导数公式的证明最全版.docx

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导数公式的证明最全版

导数的定义：

f'（*）=limΔy/Δ*

   Δ*→0〔下面就不再标明Δ*→0了〕

用定义求导数公式

〔1〕f（*）=*^n

证法一：

〔n为自然数〕

f'（*）

=lim[（*+Δ*）^n-*^n]/Δ*

=lim（*+Δ*-*）[（*+Δ*）^（n-1）+**（*+Δ*）^（n-2）+...+*^（n-2）*（*+Δ*）+*^（n-1）]/Δ*

=lim[（*+Δ*）^（n-1）+**（*+Δ*）^（n-2）+...+*^（n-2）*（*+Δ*）+*^（n-1）]

=*^（n-1）+***^（n-2）+*^2**^（n-3）+...*^（n-2）**+*^（n-1）

=n*^（n-1）

证法二：

〔n为任意实数〕

f（*）=*^n

lnf（*）=nln*

（lnf（*））'=（nln*）'

f'（*）/f（*）=n/*

f'（*）=n/**f（*）

f'（*）=n/***^n

f'（*）=n*^（n-1）

〔2〕f（*）=sin*

f'（*）

=lim（sin（*+Δ*）-sin*）/Δ*

=lim（sin*cosΔ*+cos*sinΔ*-sin*）/Δ*

=lim（sin*+cos*sinΔ*-sin*）/Δ*

=limcos*sinΔ*/Δ*

=cos*

〔3〕f（*）=cos*

f'（*）

=lim（cos（*+Δ*）-cos*）/Δ*

=lim（cos*cosΔ*-sin*sinΔ*-cos*）/Δ*

=lim（cos*-sin*sinΔ*-cos）/Δ*

=lim-sin*sinΔ*/Δ*

=-sin*

〔4〕f（*）=a^*

证法一：

f'（*）

=lim（a^（*+Δ*）-a^*）/Δ*

=lima^**（a^Δ*-1）/Δ*

〔设a^Δ*-1=m，则Δ*=loga^（m+1）〕

=lima^**m/loga^（m+1）

=lima^**m/[ln（m+1）/lna]

=lima^**lna*m/ln（m+1）

=lima^**lna/[（1/m）*ln（m+1）]

=lima^**lna/ln[（m+1）^（1/m）]

=lima^**lna/lne

=a^**lna

证法二：

f（*）=a^*

lnf（*）=*lna

[lnf（*）]'=[*lna]'

f'（*）/f（*）=lna

f'（*）=f（*）lna

f'（*）=a^*lna

假设a=e，原函数f（*）=e^*

则f'（*）=e^**lne=e^*

〔5〕f（*）=loga^*

f'（*）

=lim（loga^（*+Δ*）-loga^*）/Δ*

=limloga^[（*+Δ*）/*]/Δ*

=limloga^（1+Δ*/*）/Δ*

=limln（1+Δ*/*）/（lna*Δ*）

=lim**ln（1+Δ*/*）/（**lna*Δ*）

=lim（*/Δ*）*ln（1+Δ*/*）/（**lna）

=limln[（1+Δ*/*）^（*/Δ*）]/（**lna）

=limlne/（**lna）

=1/（**lna）

假设a=e，原函数f（*）=loge^*=ln*

则f'（*）=1/（**lne）=1/*

〔6〕f（*）=tan*

f'（*）

=lim（tan（*+Δ*）-tan*）/Δ*

=lim（sin（*+Δ*）/cos（*+Δ*）-sin*/cos*）/Δ*

=lim（sin（*+Δ*）cos*-sin*cos（*+Δ*）/（Δ*cos*cos（*+Δ*））

=lim（sin*cosΔ*cos*+sinΔ*cos*cos*-sin*cos*cosΔ*+sin*sin*sinΔ*）/（Δ*cos*cos（*+Δ*））

=limsinΔ*/（Δ*cos*cos（*+Δ*））

=1/（cos*）^2=sec*/cos*=（sec*）^2=1+（tan*）^2

〔7〕f（*）=cot*

f'（*）

=lim（cot（*+Δ*）-cot*）/Δ*

=lim（cos（*+Δ*）/sin（*+Δ*）-cos*/sin*）/Δ*

=lim（cos（*+Δ*）sin*-cos*sin（*+Δ*））/（Δ*sin*sin（*+Δ*））

=lim（cos*cosΔ*sin*-sin*sin*sinΔ*-cos*sin*cosΔ*-cos*sinΔ*cos*）/（Δ*sin*sin（*+Δ*））

=lim-sinΔ*/（Δ*sin*sin（*+Δ*））

=-1/（sin*）^2=-csc*/sin*=-（sec*）^2=-1-（cot*）^2

〔8〕f（*）=sec*

f'（*）

=lim（sec（*+Δ*）-sec*）/Δ*

=lim（1/cos（*+Δ*）-1/cos*）/Δ*

=lim（cos*-cos（*+Δ*）/（Δ*cos*cosΔ*）

=lim（cos*-cos*cosΔ*+sin*sinΔ*）/（Δ*cos*cos（*+Δ*））

=limsin*sinΔ*/（Δ*cos*cos（*+Δ*））

=sin*/（cos*）^2=tan**sec*

〔9〕f（*）=csc*

f'（*）

=lim（csc（*+Δ*）-csc*）/Δ*

=lim（1/sin（*+Δ*）-1/sin*）/Δ*

=lim（sin*-sin（*+Δ*））/（Δ*sin*sin（*+Δ*））

=lim（sin*-sin*cosΔ*-sinΔ*cos*）/（Δ*sin*sin（*+Δ*））

=lim-sinΔ*cos*/（Δ*sin*sin（*+Δ*））

=-cos*/（sin*）^2=-cot**csc*

〔10〕f（*）=*^*

lnf（*）=*ln*

（lnf（*））'=（*ln*）'

f'（*）/f（*）=ln*+1

f'（*）=（ln*+1）*f（*）

f'（*）=（ln*+1）**^*

〔12〕h（*）=f（*）g（*）

h'（*）

=lim（f（*+Δ*）g（*+Δ*）-f（*）g（*））/Δ*

=lim[（f（*+Δ*）-f（*）+f（*））*g（*+Δ*）+（g（*+Δ*）-g（*）-g（*+Δ*））*f（*）]/Δ*

=lim[（f（*+Δ*）-f（*））*g（*+Δ*）+（g（*+Δ*）-g（*））*f（*）+f（*）*g（*+Δ*）-f（*）*g（*+Δ*）]/Δ*

=lim（f（*+Δ*）-f（*））*g（*+Δ*）/Δ*+（g（*+Δ*）-g（*））*f（*）/Δ*

=f'（*）g（*）+f（*）g'（*）

〔13〕h（*）=f（*）/g（*）

h'（*）

=lim（f（*+Δ*）/g（*+Δ*）-f（*）g（*））/Δ*

=lim（f（*+Δ*）g（*）-f（*）g（*+Δ*））/（Δ*g（*）g（*+Δ*））

=lim[（f（*+Δ*）-f（*）+f（*））*g（*）-（g（*+Δ*）-g（*）+g（*））*f（*）]/（Δ*g（*）g（*+Δ*））

=lim[（f（*+Δ*）-f（*））*g（*）-（g（*+Δ*）-g（*））*f（*）+f（*）g（*）-f（*）g（*）]/（Δ*g（*）g（*+Δ*））

=lim（f（*+Δ*）-f（*））*g（*）/（Δ*g（*）g（*+Δ*））-（g（*+Δ*）-g（*））*f（*）/（Δ*g（*）g（*+Δ*））

=f'（*）g（*）/（g（*）*g（*））-f（*）g'（*）/（g（*）*g（*））

=[f'（*）g（*）-f（*）g'（*）]/（g（*）*g（*））*

〔14〕h（*）=f（g（*））

h'（*）

=lim[f（g（*+Δ*））-f（g（*））]/Δ*

=lim[f（g（*+Δ*）-g（*）+g（*））-f（g（*））]/Δ*

〔另g（*）=u，g（*+Δ*）-g（*）=Δu〕

=lim（f（u+Δu）-f（u））/Δ*

=lim（f（u+Δu）-f（u））*Δu/（Δ**Δu）

=limf'（u）*Δu/Δ*

=limf'（u）*（g（*+Δ*）-g（*））/Δ*

=f'（u）*g'（*）=f'（g（*））g'（*）

（反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=*对称，所以导数也关于y=*对称，所以导数的乘积为1）

〔15〕y=f（*）=arcsin*

则siny=*

（siny）'=cosy

所以

（arcsin*）'=1/（siny）'=1/cosy

=1/√1-（siny）^2

（siny=*）

=1/√1-*^2

即f'（*）=1/√1-*^2

（16）y=f（*）=arctan*

则tany=*

（tany）'=1+（tany）^2=1+*^2

所以

（arctan*）'=1/1+*^2

即f'（*）=1/1+*^2

总结一下

〔*^n〕'=n*^（n-1）

〔sin*〕'=cos*

〔cos*〕'=-sin*

〔a^*〕'=a^*lna

〔e^*〕'=e^*

〔loga^*〕'=1/（*lna）

〔ln*〕'=1/*

（tan*）'=（sec*）^2=1+（tan*）^2

（cot*）'=-（csc*）^2=-1-（cot*）^2

（sec*）'=tan**sec*

（csc*）'=-cot**csc*

（*^*）'=（ln*+1）**^*

（arcsin*）'=1/√1-*^2

（arctan*）'=1/1+*^2

[f（*）g（*）]'=f'（*）g（*）+f（*）g'（*）

[f（*）/g（*）]'=[f'（*）g（*）-f（*）g'（*）]/（g（*）*g（*））

[f（g（*））]'=f'（g（*））g'（*）