高考第二轮复习理数专题十三 直线与圆的方程.docx

1、高考第二轮复习理数专题十三 直线与圆的方程2017年高考第二轮复习（理数）专题十三 直线与圆的方程1(2015广东，5，易)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy01A由题意，可设切线方程为2xyb0，则，解得b5，故选A.2(2012浙江，3，易)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2A由l1l2，得，解得a1或a2，代入检验均符合，即“a1”是“l1l2”的充分不必要

2、条件，故选A.3(2013辽宁，9，中)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|03C若OAB为直角三角形，则A90或B90.当A90时，有ba3；当B90时，有1，得ba3.故(ba3)0，选C.4(2013湖南，8，难)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1 C. D.4D以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0

3、，0)，则直线BC方程为xy40，设P(t，0)(0t4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4，4t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(t，0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y(xt)，设ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以，即3t24t0.所以t0或t.因为0t4，所以t，即AP，故选D.5(2013课标，12，难)已知点A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0，1) B.C. D.5B当直线yax

4、b与AB，BC相交时(如图1)，由得yE.又易知xD，|BD|1，由SDBE得b.图1当直线yaxb与AC，BC相交时(如图2)，由SFCG(xGxF)|CM|得b1(0a1)图2对于任意的a0恒成立，b，即b，故选B.6(2014广东，10，易)曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_6【解析】y5e5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率ky|x05，故切线方程为y35(x0)，即5xy30.【答案】5xy30直线及其方程在高考中单独考查的较少，通常与其他知识结合起来进行考查，有两种常见方式：一是与导数结合，求曲线的斜率、倾斜角和切线方程等；二是与圆、圆锥曲线结合，考查直线与圆、圆锥曲线的

5、位置关系等求直线方程的一种重要方法是待定系数法，选择恰当的直线方程的形式对解题很重要 1(2015山东，9)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或B或C或 D或【解析】由题知，反射光线所在直线过点(2，3)，设反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.圆(x3)2(y2)21的圆心为(3，2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，1，化简得12k225k120，解得k或k.【答案】D直线的倾斜角与斜率问题的解决方法(1)掌握斜率与倾斜角的关系，即ktan .(2)已知斜率范围求倾斜角范围时，借助正切函数图象确定即可

6、求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程(2)待定系数法：其具体步骤为：设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组得到待定系数；写出直线方程；验证所得直线方程是否即为所求直线方程，如果有遗漏需要补加 1.(2015河南开封调研，6)设A(1，2)，B(3，1)，若直线ykx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是()A(，2) B.(2，)C. D.1C如图所示，直线ykx过定点O(0，0)，kOA2，kOB.若直线ykx与线段AB没有公共点

7、，则直线OA逆时针旋转(斜率增大)到OB都是满足条件的直线(不包含直线OA与OB)数形结合得k.故选C.2(2016浙江台州质检，4)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2xy20与l2：xy30之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为()A6xy180 B8xy240C5x2y150 D8x3y2402B如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为x3，不合题意设所求的直线l方程为yk(x3)，分别联立直线l与l1，l2的方程得与解得与直线l与l1，l2的交点分别为，.夹在两条直线l1与l2之间的线段恰被点P平分，6，且0，解得k8，所求的直线方程为y8x24，即8xy240.两条不

8、同的直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小 2(1)(2016河南郑州一模，4)命题p：“a2”是命题q：“直线ax3y10与直线6x4y30垂直”成立的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件(2)(2014四川，14)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_【解析】(1)直线ax3y10与直线6x4y30垂直的充要条件是6a34

9、0，即a2.(2)由题意可知，动直线xmy0过定点A(0，0)，动直线mxym30，即m(x1)y30，过定点B(1，3)又因为动直线xmy0和动直线mxym30始终垂直，又P是两条动直线的交点，则有PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210.所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时取“”)【答案】(1)A(2)5 (2016北京顺义区二模，5)设m，nR，若直线l：mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则AOB的面积S的最小值为()A. B2 C3 D4C由坐标原点O到直线l的距离为，可得，化简可得m2n2.令x0，得y，令y0，得x，所以

10、AOB的面积S3，当且仅当|m|n|时，取等号，故选C.两直线的位置关系问题的解题策略(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题：主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断(2)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点(3)求与直线有关的距离：利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式；利用平行线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式.1(2016重庆南开中学模拟，4)若P(2，

11、1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程为()Axy10 B2xy30Cxy30 D2xy501C圆(x1)2y225的圆心为(1，0)，直线AB的斜率等于1，由点斜式得直线AB的方程为y1(x2)，即xy30，故选C.2(2016湖北咸宁二模，6)“a”是“直线(a1)x3ay10与直线(a1)x(a1)y30相互垂直”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2A对于直线(a1)x3ay10与直线(a1)x(a1)y30，当a0时，分别化为x10，xy30，此时两条直线不垂直，不符合题意；当a1时，分别化为3y10，2x30，此时两条直

12、线相互垂直，满足条件；当a1，0时，两条直线的斜率分别为，.由于两条直线垂直，可得1，解得a或1(舍去)综上可得，两条直线相互垂直的充要条件为a或1.“a”是“直线(a1)x3ay10与直线(a1)x(a1)y30相互垂直”的充分而不必要条件3(2015安徽合肥期末，8)设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已知a，b是方程x2xc0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A.， B.，C.， D.，3D由题意，ab1，abc，两条直线之间的距离为d，又0c，故d.4(2016四川成都二模，8)已知直线l的方程是yk(x1)2，若点P(3，0)在直线l上的射影为

13、H，O为坐标原点，则|OH|的最大值是()A5 B32C. D.34C因为直线l的方程是yk(x1)2，所以直线l过定点M(1，2)则点P(3，0)在直线l上的射影H在以PM为直径的圆上|PM|2，线段PM的中点即圆心C(1，1)，则|OC|.因此当O，C，H三点共线时|OH|取得最大值.5(2016辽宁沈阳一模，14)若直线l：1(a0，b0)经过点(1，2)，则直线l在x轴、y轴上的截距之和的最小值是_5【解析】直线l：1(a0，b0)经过点(1，2)，1，ab(ab)332，当且仅当ba时等号成立直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值是32.【答案】326(2015北京东城期末，13)如图

14、所示，已知A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围是_6【解析】如图所示，从特殊位置考虑点A(2，0)关于直线BC：xy2的对称点为A1(2，4)，直线A1F的斜率kA1F4.点E(1，0)关于直线AC：yx2的对称点为E1(2，1)，点E1(2，1)关于直线BC：xy2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，kA1FkFD，即kFD(4，)【答案】(4，)1(2016课标，4，易)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为

15、1，则a()A B C. D21A考向2将圆的方程化为(x1)2(y4)24，所以圆心为(1，4)由题意知，1，解得a.2(2015课标，7，中)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8 C4 D102C考向2kAB，kBC3，kABkBC1.ABBC.ABC为直角三角形且AC为圆的直径，圆心坐标为(1，2)，半径r5，圆的方程为(x1)2(y2)225.令x0，得y24y200，y1y24，y1y220，|MN|y1y2|4.3(2012陕西，4，中)已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3，0)的直线，则()Al与C相交 Bl与C相切C

16、l与C相离 D以上三个选项均有可能3A考向2圆的标准方程为(x2)2y24，显然点P(3，0)在圆内，故直线l与圆C相交4(2013山东，9，中)过点(3，1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy304A考向3方法一：如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)又kABkPC1，且kPC，kAB2.故直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30，故选A.方法二：直线AB是以PC为直径的圆(x2)2与圆(x1)2y21的公共弦所在直线，直线AB的方程为2xy30.方法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

17、直线PA的方程为(x11)(x1)y1y1，直线PB的方程为(x21)(x1)y2y1.又PA，PB都经过P(3，1)，(x11)(31)y111，(x21)(31)y211，由，知(x1)(31)y11经过A(x1，y1)，B(x2，y2)，而过两点的直线唯一，直线AB的方程为2xy30.5(2014江西，9，难)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A. B.C(62) D.5A考向1由题意易知AOB90，点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，当且仅当O

18、，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，圆C的最小半径为，圆C面积的最小值为.6(2014陕西，12，易)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_6考向1【解析】两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，半径相等圆C的圆心为(0，1)，半径为1，故标准方程为x2(y1)21.【答案】x2(y1)217(2014课标，16，中)设点M(x0，1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_7考向3【解析】方法一：如图，当x00时，M(0，1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N(1，0)或N(1，0)，使OMN45.当x00时，过

19、M作圆的两条切线，切点为A，B.若在圆上存在N，使得OMN45，应有OMBOMN45，AMB90，1x00或0x01.综上，1x01.图方法二：如图，过O作OPMN，P为垂足，OPOMsin 451，OM，OM22，x12，x1，1x01.图【答案】1，18(2015湖北，14，难)如图，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2y21相交于M，N两点，下列三个结论：；2；2.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)8考向1，2【解析】(1)设圆心C(a，b)，半径为r.圆C与

20、x轴相切于点T(1，0)，a1，r|b|.又圆C与y轴正半轴交于两点，b0，则br.|AB|2，22，r，故圆C的标准方程为(x1)2(y)22.(2)设N(x，y)，而A(0，1)，B(0，1)，则.又x2y21，(1)2，1，同理，1.，且12，1112，故正确结论的序号是.【答案】(1)(x1)2(y)22(2)9(2013江苏，17，14分，中)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围9考向3解：(1)

21、由题意知，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过A(0，3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意得，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则21CD21，即13.由5a212a80，得aR.由5a212a0，得0a.所以圆心C的横坐标a的取值范围为圆的方程在高考中涉及三个方面的应

22、用，一是利用直接法或待定系数法或动点轨迹确定圆的方程；二是利用圆的方程得到圆心和半径；三是圆的方程与其他知识结合起来进行综合考查，常涉及点到直线的最大或最小距离问题但不管是哪一方面，掌握圆的实质内涵“心定位，径定大”是至关重要的 1(1)(2015课标，14)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_(2)(2015江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_【解析】(1)方法一：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4，0)由圆心在x

23、轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，2)，(4，0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则解得所以圆的标准方程为y2.方法二：由题意设圆的一般方程为x2y2DxF0，由方法一知圆过点(0，2)，(4，0)，则解得故所求圆的一般方程为x2y23x40，即圆的标准方程为y2.(2)由mxy2m10可得m(x2)y1，由mR知该直线过定点(2，1)，从而点(1，0)与直线的距离的最大值为，故所求圆的标准方程为(x1)2y22.【答案】(1)y2(2)(x1)2y22用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若已知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给

24、出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t(xa)2(yb

25、)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题 (2013课标，20，12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故圆心P的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.,直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想，考查直线和圆的几何性质，常涉

26、及切线长和弦长，主要以圆心、半径、勾股定理、点到直线的距离、弦心距公式等为基础，所涉及的题目在高考中属于中等难度圆与圆位置关系的应用主要题型有给出两圆的方程判断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等，以选择题、填空题为主，属中档题 2(1)(2015重庆，8)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B4 C6 D2(2)(2013重庆，7)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.【解析】(1)方法一：由题设，得圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，知圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2a10，解得a1，所以|AB|2|AC|2|BC|2(42)2(11)2436，所以|AB|6.方法二：(优解)由题意知直线xay10过