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1、微分几何试题库微 分 几 何、判断题1、 两个向量函数之和的极限等于极限的和（ V）2、 二阶微分方程 A（u,v）du2 2B（u,v）dudv - B（u,v）dv2 =0总表示曲面上两族曲 线（）3、 若r（t）和s（t）均在a,b连续，贝U他们的和也在该区间连续（ V ）4、 向量函数寓具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，s（t）的微商与s（t）平行（X ）5、 等距变换一定是保角变换.（）6、 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一 定是最短的 .（）7、 常向量的微商不等于零（X ）8 螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（1, 0, 0）的切线为 X=Y=Z （

2、X ）9、 对于曲线s=s（t）上一点（t=t。），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（X ）10、 曲线上的正常点的切向量是存在的（ V ）11、 曲线的法面垂直于过切点的切线（V ）12、 单位切向量的模是1 （ V ）13、 每一个保角变换一定是等距变换 （X ）14、 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（ ）15、 坐标曲线网是正交网的充要条件是 F = 0，这里F是第一基本量.（）、填空题16、 曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、 螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t在点(1，0，0)的法平面是 y+z=0,彳 b18设给出c类曲线：r =r(t),a乞t乞b

3、.则其弧长可表示为.rdta19、已知 r =cos x,sin3 x,cos 2x, 0 x ，则? = SolS , 4x x -，:2 5sin x,cos x,0，4cos x, -4sin x, -356 825sin 2x， - 25sin2x20、 曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向， 则称为渐进 曲线。21、 旋转面r= (t)cos日严(t)sin日，即(t)，他的坐标网是否为正交的? 是 傾“是”或“不是”).22、 过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的 法线 线.23、 任何两个向量p,q的数量积pq= p|qcos(pq)24、 保持曲面上任意曲线的

4、长度不便的变称为 等距(保长)变换_.25、 圆柱螺线的曲率和挠率都是 常数 数(填“常数”或“非常数”).26若曲线(c)用自然参数表示r二r(t),则曲线(c)在P(s。)点的密切平面的方程是(R -r(s), r(s0),r(s0) 0K= 2，平均曲率 H= 0 ，点(1,0,0) 处沿方向du:dv = 2的法曲(u2 +36)2 率J:后，点 (1,。,0)处的两个主曲率分别为6 6,37 3730、 ( Coh n-Voeeen定理)两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映 射一定是R3中的合同或对称。31、 球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32、 个曲面为可展曲面的充分必要

5、条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33.求曲线x=tsint,y =tcost,z =tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：r =tsin t,tcost,tet,r (t) =si nt t cost,cost-ts in t,et tet,r (t)二2cost -tsint,2sint -tcost,2et te在原点处t =0r(0)二0,0,0, r (0) =0,1,1, r (0) = 2,0,2.在原点处切平面的方程为：(R-r(0),r (0),r (0) =00 1 134、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。解设 r =u,v, u3 -v32 2则 ru =

6、1,0,3u , J 二0,1,-3v ,4 1 4 _3u2,3v2,1|ru rv| -,.9u4 9v4 1ruu =0,0,6 u, rvv =0,0, -6vM = n Tuv = 0 , N = n Vw =因渐近曲线的微分方程为2 2Ldu 2Mdu dv Ndv 二 0即 udu2 二 vdv2 或 ,udu 士vdv = 03渐近曲线为u23 3 3=v C1 或 (-u)，= v，C235求双曲抛物面r二a(u v),b(u-v),2uv的第一基本形式解：r 二a(u v),b(u -v),2uv, 5 =a,b,2v, =a,-b,2u.E 二 ru ru 二 a2 b2

7、 4v2, F 二 ru rv 二 a2b2 4uv,G 二 rv rv 二 a2 b2 4u2.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2I = (a b 4v )du 2(a -b 4uv)dudv (a b 4u )dv36.计算球面 r = (Rcoscos, Rcossin :, Rsin)的第二基本形式解：r 二Rcoscos 1 Rcosin ,Rsinr), rF：=-Rcosrsin ;:, Rcos cos ,C, -Rsin cos ,-Rsinsin ,Rcosv,由此得到E = r ： r = R2 co , F = r ： r = 0,_r_MEG-F2e1-Rc o

8、ss inRsi n c o se30=cos coscostsin ,sin *,又由于一Rcos vcos，一Rcosv sin ,0,r 丁 = Rsin v sin，Rsin cos ,0,r 口 - -Rcos cos -Rcossin - Rsin 斗 所以2L = r 竹 n = -Rcos ( J, M = r n = 0, N = r 口 n _ -R,因而得到n = -(Rcos2 m 2 Rd2)37.如果曲面的第一基本形式d二d2dv2 2 ,计算第二类克力斯托费尔符(u +v +C)号.解:因为G = ( 2 2 )2(u v c)所以所以38、已知曲面的第一基本形式

9、为I = v(du2 dv2)，v 0，求坐标曲线的测地曲 率。解 E 二G =v，F =0,Gu = 0 ， Ev = 1u-线的测地曲率it_ Ev _ 1guE ,G 2v . vv-线的测地曲率-Gu _0gv2G - E39、问曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线】是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线事实上，设一 ：u = d (s)则丨的切向量为记唱，D，da1 j：丽Da j屈则曲线-的切向量沿】平行移动=D ? = 0 = Da：二0, Da2二0(k 二 1,2)二-为测地线40.求证在正

10、螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.解:因为 r 二ucosv,usinv,bv,2 2 bE =1,F =0,G 二 u2 b2,L =0,M ，N = 0.Vub2由于L=N =0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是r =u0cosv,u0 sin v, bv,这是螺旋线，另一族渐近线是r 二ucosvo,usin Vo,bv。,这是直线.41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零，若曲线-和C可以建立 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线丨和C在对应点的切线夹固定 角证设-:r = r (s)， - :? = r (s)，则由 一：/ - “ 知一：=-，从而弓

11、九=0，匸：=0，(一竺匚0ds ds - constant，即 cos：，,，.=C这表明曲线】和C在对应点的切线夹固定角.42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) r(t)=0证明必要性 设r(t)二(t)e(e为常单位向量)，则r (t)= (t)e,所以 r(t) r (t) = 0充分性：r(t)二(t)e(t) (e(t)为单位向量函数)，则 r (t) = (t)e(t) (t)e (t), r(t) r (t)2(t)e(t) e(t).因为r(t) =0,于是(t) = 0,当r(t) r (t)三0 ,从而有e(t) e (t) = 0,即e(t)/e(t),因为

12、e(t) _e (t)(根根据e(t) =1),因此e (t) =0即e(t)为常向量，所以 r(t)(t)e(t)有固定方向43、给出曲面上一条曲率线丨，设丨上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角求证丨是一条平面曲线.4.0-证 设1: r = r (u,v)，】：u = u(s),v =v(s)，其中s是】的自然参数，记v - r,n,则 r n 二cost，两边求导，得 rdnd s由为曲率线知dn/dr ,即竺/匕,因此：黑/ nr d -0d s d s d s d s若.=0，则】为平面曲线；若n匸=o，则因丨为曲面二上的一条曲率线，故d.nd?.而4 o-Tn44、求圆

13、柱螺线 R( t)二acost,asin t, bt在t 处的切线方程。3r (t)二a cost, a si n t,bt, r (t) = -a sin t, a cost, b,3 a时，有 r(3laGb.所以切线的方程为py)如果用坐标表示，则得切线方程为Y 3a2jiZ b32x a _ 2Y 一 3a _ Z 巧-3a a b45、求双曲螺线r二acosht,asinh t,at从t=0起计算的弧长。r = acosht, as in h t,at,解：.r =as in ht, a cosht, a从t=0起计算的弧长为=/| r (t)|dt = f Jx +y +z2dts

14、inh21 a2 cosh21 adta22 2 2(sinh t 1) a cosh tdtjdcosft fcosftdt=2a s in ht.46、求球面 r =Rcos J cos , Rcos)sin ,Rsin 的第一基本形式。r = R cost cos :, R costs in , Rs in 二,可得出解：由 r 二-Rcosvsin , Rcosvcos ,0,二Rsin cos ：-Rsin sin : Rcos,由此得到曲面的第一类基本量E = r r = R2 c o ,F 二 r ： r.厂 0,2G = G r 厂 R因而I = R 2 c o d2 R 2

15、d v 247、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大 值和最小值。证明 设k1 : k2（如果K1 K2,可以交换坐标u和v）,由欧拉公式知kn = cos2 寸 k2（1 _cos2 寸）=k2 （kk2）cos,于是k2 _kn 二（k2 _kj c o - 0因此k2 -kn同样又可以得到kn -匕=(k2kjs i n：亠0,由此即ki kn 一 k2这就是说，主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为 I =E(u)du2，G(u)dv2。求证：(1)u-曲线是测地线；(2)V-曲线是测地线，当且仅当Gu(u)=O证明：u -曲

16、线的方程为dv =0.由,得到所以J - 0代入刘维尔公式得sin v - 0,因此得到u -曲线是测地线。、 兀 d。 亠(2)若u -曲线为测地线，由 得=0,则有2 ds1 :T n G .0=00 s i n，1 Je 血49、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明：因为（1） 空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；（2） 空间三个合同变换的组合满足合里律；（3） 恒同变换I : Xi =Xi（ 1,2,3）与空间任何合同变换T的组合I T =T I =T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4） 空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同

17、变 换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明：沿曲线（C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（u1,u2,则）1 2 1 2u = u e ue2,v=ve v e2,du 1 W2 dv W2 门u 0, v2 0, ds ds ds ds.2 2 2 2du 1 W1 dv 1 W1 门u 0, v 0dsds ds ds2z 2 1 1 2 1 2 21Wi c= (uvuvuvuv) 0 ds51、 设曲线(C):r = r t是具有周期的闭的正规平面曲线，如果把参数换成 自然参数，则它的周期是L =f(t ) dt, L的闭曲线的周长.t 也、 / .

18、证明 s(t + )=r (t ) dt=【0 r(t)dt r (t) dt,因为r t ，二 r t ，所以t ,t.我们得到s(t + )=L + f |r /(t) |dt = L + s(t),所以有rsL=rst L=rst =rst =rs.52、 对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向 I正交.证明 取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是C : r s = & s , y s , z s ；s 0, L !因而单位切向量为a(s)J：(s)；(s)Zs“根据微积分中值定理，存在 0. 0丄1使得z L z0 二 L - 0 z 0，但是z L 1=z

19、 0 ,所以z So 0，即a s。二 x S0, y S0,0 ，这表示a iSl垂直于z轴,即与方向1正交。53、单位球面上的曲线 C，若kg =0,则k k,kkg kik i其中；=1证明设单位球面上的曲线 C : r = r s由于r2 -1，从而有r *a =0，所以aa r*k： =0,即由上式得kr 八 kr kr：=O,利用伏雷内公式，化简后得-丄 k r =0.k若令n - -r,由于kg = k n = -kr * ,则有k k但是单位球面上曲线的法曲率kn =1,并且由于kn k：二 k2,所以kg = ； k2 -1, 二 1.因此当kg 7时，有 k kT = = -Z , .kkg kJk212为 dU ( if 3 6)d2v,第二基本形式为 =12 dudv，高斯曲率