高考第二轮复习理数专题十三 直线与圆的方程.docx

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高考第二轮复习理数专题十三直线与圆的方程

2017年高考第二轮复习（理数）

专题十三直线与圆的方程

1．（2015·广东，5，易）平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（　　）

A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0

C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0

1．A　由题意，可设切线方程为2x＋y＋b＝0，则＝，解得b＝±5，故选A.

2．（2012·浙江，3，易）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：

ax＋2y－1＝0与直线l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．A　由l1∥l2，得－＝－，解得a＝1或a＝－2，代入检验均符合，即“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选A.

3．（2013·辽宁，9，中）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）．若△OAB为直角三角形，则必有（　　）

A．b＝a3

B．b＝a3＋

C．（b－a3）＝0

D．|b－a3|＋＝0

3．C　若△OAB为直角三角形，则∠A＝90°或∠B＝90°.

当∠A＝90°时，有b＝a3；

当∠B＝90°时，有·＝－1，得b＝a3＋.

故（b－a3）＝0，选C.

4．（2013·湖南，8，难）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）

A．2B．1C.D.

4．D　以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B（4，0），C（0，4），A（0，0），则直线BC方程为x＋y－4＝0，

设P（t，0）（0＜t＜4），由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为（4，4－t），点P关于y轴的对称点P2的坐标为（－t，0），根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝·（x＋t），设△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以＝，即3t2－4t＝0.

所以t＝0或t＝.因为0＜t＜4，所以t＝，即AP＝，故选D.

5．（2013·课标Ⅱ，12，难）已知点A（－1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax＋b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）

A．（0，1）B.

C.D.

5．B　①当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时（如图1），由得yE＝.又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈.

图1

②当直线y＝ax＋b与AC，BC相交时（如图2），由S△FCG＝（xG－xF）·|CM|＝得b＝1－∈（0＜a＜1）．

图2

∵对于任意的a＞0恒成立，

∴b∈∩，

即b∈，故选B.

6．（2014·广东，10，易）曲线y＝e－5x＋2在点（0，3）处的切线方程为________．

6．【解析】　y′＝－5e－5x，曲线在点（0，3）处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5（x－0），即5x＋y－3＝0.

【答案】　5x＋y－3＝0

直线及其方程在高考中单独考查的较少，通常与其他知识结合起来进行考查，有两种常见方式：

一是与导数结合，求曲线的斜率、倾斜角和切线方程等；二是与圆、圆锥曲线结合，考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等．求直线方程的一种重要方法是待定系数法，选择恰当的直线方程的形式对解题很重要．

1（2015·山东，9）一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．－或－　　　　　　　　B．－或－

C．－或－D．－或－

【解析】　由题知，反射光线所在直线过点（2，－3），设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.

∵圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1的圆心为（－3，2），半径为1，且反射光线与该圆相切，

∴＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.

【答案】　D

直线的倾斜角与斜率问题的解决方法

（1）掌握斜率与倾斜角的关系，即k＝tanα.

（2）已知斜率范围求倾斜角范围时，借助正切函数图象确定即可．

求直线方程的两种方法

（1）直接法：

根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．

（2）待定系数法：

其具体步骤为：

①设出直线方程的恰当形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式）；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是否即为所求直线方程，如果有遗漏需要补加．

1.（2015·河南开封调研，6）设A（－1，2），B（3，1），若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）∪B.∪（2，＋∞）

C.D.

1．C　如图所示，直线y＝kx过定点O（0，0），kOA＝－2，kOB＝.

若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则直线OA逆时针旋转（斜率增大）到OB都是满足条件的直线（不包含直线OA与OB）．数形结合得k∈.故选C.

2．（2016·浙江台州质检，4）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：

2x－y－2＝0与l2：

x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为（　　）

A．6x－y－18＝0B．8x－y－24＝0

C．5x－2y－15＝0D．8x－3y－24＝0

2．B　如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为x＝3，不合题意．

∴设所求的直线l方程为y＝k（x－3），

∴分别联立直线l与l1，l2的方程得与

解得与

∴直线l与l1，l2的交点分别为，.

∵夹在两条直线l1与l2之间的线段恰被点P平分，

∴＋＝6，且＋＝0，

解得k＝8，

∴所求的直线方程为y＝8x－24，即8x－y－24＝0.

两条不同的直线的位置关系有平行、相交（垂直是其中一种特殊情况）两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．

2

（1）（2016·河南郑州一模，4）命题p：

“a＝－2”是命题q：

“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

（2）（2014·四川，14）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是________．

【解析】　

（1）直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直的充要条件是6a＋3×4＝0，即a＝－2.

（2）由题意可知，动直线x＋my＝0过定点A（0，0），动直线mx－y－m＋3＝0，即m（x－1）－y＋3＝0，过定点B（1，3）．又因为动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0始终垂直，又P是两条动直线的交点，则有PA⊥PB，

所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.

所以|PA|·|PB|≤＝5（当且仅当|PA|＝|PB|＝时取“＝”）．

【答案】　

（1）A　

（2）5

（2016·北京顺义区二模，5）设m，n∈R，若直线l：

mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（　　）

A.B．2C．3D．4

C　由坐标原点O到直线l的距离为，可得＝，

化简可得m2＋n2＝.

令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝，

所以△AOB的面积S＝·＝≥＝3，

当且仅当|m|＝|n|＝时，取等号，故选C.

两直线的位置关系问题的解题策略

（1）求解与两条直线平行或垂直有关的问题：

主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断．

（2）两直线交点的求法：

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．

（3）求与直线有关的距离：

利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式；利用平行线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式.

1．（2016·重庆南开中学模拟，4）若P（2，1）为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）

A．x－y－1＝0B．2x－y－3＝0

C．x＋y－3＝0D．2x＋y－5＝0

1．C　圆（x－1）2＋y2＝25的圆心为（1，0），直线AB的斜率等于＝－1，由点斜式得直线AB的方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0，故选C.

2．（2016·湖北咸宁二模，6）“a＝”是“直线（a＋1）x＋3ay＋1＝0与直线（a－1）x＋（a＋1）y－3＝0相互垂直”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．A　对于直线（a＋1）x＋3ay＋1＝0与直线（a－1）x＋（a＋1）y－3＝0，

当a＝0时，分别化为x＋1＝0，－x＋y－3＝0，此时两条直线不垂直，不符合题意；

当a＝－1时，分别化为－3y＋1＝0，－2x－3＝0，此时两条直线相互垂直，满足条件；

当a≠－1，0时，两条直线的斜率分别为－，.由于两条直线垂直，可得－·＝－1，解得a＝或－1（舍去）．

综上可得，两条直线相互垂直的充要条件为a＝或－1.

∴“a＝”是“直线（a＋1）x＋3ay＋1＝0与直线（a－1）x＋（a＋1）y－3＝0相互垂直”的充分而不必要条件．

3．（2015·安徽合肥期末，8）设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（　　）

A.，B.，

C.，D.，

3．D　由题意，a＋b＝－1，ab＝c，两条直线之间的距离为d＝＝＝，又0≤c≤，故≤d≤.

4．（2016·四川成都二模，8）已知直线l的方程是y＝k（x－1）－2，若点P（－3，0）在直线l上的射影为H，O为坐标原点，则|OH|的最大值是（　　）

A．5＋B．3＋2

C.＋D.＋3

4．C　因为直线l的方程是y＝k（x－1）－2，所以直线l过定点M（1，－2）．则点P（－3，0）在直线l上的射影H在以PM为直径的圆上．

|PM|＝＝2，

线段PM的中点即圆心C（－1，－1），则|OC|＝.

因此当O，C，H三点共线时|OH|取得最大值＝＋.

5．（2016·辽宁沈阳一模，14）若直线l：

＋＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴、y轴上的截距之和的最小值是________．

5．【解析】　∵直线l：

＋＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），

∴＋＝1，

∴a＋b＝（a＋b）＝3＋＋≥3＋2，当且仅当b＝a时等号成立．

∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值是3＋2.

【答案】　3＋2

6．（2015·北京东城期末，13）如图所示，已知A（－2，0），B（2，0），C（0，2），E（－1，0），F（1，0），一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范围是________．

6．【解析】　如图所示，从特殊位置考虑．∵点A（－2，0）关于直线BC：

x＋y＝2的对称点为A1（2，4），∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E（－1，0）关于直线AC：

y＝x＋2的对称点为E1（－2，1），点E1（－2，1）关于直线BC：

x＋y＝2的对称点为E2（1，4），此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F＜kFD，即kFD∈（4，＋∞）．

【答案】　（4，＋∞）

1．（2016·课标Ⅱ，4，易）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（　　）

A．－B．－C.D．2

1．A　[考向2]将圆的方程化为（x－1）2＋（y－4）2＝4，所以圆心为（1，4）．由题意知，＝1，解得a＝－.

2．（2015·课标Ⅱ，7，中）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，－7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）

A．2B．8C．4D．10

2．C　[考向2]∵kAB＝＝－，kBC＝＝3，∴kAB·kBC＝－1.

∴AB⊥BC.

∴△ABC为直角三角形且AC为圆的直径，

∴圆心坐标为（1，－2），半径r＝5，

∴圆的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝25.令x＝0，得y2＋4y－20＝0，

∴y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，

∴|MN|＝|y1－y2|＝

＝＝4.

3．（2012·陕西，4，中）已知圆C：

x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（　　）

A．l与C相交

B．l与C相切

C．l与C相离

D．以上三个选项均有可能

3．A　[考向2]圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝4，显然点P（3，0）在圆内，故直线l与圆C相交．

4．（2013·山东，9，中）过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）

A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0

4．A　[考向3]方法一：

如图，

圆心坐标为C（1，0），易知A（1，1）．

又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，

∴kAB＝－2.

故直线AB的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，故选A.

方法二：

直线AB是以PC为直径的圆（x－2）2＋＝与圆（x－1）2＋y2＝1的公共弦所在直线，

∴直线AB的方程为2x＋y－3＝0.

方法三：

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则直线PA的方程为（x1－1）（x－1）＋y1·y＝1，

直线PB的方程为（x2－1）（x－1）＋y2y＝1.

又PA，PB都经过P（3，1），

∴（x1－1）（3－1）＋y1×1＝1，　　①

（x2－1）（3－1）＋y2×1＝1，　　②

由①，②知（x－1）（3－1）＋y×1＝1经过A（x1，y1），B（x2，y2），而过两点的直线唯一，∴直线AB的方程为2x＋y－3＝0.

5．（2014·江西，9，难）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

A.πB.π

C．（6－2）πD.π

5．A　[考向1]由题意易知∠AOB＝90°，

∴点O在圆C上．

设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，

∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.

又|OD|＝＝，

∴圆C的最小半径为，

∴圆C面积的最小值为π＝π.

6．（2014·陕西，12，易）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

6．[考向1]【解析】　两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，半径相等．

圆C的圆心为（0，1），半径为1，故标准方程为x2＋（y－1）2＝1.

【答案】　x2＋（y－1）2＝1

7．（2014·课标Ⅱ，16，中）设点M（x0，1），若在圆O：

x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

7．[考向3]【解析】　方法一：

如图①，当x0＝0时，M（0，1），由圆的几何性质得在圆上存在点N（－1，0）或N（1，0），使∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A，B.

若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，

应有∠OMB≥∠OMN＝45°，

∴∠AMB≥90°，

∴－1≤x0＜0或0＜x0≤1.

综上，－1≤x0≤1.

图①

方法二：

如图②，过O作OP⊥MN，P为垂足，OP＝OM·sin45°≤1，

∴OM≤，∴OM2≤2，∴x＋1≤2，

∴x≤1，∴－1≤x0≤1.

图②

【答案】　[－1，1]

8．（2015·湖北，14，难）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2.

（1）圆C的标准方程为________________；

（2）过点A任作一条直线与圆O：

x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：

①＝；②－＝2；

③＋＝2.

其中正确结论的序号是________．（写出所有正确结论的序号）

8．[考向1，2]【解析】　

（1）设圆心C（a，b），半径为r.

∵圆C与x轴相切于点T（1，0），

∴a＝1，r＝|b|.

又圆C与y轴正半轴交于两点，

∴b＞0，则b＝r.

∵|AB|＝2，∴2＝2，∴r＝，

故圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－）2＝2.

（2）设N（x，y），而A（0，－1），B（0，＋1），

则＝

＝.

又x2＋y2＝1，

∴＝＝·＝（＋1）2，

∴＝＋1，

同理，＝＋1.

∴＝，且－＝＋1－＝2，

＋＝＋1＋＝＋1＋－1＝2，故正确结论的序号是①②③.

【答案】　

（1）（x－1）2＋（y－）2＝2

（2）①②③

9．（2013·江苏，17，14分，中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：

y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

9．[考向3]解：

（1）由题意知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C（3，2），于是切线的斜率必存在．

设过A（0，3）的圆C的切线方程为y＝kx＋3，

由题意得，＝1，

解得k＝0或－，

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

（2）因为圆心在直线y＝2x－4上，

所以圆C的方程为（x－a）2＋[y－2（a－2）]2＝1.

设点M（x，y），因为MA＝2MO，

所以＝2，

化简得x2＋y2＋2y－3＝0，

即x2＋（y＋1）2＝4，

所以点M在以D（0，－1）为圆心，2为半径的圆上．

由题意，点M（x，y）在圆C上，

所以圆C与圆D有公共点，则2－1≤CD≤2＋1，

即1≤≤3.

由5a2－12a＋8≥0，得a∈R.

由5a2－12a≤0，得0≤a≤.

所以圆心C的横坐标a的取值范围为

圆的方程在高考中涉及三个方面的应用，一是利用直接法或待定系数法或动点轨迹确定圆的方程；二是利用圆的方程得到圆心和半径；三是圆的方程与其他知识结合起来进行综合考查，常涉及点到直线的最大或最小距离问题．但不管是哪一方面，掌握圆的实质内涵“心定位，径定大”是至关重要的．

1

（1）（2015·课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

（2）（2015·江苏，10）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

【解析】　

（1）方法一：

由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为（0，2），（0，－2），右顶点的坐标为（4，0）．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点（0，2），（0，－2），（4，0）三点．

设圆的标准方程为（x－m）2＋y2＝r2（0＜m＜4，r＞0），

则解得

所以圆的标准方程为＋y2＝.

方法二：

由题意设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，

由方法一知圆过点（0，±2），（4，0），

则解得

故所求圆的一般方程为x2＋y2－3x－4＝0，

即圆的标准方程为＋y2＝.

（2）由mx－y－2m－1＝0可得m（x－2）＝y＋1，由m∈R知该直线过定点（2，－1），从而点（1，0）与直线的距离的最大值为＝，

故所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2.

【答案】　

（1）＋y2＝　

（2）（x－1）2＋y2＝2

用待定系数法求圆的方程的一般步骤

（1）选用圆的方程两种形式中的一种，若已知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；

（2）根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；

（3）解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．

确定圆心位置的方法

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

（2）圆心在任一弦的中垂线上；

（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

与圆上点（x，y）有关的最值问题的常见类型及解法

（1）形如t＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点（a，b）和点（x，y）的直线的斜率的最值；

（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

（3）形如t＝（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．

（2013·课标Ⅱ，20，12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.

（1）求圆心P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．

解：

（1）设P（x，y），圆P的半径为r.

由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.

从而y2＋2＝x2＋3.

故圆心P的轨迹方程为y2－x2＝1.

（2）设P（x0，y0），由已知得

＝.

又P在双曲线y2－x2＝1上，

从而得

由得

此时，圆P的半径r＝.

由得

此时，圆P的半径r＝.

故圆P的方程为x2＋（y－1）2＝3或x2＋（y＋1）2＝3.,

直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想，考查直线和圆的几何性质，常涉及切线长和弦长，主要以圆心、半径、勾股定理、点到直线的距离、弦心距公式等为基础，所涉及的题目在高考中属于中等难度．

圆与圆位置关系的应用主要题型有给出两圆的方程判断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等，以选择题、填空题为主，属中档题．

2

（1）（2015·重庆，8）已知直线l：

x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）

A．2B．4C．6D．2

（2）（2013·重庆，7）已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为（　　）

A．5－4B.－1

C．6－2D.

【解析】　

（1）方法一：

由题设，得圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝4，知圆C的圆心为（2，1），半径为2.

因为直线l为圆C的对称轴，

所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，

所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[（－4－2）2＋（－1－1）2]－4＝36，所以|AB|＝6.

方法二：

（优解）由题意知直线x＋ay－1＝0过