微分几何试题库.docx
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微分几何试题库
微分几何
—、判断题
1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（V）
2、二阶微分方程A（u,v）du22B（u,v）dudv-B（u,v）dv2=0总表示曲面上两族曲线•（）
3、若r（t）和s（t）均在［a,b］连续，贝U他们的和也在该区间连续（V）
4、向量函数寓具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，
s（t）的微商与s（t）平行（X）
5、等距变换一定是保角变换.（）
6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一」定是最短的.（）
7、常向量的微商不等于零（X）
8螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1,0,0）的切线为X=Y=Z（X）
9、对于曲线s=s（t）上一点（t=t。
），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点
（X）
10、曲线上的正常点的切向量是存在的（V）
11、曲线的法面垂直于过切点的切线（V）
12、单位切向量的模是1（V）
13、每一个保角变换一定是等距变换（X）
14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）
15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量.（）
、填空题
16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线
17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t在点（1，0，0）的法平面是y+z=0,
彳b
18设给出c类曲线：
r=r（t）,a乞t乞b.则其弧长可表示为.r⑴dt
a
19、已知r={cosx,sin3x,cos2x},0=^{SolS,4xx-，:
25
{sinx,cosx,0}，
{4cosx,-4sinx,-3}
5
68
25sin2x，-25sin2x
20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。
21、旋转面r={®（t）cos日严（t）sin日，即（t）}，他的坐标网是否为正交的?
是
傾“是”或“不是”）.
22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的法线线.
23、任何两个向量p,q的数量积pq=p|qcos（pq）
24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距（保长）变换__.
25、圆柱螺线的曲率和挠率都是常数数（填“常数”或“非常数”）.
26若曲线（c）用自然参数表示r二r（t）,则曲线（c）在P（s。
）点的密切平面的方程是
（R-r（s°）,r（s0）,r（s0））0
K=2，平均曲率H=0，点（1,0,0）处沿方向du:
dv=2的法曲
（u2+36）2
率J:
后，点（1,。
0）处的两个主曲率分别为
66
3737
30、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。
31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。
32、—个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络
三、综合题
33.求曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。
解：
r={tsint,tcost,tet},
r（t）={sinttcost,cost-tsint,ettet},
r（t）二{2cost-tsint,—2sint-tcost,2ette\
在原点处t=0
r（0）二{0,0,0},r（0）={0,1,1},r（0）={2,0,2}.
在原点处切平面的方程为：
（R-r（0）,r（0）,r（0））=0
011
34、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。
解设r={u,v,u3-v3}
22
则ru={1,0,3u},J二{0,1,-3v},
414{_3u2,3v2,1}
|rurv|-,.9u49v41
ruu={0,0,6u},⑰,rvv={0,0,-6v}
M=nTuv=0,N=nVw=
因渐近曲线的微分方程为
22
Ldu2MdudvNdv二0
即udu2二vdv2或,udu士』vdv=0
3
渐近曲线为u2
333
=v^C1或（-u），=v，C2
35求双曲抛物面r二{a（u•v）,b（u-v）,2uv}的第一基本形式
解：
r二{a（uv）,b（u-v）,2uv},5={a,b,2v},={a,-b,2u}.
E二ruru二a2b24v2,F二rurv二a2「b24uv,
G二rvrv二a2b24u2.
2222222222
I=（ab4v）du2（a-b4uv）dudv（ab4u）dv
36.计算球面r=（Rcos^cos「,Rcos^sin:
Rsin^）的第二基本形式
解：
r二{Rcos^cos1Rcosin,Rsinr）,rF：
={-Rcosrsin;:
Rcos^cos,C},
\-{-Rsin^cos,-Rsin^sin,Rcosv},
由此得到
E=r：
r=R2co^,F=r：
r^=0,
_r_M
EG-F2
e1
-Rcossin
「Rsincos
e3
0
={coscos〔costsin,sin*,
又由于
一Rcosvcos「，一Rcosvsin,0},
r丁={Rsinvsin「，—Rsincos,0},
r口-{-Rcos^cos[-Rcos^sin\-Rsin斗所以
2
L=r竹n=-Rcos（J,M=rn=0,N=r口n_-R,
因而得到
n=-（Rcos2m2Rd^2）
37.如果曲面的第一基本形式d£二d『2dv22,计算第二类克力斯托费尔符
（u+v+C）
号.
解:
因为
G=（22）2
（uvc）
所以
所以
38、已知曲面的第一基本形式为I=v（du2dv2），v0，求坐标曲线的测地曲率。
解E二G=v，
F=0,
Gu=0，Ev=1
u-线的测地曲率
it
_Ev_1
gu
E,G2v.v
v-线的测地曲率
-Gu_0
gv
2G-E
39、问曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线】是测地线吗？
为什么？
答：
曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线］是测地线•
事实上，设一：
u"=d（s）
则丨的切向量为
记『唱，，D，da1j：
丽’Da"j屈
则曲线-的切向量'沿】平行移动=D?
=0=Da：
二0,Da2二0
（k二1,2）
二-为测地线
40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.
解:
因为r二{ucosv,usinv,bv},
22—b
E=1,F=0,G二u2b2,L=0,M，N=0.
V'u^b2
由于L=N=0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是
r={u0cosv,u0sinv,bv},
这是螺旋线，另一族渐近线是
r二｛ucosvo,usinVo,bv。
｝,
这是直线.
41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零，若曲线-和C可以建立——对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线丨和C在对应点的切线夹固定角•
证设-:
r=r（s），-:
?
"=r"（s），则由一：
/-“知一：
"=-，
从而弓九=0，匸：
=0，（一竺「匚0
dsds
■-constant，即cos：
，,，..‘=C
这表明曲线】和C在对应点的切线夹固定角.
42、证明r（t）具有固定方向的充要条件是
r（t）r（t）=0
证明必要性设r（t）二'（t）e（e为常单位向量），则
r（t）=■（t）e,
所以r（t）r（t）=0
充分性：
r（t）二'（t）e（t）（e（t）为单位向量函数），则r（t）=‘（t）e（t）（t）e（t）,r（t）r（t）「2（t）[e（t）e（t）].
因为r（t）=0,于是'（t）=0,当r（t）r（t）三0,从而有
e（t）e（t）=0,
即e（t）//e（t）,因为e（t）_e（t）（根根据e（t）=1）,因此e（t）=0即e（t）为常向量，所以r（t）「（t）e（t）
有固定方向
43、给出曲面上一条曲率线丨，设丨上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角•求证丨是一条平面曲线•
.4.0
-
证设1:
r=r（u,v），】：
u=u（s）,v=v（s），其中s是】的自然参数，记
v-r,n,则rn二cost，两边求导，得rdn
ds
由］为曲率线知dn//dr,即竺//匕》,因此：
黑/■nrd^-0
dsdsdsds
若.=0，则】为平面曲线；
若n匸=o，则因丨为曲面二上的一条曲率线，故d^.nd?
.而
4o
-
Tn
44、求圆柱螺线R（t）二｛acost,asint,bt｝在t处的切线方程。
3
r（t）二{acost,asint,bt},r（t）={-asint,acost,b},
3a
时，有r（3"{—l"aGb}.
所以切线的方程为
py）
如果用坐标表示，则得切线方程为
Y3a
2
ji
Zb
3
2x—a_2Y一3a_Z巧
-3aab
45、求双曲螺线r二{acosht,asinht,at}从t=0起计算的弧长。
r={acosht,asinht,at},
解：
.
r={asinht,acosht,a}
从t=0起计算的弧长为
=/|r（t）|dt=fJx"+y"+z'2dt
sinh21a2cosh21adt
a2
222
（sinht1）acoshtdt
jdcosftfcosftdt
=2asinht.
46、求球面r={RcosJcos,Rcos）sin,Rsin^}的第一基本形式。
r={Rcostcos:
Rcostsin,Rsin二},可得出
解：
由r二{-Rcosvsin,Rcosvcos,0},
二{「Rsin^cos：
-Rsinsin:
Rcos},
由此得到曲面的第一类基本量
E=rr=R2co,
F二r：
r.厂0,
2
G=Gr厂R
因而
I=R2co◎d「2R2dv2
47、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。
证明设k1:
:
:
k2（如果K1K2,可以交换坐标u和v）,由欧拉公式知
kn=«cos2寸k2（1_cos2寸）=k2（k^k2）cos^,
于是
k2_kn二（k2_kjco-0
因此
k2-kn
同样又可以得到
kn-匕=（k2「kjsin：
」亠0,
由此
即
ki—kn一k2
这就是说，主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。
48、曲面的第一基本形式为I=E（u）du2，G（u）dv2。
求证：
（1）u-曲线是测地线；
（2）V-曲线是测地线，当且仅当Gu（u）=O
证明：
u-曲线的方程为dv=0.由
",
得到
所以
J-0
代入刘维尔公式得
sinv-0,
因此得到u-曲线是测地线。
、‘兀d。
亠
（2）若u-曲线为测地线，由得—=0,则有
2ds
1:
TnG.
0=00sin，
1Je血
49、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。
证明：
因为
（1）空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；
（2）空间三个合同变换的组合满足合里律；
（3）恒同变换I:
Xi=Xi（^1,2,3）与空间任何合同变换T的组合
IT=TI=T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；
（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。
50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。
证明：
沿曲线（C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网
（u1,u2,则）
1212
u=ueue2,v=ve]ve2,
du1W2dvW2门
u0,v20,dsdsdsds
.2222
du1W1dv1W1门
u0,v0
ds
dsdsds
2
z21121221\Wic
=（uvuv—uv—uv）0ds
51、设曲线（C）:
r=rt是具有周期」的闭的正规平面曲线，如果把参数换成自然参数，则它的周期是L=『f（t）dt,L的闭曲线的周长.
t也、/.
证明s（t+⑷）=[r（t）dt
=【0r（t）dtr（t）dt,
因为
rt，二rt，
所以
『t••,t.
我们得到
s（t+㈢）=L+f|r/（t）|dt=L+s（t）,
所以有
rsL=rstL=rst「=rst=rs.
52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向I正交.
证明取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是
C:
rs=&s,ys,zs；s0,L!
因而单位切向量为
a（s）J：
（s）；（s）Zs“
根据微积分中值定理，存在0.0丄1使得
zL—z0二L-0z§0，
但是
zL1=z0,
所以
zSo"0，
即
as。
二xS0,yS0,0，
这表示ai
Sl垂直于z轴,即与方向1正交。
53、单位球面上的曲线C，若kg=0,则
kk
kkgkik—i
其中；=1
证明
设单位球面上的曲线C:
r=rs由于
r2-1，
从而有
r*a=0，
所以
a・ar*k：
=0,
即
由上式得
kr八krkr・：
=O,
利用伏雷内公式，化简后得
-
丄kr・=0.
k
若令n--r,由于
kg=k・n=-kr*,
则有
kk
但是单位球面上曲线的法曲率kn=1,并且由于
knk：
二k2,
所以
kg=；k2-1,二1.
因此当kg7时，有
••
kk
T==-Z——,.
kkgkJk2—1
2
为dU（if36）d2v,第二基本形式为=12dudv，高斯曲率
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