行列式典型例题资料讲解.docx
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行列式典型例题资料讲解
行列式典型例题
第二讲行列式综合训练
第一部分
例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是零.
a1
Dn=O
1a
解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质.
方法1利用性质,
将行列式化为上二角行列式.
1n1n
）a=a-aa
方法2仍然是利用性质,将行列式化为上二角行列式.
rn「1
Dn=
c1cn
nn2=a-a
方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式.
Dn
（1）n1
Dn=a
0
0
L
1
a
n1
a
0
O
+
（1）
O
O
a
n1
11i
a
0
5展开
a
L
1
最后列展开
n1
1）2n1
an1-a
n2_nn2
=a-a
方法4利用公式
将最后一行逐行换到第
2行，共换了n2次；将最后一列逐列换到第2
列，也共换了n2次.
Dn=
（1）2（n2）
nn=a-a
方法5利用公式
例2.2计算n阶行列式:
Dn
a2
a2b2
M
ai
a2
an
an
M
anbn
（bQLbn
0）
解采用升阶（或加边）
法.该行列式的各行含有共同的元素
ai,a2,L,an,
可在保持
原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素,
使得下一步化简后出现大量的零元素.
1
a1
a2
L
升阶
0
a1b1
a2
L
Dn
0
a1a
2b2
L
M
M
M
0
a1
a2
L
1a1L
01
a1
1
b1
b1
C1—
-Cj
bj
1
0
b1
j2,L
n1
0
0
M
M
0
0
MM
0Lbn
an
1
a1
a2
L
an
an
r2k
1
b1
0
L
0
r3k
an
L「n1「1
1
0
b2
L
0
M
M
M
M
M
anbn
1
0
0
L
bn
a2Lan
这个题的特殊情形是
可作为公式记下来.
例2.3计算n阶行列式:
1a1
1
1
1a2
L1
L1
Dn
M
M
M
1
1
L1an
其中aia?
Lan0.
解这道题有多种解法.
1a
1
L
1
c1——cj
b
1
L
1
rii
a1
a2
a.Jj
0
a2
2,L,n
M
O
j2,L,n
M
O
a1
an
0
an
i
Dn
方法1化为上三角行列式
方法2升阶（或加边）法
1
1
1
L
1
1
1
1
L
1
升阶
0
1a-i
1
L
1
ri1
1
a
0
L
0
Dn
0
1
1a2
L
1
i2,3,L,n1
1
0
a2
L
0
M
M
M
M
M
M
M
M
0
1
1
L
1an
1
0
0
L
an
1
C1—Cj1
aj
1aj
a1
j1,2,L,n1
a1a2Lan
a2
an
ai
方法3递推法.
Dn改写为
Dn
拆开
由于
a1
1
因此Dn=anDn
1a1
1
a2
M
a2
M
an
Dn=anDn1
=a-ia2L
=a1a2L
1
L
1
0
a2
L
1
0
M
M
1
L
1
an
1
L
1
1
a1
a2
L
1
1
1
+
M
M
/I
M
1
L
1
1
1
a1
1r
rn
a2
Mi1L
n1
1
1
1
L
1
1
1
1
M
1
L
L
3卫2L
L
0
a1
1
按Cn展开
a2
M
an
1为递推公式,
anDn1
D1
a1
于是
an
an1
a〔a2Lan1=a〔a2Lan
Dn
an
Dn2
a1a2Lan
an1
a1a2Lan1
—=LLan
an
an
a2
an=a1a2Lan
ai
a2
an
.4设f（x）
1x12x1
1x23x2
1x34x3
证明存在（0,1）,使f（）0.
因为f（x）是关于x的二次多项式多项式，在0,1上连续,（0,1）内可导,
1
1
1
1
0
1
f（0）
1
2
2
0,f
（1）
1
1
1
1
3
3
1
2
1
0
（0,1）,使f（）0.
由罗尔定理知，存在
例2.5计算D=
a
2a
4a
1
b
b2
b4
c
2c
4c
1
d
d2
d4
方法1
解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解.
b
开--
--
5
d
a）（
bb
/V
2
b
dd
/V2
d
其中
1
1
1
r3
r2bm
1
1
1
b
c
d
21
0
cb
d
b
・3
3
・3
0
“2
・2、
b
c
d
c（c
b）
d（d
b）
借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：
从下向上，逐行操作.
11
=（Cb）（db）c（cb）d（db）=（cb）（db）[d（db）c（cb）]
1
1
1
1
11
由于
b
c
d
是范德蒙行列式，故
b
cd
b2
2c
d2
b2c2d2
D
=（a
b
c
d）（ba）（ca）（da）（c
b）（d
1
00
0
=（c
b）（d
b）（d
c）
b）（dc）
方法2
ri展开
（b
（b
（b
c2
c3
C4
q
c1
a
2a
4a
b
b2
b4
a
2a
4a
c
2c
4c
a
2a
4a
dd2d4
a
2a
4a
a）（c
a）（d
a）
（b2
ba
a2）（b
a）
（c
ca
a2）（c
a）
（d2
da
2
a）（da）
a）（c
a）（c
其中x（cb）（a2
D=（ab
=（ab
a）（d
a）（d
b2c2
cd）（b
cd）（a
a）
a）
（b2
ba
a2）（b
a）
acbc
ab）,y
（db）（a2b2
a）（ca）（da）（cb）（db）（d
b）（ac）（ad）（bc）（bd）（c
方法3用升阶法•由于行列式中各列元素缺乏
3次幕的一
行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式:
c）
Ds=
a
2a
3a
4a
b
b2
b3
b4
c
2c
3c
4c
d
d2
d3
d4
x
2x
3
x
4x
c2adbdab）
d）
3次幕的元素，在D中添加
Ds按第5列展开得到的是
x的4次多项式，且
x3的系数为
45
A45
（1）DD
其中x3的系数为（ba）（ca）（da）（cb）（db）（d
Ds=（b
a）（c
a）（d
a）（x
a）（c
b）（d
b）（x
b）
（d
c）（x
c）（x
d）
=（b
a）（c
a）（d
a）（c
b）（d
b）（d
c）[（x
a
）（x
b）（x
c）（x
d）]
=（b
a）（c
a）（d
a）（c
b）（d
b）（d
c）[x
4
（a
bc
3
d）x
L]
又利用计算范得蒙行列式的公式得
c）（abcd）
由x3的系数相等得:
解直接求代数余子式的和工作量大•可将
A42A43A44改写为
3,4）是|A|中元素a4j的代数余子式.
602
602
41
=1）
023
=1
023
A
012
00—
2
6
1A411几21几31Au，故
例2.7求解方程:
111L1
11x1L1
f（x）112xL
MMM
（n1）x
111L
解方法1
1
1
1
L
1
rir1
f（x）
0
X
0
L
0
0
0
1X
L
0
=
（1）n1x（x1）（xn2）
i2,L,n
M
M
M
M
0
0
0
L
（n
2）x
由题设知
f（x）
（
1）n
1x（x
1）
（x
n2）
0
所以X10,X21,
Xn1
n2是原方程的解.
方法2由题设知,当x0,1,2,,n2时，由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此f（x）可写成
f（x）Ax（x1）（xn2）
于是原方程f（x）Ax（x1）（xn2）0的解为：
xi0,X21,,Xn!
n2
例2.8计算元素为aij=|i-j|的n阶行列式.
解方法1
由题设知，
a11=0,a121,L,a1n
n
1丄
故
0
1
L
n1
0
1
L
n
1
1
0
L
n2
ri
r1
1
1
L
1
Dn
M
O
in,n
1,L,2
M
O
n
1n2
L
0
1
1
L
1
n1n
L
L
n1
02
L
L
1
Cjc
n
1?
n
2（n
j1,L,n1
MO
O
L
（
1）n
1）
M
0
2
00
L
0
1
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行•第二步用的每列加第n
列.
0
1
L
n1
1
1L
1
1
0
L
n2
riri1
1
1L
1
M
O
i1,2,L,n1
M
O
n1
n2
L
0
n1
n2L
0
方法2Dn
解方法1按第一列展开:
Da2
=（a2b2_d2c2）
a1
d1
0
b1
0
0
0
b2
-d2
a1
d1
C1
b1
C2
0
0
=a2b2
a1
a
c1
b1
-d2c2
a1
d1
C1
b1
a
d1
C
b1
=（a2b2-d2c2）
（a1b1-d1c1）
方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第
2、3行,
有:
（1）2
a1
a2
tb
d1
d2
（IdQ
（a2b2d2c2）
例2.10计算D2n=
N
N
a-ib-i
Gd1
O
bn
，其中未写出的元素都是0.
dn
Ao
解方法1利用公式=AB
OB
采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第
2n2次相邻对换）；
最后一列逐列和上列换,
换到第
2列（作2n
2行（作
2次相邻对
换），得到
an
Cn
0
bn
dn
0
an1
0
0
bni
D2n=（1严n
2）
=D2D2（n1）=（andnbnCn）
=L=（andnbnCn）（anidni
ai
Ci
di
dn1
1）=（andn
bnCn）（an
1dn1bn1Cn1）
D2（n2）
bmCnJL（ad06）=
n
（aidibcj
i1
方法2利用行列式展开定理进行求解.
an1
bn1
片展开
°2n=
an
ai
Ci
b1
di
Cn1
0
dn
an1
bn1
上面第1个行列式是
i）1
2n
Cn
的形式，而第
ai
Ci
b1
di
2个行列式按第1列展开,
所以
°2n=andnD2n2
2n11
05
（1）D2n2
n
=（andn65）D2（n1）=L=©dibjG）
i1
1a
a
0
0
0
1
1a
a
0
0
例2.11计算D5
0
1
1a
a
0
0
0
1
1a
a
0
0
0
1
1a
解方法1采用递推的方法进行求解.
1
a
C1C2LC5
0
1a
D5
0
1
0
0
a
0
000
a00
1aa0
11aa
011a
1a
a
0
0
a
0
0
0
C1展开
1
1a
a
0
51
1a
a
0
0
+（a）
（1）
0
1
1a
a
1
1a
a
0
0
0
1
1a
0
1
1a
a
D5
D4
（
a）（
514
1）a,
D4
D3（a）
（1）41a3
D3
D2
（
a）（
312
1）a,
D2
1aa2
D5
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
方法2采用降阶的方法进行求解.
0
A2
1aa
1
1a
片（1a）r2
D5
0
1
0
0
0
0
0
01
2
1
1a
H（1aa）ra
0
1
0
0
0
0
a
2a
0
0
a
0
0
1
a
a
0
1
1
a
a
0
1
1a
2
3
2
3c
a
a
a
a
a
a0
a
0
0
1
a
a
0
1
1aa
0
1
1a
0
0
0
0
1a
2a
34
aa
n（1aa2a3a4）^
1
1a
a
0
0
0
1
1a
a
0
0
0
1
1
a
a
0
0
0
1
1
a
5a
例2.12证明
方法2第2列的x倍，第3列的X2倍,
，第n列的xn1倍分别加到第1
x1
由于D1=x+a1，D2，于是
a2xai
n1n2...
=L=xD1+a2x++an1x+
列上
0
1
0
K
qXC2
2X
X
1
K
Dn
0
0
X
K
M
M
M
anxan1
an1
an2
K
0
0
0
M
xai
0
CiX2C3
MM
2
anXan1Xan2an1
MM
an2an3K
0
0
M
xa1
0
=LL=
1
x1
OO
O
1）n1
1
X1
X
OO
X
=f
0
1
0
K
C1XC2X2C3KXn1Cn
0
X
1
K
或Dn
M
M
M
0
0
0
K
f
an1
an2
K
其中fanan1XLa1Xn1xn
00
00
MM
x1a2xa1
按C1展开
（
1）n1
1
X
OO
X
n1n1
=
（1）f
（1）=f
n1n
其中fanan1XLa1Xx
方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式.
C2
_q
C3
X
1
-C
X
2
L
x
X
0
0
M
0K
0K
xK
M
0
0
0
M
an1
On
an2
an1
an
2
xn1
kn
1（
an
an1
+——-+
n2
X
++a〔+x）
x
=a
aniXL
n1n
a-|Xx
方法4
按咕展开
Dn（
1
n1X
1）n1an
M
0K
1K
M
0K
00
00
+
MM
X1
X
0
K
0
0
X
1
K
0
0
0
1
K
0
0
.、2n1
0
X
K
0
0
+
+
（1）a2
M
M
M
M
M
M
M
M
0
0
K
X
1
0
0
K
0
1
X
1
K
0
0
0
X
K
0
0
X）
M
M
M
1
0
0
L
0
X
0
n2
（1）an1
+
（1）2n（a1
2
n
（-1）
n2
an1X
=（-1）n1（-1）n1an+（-1）
++（-1）
2n1
（-1）
a2xn2+
（-1）
2nn
（a1+x）x
anan1X
n1n
a1Xx
例2.13计算n阶“三对角”行列式
1
Dn=0
M
0
解方法1递推法.
按C［展开
Dn
（
）Dn1—
按片展开
（
）Dn1—
0
K
0
0
K
0
0
1
+
K
0
0
M
M
M
M
0
0
K
1
0
0
K
0
0
1
K
0
0
M
M
M
M
M
0
0
0
K
1
（n1）
Dn2
即有递推关系式
Dn=（）Dn1-Dn2（n3）
DnDn1—
（Dn1Dn2）
递推得到
Dn
Dn1
Dn2）
2
—（Dn2Dn3）
2（D2D1）
而Di（
D2—
Dn
Dn
Dn
a+
Dn
代入上式得
（2.1）
由递推公式得
Dn
Dn1
a2D
n1+
n1n1
卩_a当
B—a当
n1,■—当（n1）a
a—
方法2把
0
K
0
0
0
K
0
0
1
K
0
0
1
K
0
0
+
0
1
K
0
0
0
1
+
K
0
0
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
0
0
0
K
0
0
0
K
1
0
0
0
K
1
Dn按第1列拆成2个n阶行列式
Dn
上式右端第一个行列式等于a
0
K
0
0
0
0
K
0
0
1
K
0
0
1
0
K
0
0
0
1
K
0
0
ciaq1
0
1
K
0
0
M
M
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