导数公式的证明最全版.docx

1、导数公式的证明最全版导数的定义：f(*)=lim y/*0下面就不再标明*0了用定义求导数公式1f(*)=*n证法一：n为自然数f(*)=lim (*+*)n-*n/*=lim (*+*-*)(*+*)(n-1)+*(*+*)(n-2)+.+*(n-2)*(*+*)+*(n-1)/*=lim (*+*)(n-1)+*(*+*)(n-2)+.+*(n-2)*(*+*)+*(n-1)=*(n-1)+*(n-2)+*2*(n-3)+ .*(n-2)*+*(n-1)=n*(n-1)证法二：n为任意实数f(*)=*nlnf(*)=nln*(lnf(*)=(nln*)f(*)/f(*)=n/*f(*)=n

2、/*f(*)f(*)=n/*nf(*)=n*(n-1)2f(*)=sin*f(*)=lim (sin(*+*)-sin*)/*=lim (sin*cos*+cos*sin*-sin*)/*=lim (sin*+cos*sin*-sin*)/*=lim cos*sin*/*=cos*3f(*)=cos*f(*)=lim (cos(*+*)-cos*)/*=lim (cos*cos*-sin*sin*-cos*)/*=lim (cos*-sin*sin*-cos)/*=lim -sin*sin*/*=-sin*4f(*)=a*证法一：f(*)=lim (a(*+*)-a*)/*=lim a*(a*

3、-1)/*设a*-1=m，则*=loga(m+1)=lim a*m/loga(m+1)=lim a*m/ln(m+1)/lna=lim a*lna*m/ln(m+1)=lim a*lna/(1/m)*ln(m+1)=lim a*lna/ln(m+1)(1/m)=lim a*lna/lne=a*lna证法二：f(*)=a*lnf(*)=*lnalnf(*) =*lna f (*)/f(*)=lnaf (*)=f(*)lnaf (*)=a*lna假设a=e，原函数f(*)=e*则f(*)=e*lne=e*5f(*)=loga*f(*)=lim (loga(*+*)-loga*)/*=lim log

4、a(*+*)/*/*=lim loga(1+*/*)/*=lim ln(1+*/*)/(lna*)=lim *ln(1+*/*)/(*lna*)=lim (*/*)*ln(1+*/*)/(*lna)=lim ln(1+*/*)(*/*)/(*lna)=lim lne/(*lna)=1/(*lna)假设a=e，原函数f(*)=loge*=ln*则f(*)=1/(*lne)=1/*6f(*)=tan*f(*)=lim (tan(*+*)-tan*)/*=lim (sin(*+*)/cos(*+*)-sin*/cos*)/*=lim (sin(*+*)cos*-sin*cos(*+*)/(*cos*

5、cos(*+*)=lim (sin*cos*cos*+sin*cos*cos*-sin*cos*cos*+sin*sin*sin*)/(*cos*cos(*+*)=lim sin*/(*cos*cos(*+*)=1/(cos*)2=sec*/cos*=(sec*)2=1+(tan*)27f(*)=cot*f(*)=lim (cot(*+*)-cot*)/*=lim (cos(*+*)/sin(*+*)-cos*/sin*)/*=lim (cos(*+*)sin*-cos*sin(*+*)/(*sin*sin(*+*)=lim (cos*cos*sin*-sin*sin*sin*-cos*sin

6、*cos*-cos*sin*cos*)/(*sin*sin(*+*)=lim -sin*/(*sin*sin(*+*)=-1/(sin*)2=-csc*/sin*=-(sec*)2=-1-(cot*)28f(*)=sec*f(*)=lim(sec(*+*)-sec*)/*=lim (1/cos(*+*)-1/cos*)/*=lim (cos*-cos(*+*)/(*cos*cos*)=lim (cos*-cos*cos*+sin*sin*)/(*cos*cos(*+*)=lim sin*sin*/(*cos*cos(*+*)=sin*/(cos*)2=tan*sec*9f(*)=csc*f(*

7、)=lim(csc(*+*)-csc*)/*=lim (1/sin(*+*)-1/sin*)/*=lim (sin*-sin(*+*)/(*sin*sin(*+*)=lim (sin*-sin*cos*-sin*cos*)/(*sin*sin(*+*)=lim -sin*cos*/(*sin*sin(*+*)=-cos*/(sin*)2=-cot*csc*10f(*)=*lnf(*)=*ln*(lnf(*)=(*ln*)f(*)/f(*)=ln*+1f(*)=(ln*+1)*f(*)f(*)=(ln*+1)*12h(*)=f(*)g(*)h(*)=lim (f(*+*)g(*+*)-f(*)g

8、(*)/*=lim (f(*+*)-f(*)+f(*)*g(*+*)+(g(*+*)-g(*)-g(*+*)*f(*)/*=lim (f(*+*)-f(*)*g(*+*)+(g(*+*)-g(*)*f(*)+f(*)*g(*+*)-f(*)*g(*+*)/*=lim (f(*+*)-f(*)*g(*+*)/*+(g(*+*)-g(*)*f(*)/*=f(*)g(*)+f(*)g(*)13h(*)=f(*)/g(*)h(*)=lim (f(*+*)/g(*+*)-f(*)g(*)/*=lim (f(*+*)g(*)-f(*)g(*+*)/(*g(*)g(*+*)=lim (f(*+*)-f(*)

9、+f(*)*g(*)-(g(*+*)-g(*)+g(*)*f(*)/(*g(*)g(*+*)=lim (f(*+*)-f(*)*g(*)-(g(*+*)-g(*)*f(*)+f(*)g(*)-f(*)g(*)/(*g(*)g(*+*)=lim (f(*+*)-f(*)*g(*)/(*g(*)g(*+*)-(g(*+*)-g(*)*f(*)/(*g(*)g(*+*)=f(*)g(*)/(g(*)*g(*)-f(*)g(*)/(g(*)*g(*)=f(*)g(*)-f(*)g(*)/(g(*)*g(*)*14h(*)=f(g(*)h(*)=lim f(g(*+*)-f(g(*)/*=lim f(g

10、(*+*)-g(*)+g(*)-f(g(*)/*另g(*)=u，g(*+*)-g(*)=u=lim (f(u+u)-f(u)/*=lim (f(u+u)-f(u)*u/(*u)=lim f(u)*u/*=lim f(u)*(g(*+*)-g(*)/*=f(u)*g(*)=f(g(*)g(*)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=*对称，所以导数也关于y=*对称，所以导数的乘积为1)15y=f(*)=arcsin*则siny=*(siny)=cosy所以(arcsin*)=1/(siny)=1/cosy=1/1-(siny)2(siny=*)=1/1-*2即f(*

11、)=1/1-*2(16)y=f(*)=arctan*则tany=*(tany)=1+(tany)2=1+*2所以(arctan*)=1/1+*2即f(*)= 1/1+*2总结一下*n=n*(n-1)sin*=cos*cos*=-sin*a*=a*lnae*=e*loga*=1/(*lna)ln*=1/*(tan*)=(sec*)2=1+(tan*)2(cot*)=-(csc*)2=-1-(cot*)2(sec*)=tan*sec*(csc*)=-cot*csc*(*)=(ln*+1)*(arcsin*)=1/1-*2(arctan*)=1/1+*2f(*)g(*)=f(*)g(*)+f(*)g(*)f(*)/g(*)=f(*)g(*)-f(*)g(*)/(g(*)*g(*)f(g(*)=f(g(*)g(*)