，5]

D．R

2．答案：

B

解析：

M={xx≤1或x≥5}，N={yy≥1}

3．（1-2x）6的展开式第三项为

A．60B．-120

C．60x2

D．-120x3

3．答案：

C

解析：

T=C2（-2x）2=60x2

36

ex+1

4．函数f（x）=⋅cosx的部分图象大致为

ex-1

A.B.C.D.

4．答案:

A

e-x+1

ex+1

f（x）

解析:

因为f（-x）=e-x-1⋅cos（-x）=-ex-1⋅cosx=-f（x），所以排除C，当x→0+时，f（x）>0，排除B、D，故选A.

为奇函数，

⎧x+y≥1,

⎨

5．设变量x，y满足约束条件⎪2x-y≤2,

⎩

⎪x-y+1≥0,

A．2B．45

5

则z=（x-3）2+y2的最小值为

C．4D．16

5

5．答案：

D

解析：

画出可行域，可发现z=（x-3）2+y2的最小值是（3,0）到2x-y-2=0距离的平方.

6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为

A．120B．145C．270D．285

6．答案：

B

解析：

记第n个五角形数为an，由题意知：

a1=1,a2-a1=4,a3-a2=7,a4-a3=10⋅⋅⋅

易知a-a

=3（n-1）+1，由累加法得a=（3n-1）n，所以a=145.

nn-1

n210

7．若双曲线x2-y2=1（a>0,b>0）的一条渐近线与函数f（x）=ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为

a2b2

2

3

A．B．

7．答案：

A

C．2D．

5

解析：

因为双曲线的渐近线过原点，且方程为y=±bx

a

函数f（x）=ln（x+1）图象也过原点，结合图形可知切点就是（0,0）

2

k=f'（0）=1=b，∴e=

a

8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于点（3,0）对称，当x∈（0,3）时

x∈[2018,2019]时，f（x）的最小值为

f（x）=ex，则当

A．0B．eC．e2D．e3

8．答案：

A

解析：

f（x）关于（3,0）对称

∴f（x）+f（6-x）=0

∴f（x）=-f（6-x）=f（x-6）∴f（x）的周期为6

∴x∈[2018,2019]时f（x）最小值即为x∈[2,3]时f（x）最小值

min

x∈[2,3），f（x）=f

（2）=e2

f（3）=f（-3）=-f（3）∴f（3）=0

∴x∈[2,3]，f（x）min=0，选A9．设m，n为正数，且m+n=2，则

1

m+1

+n+3的最小值为

n+2

A．3B．5C．7D．9

2345

9．答案：

D

解析:

当m+n=2时，

1+n+3=

1+1

+1=

m+n+3

+1=

5+1

m+1

n+2

m+1

n+2

（m+1）（⋅

n+2）

（m+1）（⋅

n+2）,

⎭

⎛m+1+n+2⎫225

因为（m+1）（⋅

n+2）≤ç

⎝

2⎪=4，

当且仅当m+1=n+2，即m=3，n=1时取等号，则1

+n+3≥9．

22m+1n+25

10．已知F为抛物线C:

y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交准线于点M.

若BM+BA=0，

=9，则p为

AB

A．2B．3C．4D．5

10．答案:

C

解析:

过A,B做准线的垂线，垂足为A1,B1,x轴与准线交点为F1，

BB1

AA1

MB

MA

==1,

2

设BF=t，则BB1=t,AA1=AF

=2t，

FF1

AA1

MF

MA

==4t=

6t

p

，因为

2t

=AF

+

BF

=3t=9,得t=3，p=4.

AB

11．已知点A（0,1），B（x,2），C（x,-2）在函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω>0，0<ϕ<π）的图象上，且

122

min

BC=5．给出关于f（x）的如下命题

p:

f（x）的最小正周期为10q:

f（x）的对称轴为x=3k+1（k∈Z）

r:

f（2020）>f（2019）s:

方程f（x）=2lgx有3个实数根

其中真命题的个数是

A．4B．3C．2D．111．答案：

C

解析：

f（0）=1∴sinϕ=1∴ϕ=π

26

T=

=3∴T=6∴ω=π，

∴f（x）=

2sin（

πx+π）

BC2-42

2336

∴T=6，所以p为假命题

对称轴为x=3k+1（k∈Z），所以q为真命题

f（2020）=f（4）=-2,f（2019）=f（3）=-1，所以r为假命题方程f（x）=2lgx有3个根，所以s为真命题

选C

12．已知三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，有一个过点B且平行于平面AB1C的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是

A．117

7

B．107

7

C．97

7

D．87

7

12．答案：

A

解析：

投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以我们就以平面AB1C为投影面，然后构造四棱柱，得到投影为

1

五边形BMACN，通过计算可得正投影的面积为117.

7

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知{an}是首项为1的等比数列，若4an,2an+1,an+2成等差数列，则an=.

n

13．答案：

a=2n-1

解析：

4an+1

=4an+an+2

4q=4+q2,∴q=2,∴a

=2n-1

n

14．执行如图所示的程序框图，若输出的y值为1，则可输入的所有x值组成的集合为.

14．答案：

⎧-2,1,10⎫

⎨10⎬

⎩⎭

解析：

（1）当x>0时，lgx=1得x=10,x=1

1210

（2）当x<0时（x+1）2=1得x=-2，所以答案为⎧-2,1,10⎫

3⎨10⎬

⎩⎭

15．若A,B,C三点满足AB=6，且对任意λ∈R都有AC-λAB≥2，则CA⋅CB的最小值为.

15．答案：

-5

解析：

因为对任意λ∈R都有AC-λAB≥2，故点C到AB所在直线的距离为2

设AB中点为M，则

CA⋅CB=1⎡（CA+CB）2-（CA-CB）2⎤=1⎡（2CM）2-AB2⎤≥1（16-36）=-5

4⎢⎣

当且仅当CM⊥AB时等号成立

⎦⎥4⎢⎣

⎦⎥4

16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r，其中

r≥3），约定：

每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余r-1个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r-1个外卖店取单．设事件Ak={第k次取单恰好是从1号店取单}，P（Ak）是事件Ak发生的概率，显然P（A1）=1，

P（A2）=0，则P（A3）=，P（Ak+1）与P（Ak）的关系式为．（k∈N*）

16．答案：

1

r-1

；P（Ak+1

）=[1-P（Ak）]

1

r-1

解析：

A2={第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2

次不可能从1号店取单，所以

P（A2）=0，A3={第3次取单恰好是从1号店取单}，因此

P（A）=P（AA）=P（A）P（A|A）=[1-P（A）]1=1

323

232

2r-1

r-1

P（A

）=P（AA

）=P（A）P（AA）=[1-P（A）]P（AA）=[1-P（A）]1

k+1

kk+1

kk+1

kkk+1kk

r-1

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，b=1，ccosB=

2sinA-cosC.

（1）求B；

（2）若B，A，C成等差数列，求∆ABC的面积.

17．解：

（1）ccosB=2sinA-cosC

∴a2+c2-b2

a2+b2-c2

c⋅

2ac

=2sinA-

2ab

2分

又b=1

∴a2+c2-1=

2a

2sinA

-a2+1-c2

2a

∴a=

2sinA

∴sinB=b⋅sinA=

a

又B∈（0，π）

2LLLLLLLLLLLL4分

2

∴B=π或B=3π6分

44

（2）B,A,C等差数列

∴A=π,由

（1）知B=π8分

∴a=

3

2sinA=

4

6LLLLLLLLLLLL10分

2

∴S=1absinC=1absin（B+A）=3+312分

∆ABC228

18．（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB=AD=1，AB//CD,AB⊥AD，点E为PC的中点.平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形.

（1）求证：

平面PBD⊥平面PBC；

（2）若二面角A-PB-C的余弦值为-

10

，求PD与平面PAB所成角的正弦值.

5

18．解：

（1）证明：

四边形ABEF为平行四边形.

∴AB//EF，又

AB//CD

∴EF//CD，又点E为PC的中点

∴CD=2EF=2AB=2·············1分

2

∴在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2可得连接BD，易得BD=BC=

BD2+BC2=DC2

∴BD⊥BC…………………………………………………………3分又PC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD

BD⊥平面PBC…………………………………………………………4分

BD⊂平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PBC………………………………………………5分

（2）

由

（1）知CD=2，

∴在直角梯形中可得∠DCB=450

又PC⊥底面ABCD

∴以C为原点，CD为x轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示……………6分则A（2,1,0）,B（1,1,0）,D（2,0,0）设P（0,0,h）（h>0）

∴BA=（1,0,0）,BP=（-1,-1,h）,DP=（-2,0,h）,BD=（1,-1,0）

BD⊥平面PBC

∴平面PBC的法向量可取BD=（1,-1,0）……………………………………7分设平面ABP法向量为a=（x,y,z）

⎧⎪a⋅BA=0,

由⎨

⎪⎩a⋅BP=0,

⎧x=0

⎩

得⎨-x-y+hz=0

∴可取a=（0,h,1）…………………………………………………………8分

∴cos

=-10

a,BD=-h

21+h2

5

∴h=2…………………………………………………………………………9分

∴DP=（-2,0,2），a=（0,2,1）……………………………………10分

cos

=10

DP,a=2

8⨯5

10

10

∴PD与平面PAB所成角的正弦值为

10

19．（12分）

…………………………………12分

.

中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量t（单位：

mm）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.

另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示.

周降雨量t

（单位：

mm）

≤10

（10,50]

（50,100]

>100

猕猴桃

灾害等级

轻灾

正常

轻灾

重灾

根据上述信息，解答如下问题.

（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；

（2）以收集数据的频率作为概率.

①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；

②若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩

损失10800元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：

防控到轻灾害，每亩防控费用400元.

方案2：

防控到重灾害，每亩防控费用1080元.方案3：

不采取防控措施.

问：

如从获利角度考虑，哪种方案比较好？

说明理由.

19．解：

（1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10.….….…4分

（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量t（单位：

mm）的概率：

P（t≤10）=15=1，P（10

30230301030

P（轻灾）=P（t≤10）+P（50100）=1

530

1

因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和

30

311

，无灾害概率为

530

……6分

②方案1：

设每亩的获利为X1（元），则X1的可能取值为6000，-10800，则X1的分布列如下：

X1

6000

-10800

P（X1）

29

30

1

30

29

则E（X）=6000⨯-10800⨯1

=5440（元），则每亩净利润为5440-400=5040（元）；

13030

方案2：

设每亩的获利为X2（元），则X2的可能取值为6000元，于是P（X2=6000）=1，E（X2）=6000，净利润为6000-1080=4920（元）；

方案3：

设每亩的获利为X3（元），则X3的可能取值为6000，-5400，-10800，则X3的分布列如下：

X1

6000

-5400

-10800

P（X1）

11

30

3

5

1

30

1131

则E（X3）=6000⨯30-5400⨯5-10800⨯30=-1400（元），于是每亩亏损为1400（元）；由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.……12分

20．（12分）

x2y21

已知椭圆C:

a2+b2=1（a>b>0）过点M（23,3）且离心率为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C上存在三个不同的点A，B，P,满足OA+OB=OP,求弦长AB的取值范围.

20．解：

（1）由题意知c

a

1232

（3）2

（

=

）

，+

2a2b2

=1，又因为c2+b2=a2，解得a2=16,b2=12.

2

则椭圆标准方程为x

16

+

y2

12

=1.………………………………………4分

（2）因为OA+OB=OP，则由向量加法的意义知四边形OAPB为平行四边形.设直线l过A、B两点，

①若直线l垂直于x轴，易得：

P（4,0）,A（2,3）,B（2,-3）或者P（-4,0）,A（-2,3）,B（-2,-3），

此时AB

=6.…………………………………………………………………5分

②若直线l不垂直于x轴，设l:

y=kx+m（m≠0），A（x1,y1）,B（x2,y2）,P（x0,y0），将直线y=kx+m代入C的方程得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-48=0

故x+x=-8km，xx=

123+4k212

4m2-48

3+4k2

，……………………………………………………7分

因为OP=OA+OB，所以x0=x1+x2,y0=y1+y2，

则x=-

8km

，y=y+y

=k（x

+x）+2m=

6m，即P⎛-

8km,

6m⎫

⎭

.

03+4k2012

⎝

⎛8km⎫2

12

⎛6m⎫2

3+4k2ç3+4k23+4k2⎪

因为P在椭圆上，有ç-3+4k2⎪

ç3+4k2⎪

，化简得m2=3+4k2.…………………9分

⎝⎭+⎝

16

⎭=1

12

验证，∆=64k2m2-16（3+4k2）（m2-12）=144m2>0.

所以x+x=-8km=

121+k2

m

123+4k2

-8km

，x1x2=

4m2-48=

1+k2

3+4k2

3+4k2

4m2-48

1+1

443+4k2

（

）

m2

1+k2

所以AB=

x1-x2=

=12

=12

.………………………10分

2

3+4k

因为3+4k2≥3，则0<1

≤1，即1<1+（1

2）≤1，得6

3

3

4

4

43+4k

3

综上可得，弦长AB的取值范围为[6,43]．………………………………………12分

21．（12分）

已知函数f（x）=lnx+a．

ex

（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；

（2）求证：

ex

a+1+

'e1

⋅f（x）⋅ln（x+1）<．

ea+1

21．解：

（1）当a=1时，f（x）=lnx+1，f'（x）=

ex

1-lnx-1

x

ex

令g（x）=1-lnx-1，则g（x）在（0,+∞）上为减函数，且g

（1）=0

x

所以，当x∈（0,1）时，g（x）>0,f'（x）>0，f（x）单调递增；

当x∈（1,+∞）时，g（x）<0,f'（x）<0，f（x）单调递减.

故f（x）递增区间为（0,1）；f（x）递减区间为（1,+∞）

1-lnx-a

（2）f'（x）=x，exf'（x）=1-lnx-a

…………4分

只需证（1

ex

-lnx-a）ln（x+1）<

x

ea+1+1

xea+1

即（1-xlnx-