行列式典型例题资料讲解.docx

1、行列式典型例题资料讲解行列式典型例题第二讲 行列式综合训练第一部分例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是 a,未写出的元素都是零.a 1Dn = O1 a解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质.方法1利用性质,将行列式化为上二角行列式.1 n 1 n)a =a - a a方法2仍然是利用性质, 将行列式化为上二角行列式.rn1Dn =c1 cnn n 2 =a - a方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式.Dn(1)n1Dn=a00L1an 1a0O+( 1)OOan 111 ia05展开aL1最后列展开n 11)2n1an 1 - an 2 _ n n 2=a -

2、 a方法4利用公式将最后一行逐行换到第2行，共换了 n 2次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了 n 2次.Dn = ( 1)2(n 2)n n =a - a方法5利用公式例2.2 计算n阶行列式:Dna2a2 b2Maia2ananMan bn(bQL bn0)解采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素ai, a2 ,L , an ,可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素.1a1a2L升阶0a1 b1a2LDn0a1 a2 b2LMMM0a1a2L1 a1 L01a11b1b1C1 -Cjbj10b1j 2,Ln

3、 100MM00M M0 L bnan1a1a2Lananr2 k1b10L0r3 kanLn 1110b2L0MMMMMan bn100Lbna2 L an这个题的特殊情形是可作为公式记下来.例2.3计算n阶行列式:1 a1111 a2L 1L 1DnMMM11L 1 an其中 aia?L an 0 .解这道题有多种解法.1 a1L1c1 cjb1L1ri ia1a2a. J j0a22,L ,nMOj 2,L ,nMOa1an0aniDn方法1化为上三角行列式方法2升阶（或加边）法111L1111L1升阶01 a-i1L1ri 11a0L0Dn011 a2L1i 2,3,L ,n 110a

4、2L0MMMMMMMM011L1 an100Lan1C1 C j 1aj1 aja1j 1,2,L ,n 1a1a2L ana2anai方法3递推法.Dn改写为Dn拆开由于a11因此 Dn = anDn1 a11a2Ma2ManDn =an Dn 1= a-ia2L= a1a2L1L10a2L10MM1L1an1L11a1a2L111+MM/IM1L111a11 rrna2Mi 1L,n 1111L1111M1LL3卫2 LL0a11按Cn展开a2Man1为递推公式,an Dn 1D1a1于是anan 1aa2L an 1 = aa2L anDnanDn2a1a2 L anan 1a1a2L

5、an 1=L L ananana2an =a1a2L anaia2an.4 设 f(x)1 x 1 2x 11 x 2 3x 21 x 3 4x 3,证明存在 (0,1),使f ( ) 0 .因为f(x)是关于x的二次多项式多项式，在0,1上连续,(0,1)内可导,111101f(0)1220, f(1)1111331210(0,1),使 f ( ) 0.由罗尔定理知，存在例2.5 计算D =a2 a4 a1bb2b4c2 c4 c1dd2d4方法1解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解.b开-5da)(bb/V2bd d/V 2d其中111r3r2 bm111bcd2 10c

6、 bdb3330“ 22、bcdc(cb )d(db )借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作.1 1=(C b)(d b)c(c b) d(d b) =(c b)(d b)d(d b) c(c b)11111 1由于bcd是范德蒙行列式，故bc db22 cd2b2 c2 d2D=(abcd) (b a)(c a)(d a) (cb)(d10 00=(cb)(db)(dc)b)(d c)方法2ri展开(b(b(bc2c3C4qc1a2 a4 abb2b4a2 a4 ac2 c4 ca2 a4 ad d2 d4a2 a4 aa)(ca)(da)(b2b aa2)(ba)(cc

7、 aa2)(ca)(d2d a2a )(d a)a)(ca)(c其中 x (c b)(a2D =(a b=(a ba)(da)(db2 c2c d) (bc d) (aa)a)(b2b aa2)(ba)ac bcab), y(d b)(a2 b2a)(c a)(d a) (c b)(d b)(db)(a c)(a d) (b c)(b d)(c方法3用升阶法由于行列式中各列元素缺乏3次幕的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式:c)Ds =a2 a3 a4 abb2b3b4c2 c3 c4 cdd2d3d4x2 x3x4 xc2 ad bd ab)d)3次幕的元素，在D中添加Ds按第5列展开

8、得到的是x的4次多项式，且x3的系数为4 5A45 ( 1) D D其中 x3的系数为 (b a)(c a)(d a) (c b)(d b) (dDs = (ba)(ca)(da)(xa) (cb)(db)(xb)(dc)(xc)(xd)=(ba)(ca)(da) (cb)(db) (dc) (xa)(xb)(xc)(xd)=(ba)(ca)(da) (cb)(db)(dc) x4(ab c3d)xL 又利用计算范得蒙行列式的公式得c) (a b c d)由x3的系数相等得:解直接求代数余子式的和工作量大可将A42 A43 A44改写为3, 4）是|A|中元素a4j的代数余子式.6 0 26

9、0 24 1=1)0 2 3=10 2 3A0 1 20 0 261 A41 1 几2 1 几3 1 Au，故例2.7 求解方程:11 1 L 11 1 x 1 L 1f (x) 1 1 2 x LMM M(n 1) x1 1 1 L解方法1111L1ri r1f(x)0X0L0001 XL0=(1)n 1x(x 1) (x n 2)i 2,L ,nMMMM000L(n2) x由题设知f(x)(1)n1x(x1)(xn 2)0所以 X1 0,X2 1,Xn 1n 2是原方程的解.方法2由题设知,当x 0,1,2, ,n 2时，由于行列式中有两列对应元素相 同,行列式值为零,因此f(x)可写成f

10、(x) Ax(x 1) (x n 2)于是原方程f(x) Ax(x 1) (x n 2) 0的解为：xi 0,X2 1, ,Xn! n 2例2.8计算元素为aij = | i - j|的n阶行列式.解方法1由题设知，a11 =0 , a12 1 , L , a1nn1丄,故01Ln 101Ln110Ln 2rir 111L1DnMOi n,n1,L ,2MOn1 n 2L011L1n 1 nLLn 10 2LL1Cj cn1?n2(nj 1,L ,n 1M OOL(1)n1)M020 0L01其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行第二步用的每列加第 n列.01Ln 111 L110Ln 2

11、ri ri 111 L1MOi 1,2,L ,n 1MOn 1n 2L0n 1n 2 L0方法2 Dn解方法1按第一列展开:D a2=(a2b2_ d2c2)a1d10b1000b2-d2a1d1C1b1C200=a2b2a1ac1b1-d2c2a1d1C1b1ad1Cb1=(a2b2- d2c2)(a1b1 -d1c1)方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3 行,有:(1)2a1a2tbd1d2(I dQ(a2b2 d2c2)例2.10计算D2n =NNa-i b-iG d1Obn，其中未写出的元素都是0.dnA o解方法1利用公式 =ABO B采用逐行操作，将最后一行逐行

12、和上行进行对换，直到换到第2n 2次相邻对换）；最后一列逐列和上列换,换到第2列（作2n2行（作2次相邻对换），得到anCn0bndn0an 100bniD2n=( 1严 n2)=D2 D2(n 1) = (andn bnCn)=L =(andn bnCn ) (an idn iaiCididn 11) =(andnbnCn) (an1d n 1 bn 1Cn 1 )D2(n 2)bmCnJL (ad 06)=n(aidi bcji 1方法2利用行列式展开定理进行求解.an 1bn 1片展开2n =anaiCib1diCn 10dnan 1bn 1上面第1个行列式是i)12nCn的形式，而第a

13、iCib1di2个行列式按第1列展开,所以2n = andnD2n 22n 1 105( 1) D2n 2n= (andn 65)D2(n 1) =L = di bjG)i 11 aa00011 aa00例2.11计算D5011 aa00011 aa00011 a解方法1采用递推的方法进行求解.1aC1 C2 L C501 aD50100a00 0 0a 0 01 a a 01 1 a a0 1 1 a1 aa00a000C1展开11 aa05 11 aa00+( a)( 1)011 aa11 aa00011 a011 aaD5D4(a)(5 1 41) a ,D4D3 ( a)( 1)41a

14、3D3D2(a)(31 21) a ,D21 a a2D512345aaaaa方法2采用降阶的方法进行求解.0A 21 a a11 a片(1 a)r2D501000000 1211 aH (1 a a )ra010000a2 a00a001aa011aa011 a2323 caaaaaa 0a001aa011 a a011 a00001 a2 a3 4a an (1 a a2 a3 a4)11 aa00011 aa00011aa00011a5 a例2.12证明方法2第2列的x倍，第3列的X2倍,，第n列的xn 1倍分别加到第1x 1由于D1 = x + a1， D2 ，于是a2 x ain 1

15、 n 2 . . .=L = x D1 + a2x + + an 1x +列上010Kq XC22 XX1KDn00XKMMMan xan 1an 1an 2K000Mx ai0Ci X2C3M M2an Xan 1 X an 2 an 1M Man 2 an 3 K00Mx a10=L L =1x 1O OO1)n 11X 1XO OX=f010KC1 XC2 X2C3 K Xn 1Cn0X1K或DnMMM000Kfan 1an 2K其中 f an an 1X L a1Xn 1 xn0 00 0M Mx 1 a2 x a1按C1展开(1)n 11XO OXn 1 n 1=(1) f ( 1)

16、 =fn 1 n其中 f an an 1X L a1X x方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.C2_qC3X1-CX2LxX00M0 K0 Kx KM000Man 1Onan 2an 1an2xn1kn1(anan 1+-+n 2X+ +a +x)x=aan iX Ln 1 na-|X x方法4按咕展开Dn (1n 1 X1)n 1anM0 K1 KM0 K0 00 0+M MX 1X0K00X1K0001K00, .、2n 10XK00+ ( 1) a2MMMMMMMM00KX100K01X1K000XK00X)MMM100L0X0n 2(1) an 1+ ( 1)2n(a12n(-1

17、)n 2an 1X=(-1) n1 (- 1) n1an+ (- 1)+ + (- 1)2n 1(-1)a2xn 2 +(-1)2 n n(a1 +x) xan an 1Xn 1 na1X x例2.13计算n阶“三对角”行列式1D n = 0M0解方法1递推法.按C展开Dn()D n 1 按片展开()D n 1 0K00K001+K00MMMM00K100K001K00MMMMM000K1(n 1)D n 2即有递推关系式Dn = ( )Dn 1 - Dn 2 (n 3)Dn Dn 1 (Dn 1 Dn 2)递推得到DnDn 1Dn2)2(Dn 2 Dn 3)2(D2 D1)而Di (D2 DnDnDna+Dn代入上式得(2.1)由递推公式得DnDn 1a2 Dn1 +n 1 n 1卩 _a 当B a 当n 1 , 当 (n 1) aa方法2把0K000K001K001K00+01K0001+K00MMMMMMMMMM000K000K1000K1D n按第1列拆成2个n阶行列式Dn上式右端第一个行列式等于a0K0000K001K0010K0001K00ci aq 101K00MM