专题2函数的图象与性质.docx

1、专题2函数的图象与性质专题2:函数的图象与性质(两课时)班级(1) 答案:谆，1; (2) ( 1, 1; (3) (a, 5 ；( 4) f, 3; (5) 2 2 1,+叼;1(6) -, + 旳.e解析：(1) 2x+ n n,号市-1,x2+11(x2+ 1)+ 2 y= 丁(3) 令 t= ,1 x, t 0 y= 1 t2 + 41(4) f(x)=(孑广一x单调递减2 2(5) f(x)= x2 + 1+ x+7 1 (x2+ 11) x2+ 1+ x+722 (当且仅当 x2+ 1 = V2取=)1 1(6) f(x)= xlnx,. f x) = Inx + 1, ( 0,

2、1)上 f(x)单调递减，(1,+*)上 f(x)单调递增1 12. (1) f(x) = x(27 + 2)的奇偶性为 .(2) 若函数f(x)= xln(x+ I、a x2 )为偶函数，则a= (3) 若f(x)是R上的奇函数，且当 x 0时，f(x)= 1 +饭，贝V f(x) = 1 + 3. x, xv 0 答案：(1)偶函数；(2) 1; ( 3) 0, x= 0 .1 + Vx, x02%+ 1解析：(1)先求定义域x|xM 0 , f(x)= x 2，化简f( x)2 (2 1)(2)h(x) = ln(x+ ，a x2 )为奇函数，则 h( x) + h(x) = 0 (3)

3、当 x= 0 时，f(x) = 0 ;当 x v 0 时，f(x) = f( x) = 1 + Vx2x+ 13. (1)函数f(x)=仝土1的增区间为 ；x+ 1(2)已知函数y= log(2 ax)在区间0, 1上为单调递减，则实数 a的取值范围为 1答案：(i)(, i)和(1,+；(2)(g, 0)；(3)e,+解析：(1) f(x)=讨卜 2 (xx+11 2= 2-X；1 1(2) y= log_(2 ax)，令 2 ax= t,贝U y= log-t。由题意得， t = 2 ax 在0, 1上单调递增，二 av 02 2又 x 0, 1,时，2 ax 0,.2 a v 0,综上，

4、a0,则 f (x) = 一 4x,令 f (x)v 0x4. 设 f(x)是 R 上的奇函数，f(x+ 2) = f(x),当 0W xw 1 时，f(x)= x,贝 U f(7.5) = ;当 x 4 , 6时，f(x)= .答案：1 ； x 4, 4w xw 52 ； 6 x, 5v x 6解析：根据 f(x+ 2) = f(x),得到 f(x)周期为 4,则 f(7.5) = f( 0.5)= f(0.5)将0 , 1的图象向右平移 4个单位长度，得到 4w x 3x的x的取值范围；(2) 若y= f(x)的定义域为R，又是奇函数，求 y= f(x)的解析式，判断其在 R上的单调性并加

5、以证明 解：(1) x的取值范围为(一a, 1.1-3x 1 2(2)f (x)= 3X (3x+ 1)= 3(一 1 + 而). f (x)在R上单调递减.3x+ 1解析：解答：解：(1) 由题意知，3X+1 + 1 A 3x;化简得，3 (3x) 2+ 2X 3x 1 w 0,1解得，一1W 3xw -;故 xw 1;3一 1 + a(2)由题意，f ( 0)= = 0,故 a = 1;2 + b再由 f (1)+ f ( 1 )= 0 得，b = 3;1 3x经验证f ( x)= 3x(3x+ 1)是奇函数证明： y = f (x)的定义域为 R,. b A0;任取 X1, X2 R，且

6、 X1V X2,贝y3x2 一 3X1f (X1) f (X2) = ( 3a + b) (3X1+1 + b)( 3x2+1 + b)，3X2 一 3X1 X10,故当3a+ b 0时，f (x)在R上单调递减，当3a+ b v 0时，f (x)在R上单调递增，当3a+ b = 0时，f (x)在R上不具有单调性.【教学建议】1. 本题考查指数函数的单调性、函数的奇偶性 第一问中涉及指数不等式的解法，第二问涉及等式恒成立问题2. 本题的易错点是第二问中忽视由“ f(x)的定义域为R”所得到的“ b0”的条件3. 单调性是函数在其定义域上的局部性质，它往往与不等式相结合，应用时要看清函数的单调

7、区间4. 判断函数的单调性的常用方法有：能画出图象的一般用数形结合法去观察；由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题；对于解析式较复杂的一般 用导数法；对于抽象函数的一般用定义法 .例2.已知函数y= f(x)的定义域为R，并对一切实数 x,都满足f(2 + x)= f(2 x).(2) f(x)=.事实上，若一个函数具备奇偶性、a的取值范围.(1) 证明：函数 y= f(x)的图象关于直线 x= 2对称；(2) 若f(x)是偶函数，且 x 0 , 2时，f(x)= 2x 1,求x 4, 0时的f(x)的表达式. 解：(1)证明：设P(xo, yo)是函

8、数y = f(x)图象上任一点，贝y yo= f(xo),点P关于直线x= 2的对称点为P (X0, yo).t f(4 xo) = f(2 + (2 xo) = f(2 (2 xo)= f(xo) = yo, P也在y= f(x)的图象上，.函数 y= f(x)的图象关于直线 x= 2对称.2x+ 7, 4W xv 2,2x 1, 2 W x o.解析：f(x)是偶函数，函数 y= f(x)的图象关于直线 x= 2对称，函数y= f(x)的图象关于直线 x= 2对称/ f(x)是偶函数， x 2, 0时，f(x) = f( x)= 2 ( x) 1 = 2x 1, x 4, 2时，f(x)

9、= f( 4 x)= 2 ( 4 x) 1【教学建议】1. 本题设奇函数的对称性、奇偶性 第一问中函数图象对称性的证明可转化为图象的上任意点的对称性的证明第二问中函数f(x)在4, 0上表达式是分段函数.2. 在第二问中，“ f(2 + x) = f(2 x)”与“ f(4 + x) = f( x)”都是表示函数y= f(x)的图象关于直线 x= 2对称，又由函数的奇偶性得到：f(4 + x)= f( x)= f(x).这样可以进一步得到定义在 R上的函数f(x)是周期函数， 4是它的一个周期.因此第二问也可以通过说明函数的周期性来求解析式 对称性、周期性中两个性质，那么它一定也具备第三个性质

10、例3.已知函数f(x) = ax2 |x|+ 2a 1(a为实常数).(1 )若a = 1，作函数f(x)的图象；1(3)实数a的取值范围为 一2 1(2)设f(x)在区间1 , 2上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;(3)设h(x)=他，若函数h(x)在区间1 , 2上是增函数，求实数x解：(1)作图象如右图所示.16a 3, a 4,1 1 1(2) g(a) = 2a 扃1, 1WaW；,13a 2, a？.工立一斗+1,工2 01 2 3=1Af 1? nX+ 0,当 x 1 , 2时,& -:2 , f (x)在1 , 2为增函数， 比X;12,即0 3 -3 ；，6a-3,(

11、) a M血(兀)二崔兀+丝二1-1(3)在区间1 , 2上任取勺r且心5 ,2-1 2-1 J =(花-衬)3 -空丄)三 叫 珀“I阳-(2a -1)h (x)在1 , 2上是增函数,.岛(可)0(*)可转化为-y - - 对任意工、x2 E 1揺且工 0,由1f花 a 得竺二1益1,解得av 0,竺二I 迴二得u a 2所以实数a的取值范围是 。【教学建议】1. 本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问中二次 函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，既可等价转化为 h x) 0对于任意的x 1 , 2恒成立来解

12、决，也可以用定义法来解决.2. 求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好图象，特别是含参数的两种类型： “定轴动区间、定区间动轴”的问题，要抓住“三点一轴” ，“三点”指区间的两个端点和区间的中点， “一轴”指的是抛物线的对称轴.3. 本题的易错点有三个，一是第( 2)问中容易遗漏“ a = 0”的情况；二是第三问用导数解决函数的2a 1 2a 1单调性问题时，误将“ h (x)= a 0在1 , 2上恒成立”写成“ h (x) = a - 0在1 , 2上恒 成立”；三是无论用导数还是单调性的定义，都忽视了“ a= 0”的情形.四、反馈练习1 已知函数f(x) ax b (a 0,a 1)的

13、定义域和值域都是1,0，则a b .3答案：3说明：本题考查函数的值域解析：对a 1和0v a v 1讨论1 12. 若函数y= f(x)的值域是， 3,则函数F(x) = f(x) + f亦的值域是 答案:2 ,晋说明：本题考查函数的值域1 1解析：令f(x)=t, t q 3, y =t+ 在(0, 1)上单调递减，(1, 3)上单调递增 x2 + 1 x06已知函数f(x)= . I ，则满足不等式f(1 x2) f(2x)的x的范围是1 , x V 0 答案：说明：解析：7已知函数f(x )是(汽 上的偶函数，若对于x 0,都有f(x+ 2) = f(x),且当x 0,2)时，f(x)

14、= log2(x+ 1)，贝U f(2012) + f( 2013)的值为 .答案：1说明：本题考查函数的奇偶性、周期性解析：x 0,都有 f(x+ 2) = f(x),则 x 0 时，f(x)周期是 4,则 f(2012) = f(0) = 0; f( 2013) = f(2013) = f(1) =1&偶函数y= f(x)的图像关于直线 x= 2对称，f(3) = 3,贝U f( 1) = .答案：3说明：本题考查函数的奇偶性、函数图象的对称性解析：f( 1)= f(1) = f(3)9.已知f(x)是定义在 R上的奇函数.当x0时，f(x) = x2 4x,则不等式f(x)x的解集为 .

15、答案：(5, 0) U (5,+ )说明：本题考查函数的奇偶性解析：当 x 0 时，f(x)= x2 4x,则不等式 f(x) x,得到 x (5 ,+ )当 xv 0 时，f(x) = f( x) = x2 4x,则不等式 f(x) x,得到 x ( 5, 0)或者作图像10 .若函数f (x) 2a|(a R)满足f(1 x) f (1 x)，且f (x)在m,)单调递增，贝U实数m的最小值等于 .答案：1说明：本题考查函数图象的对称问题x a I解析：f(1 x) f(1 x)，则y= f(x)关于x= 1对称。又f(x) 2 (a R)关于X= a对称，则a= 111.已知函数f(x)

16、= |x 2|+ 1, g(x) = kx,若f(x)= g(x)有两个不相等的实根，贝y实数k的取值范围是 .1答案：(1, 1)说明：本题考查函数与方程、函数的图象解析:g(x)= kx过(0, 0)旋转，和f(x)= |x 2|+ 1有两个交点12 .已知定义在 R上的奇函数f(x)，满足f(x 4) = f(x),且在区间0 , 2上是增函数，若方程 f(x)= m(m 0)在区间8, 8上有四个不同的根X1 , X2, X3 , X4，则X1+ X2+ X3+ X4= .答案：8说明：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数的图象解析：f(x 4) = f(x)得 f(x)

17、周期为 8,又奇函数 f(x)满足 f(x 4) = f(x),则 f(x 4) = f( x)，贝U f(x)关于 x=2对称13.已知函数 g(x) = ,x+ 1 与 h(x)= , x ( 3, a，其中 a 为常数且 a0，令函数 f(x)= g(x) h(x). x+ 3(1) 求函数f(x)的表达式，并求其定义域；1(2) 当a= 1时，求函数f(x)的值域.答案：( )f(x戸爲，X 。，a；313-说明：(1)考查函数的解析式、定义域;(2)考查函数的值域.3解析：令 t= x+ 1，则 t 1 , 2且 X =( t 1)-y= f(X) = (t 1) +3 1y = 4

18、t 2+ t4 t 2 +孑在1 , 2上递减，在2 , +8)上递增，15已知函数f(x) =X2 + 2x+ ax 1 ,+ 8)当a = 2时，求函数f(x)的最小值；若对任意x 1 ,+x)f(x)o恒成立，试求实数a的取值范围.11 7解(1)当a=时，俭)=X+ 2X+ 2,在1 ,+x上为增函数，f(x)min = f(1) =a(2)f(x) = x+ x+ 2, x 1 ,+x).入1 当a切时，f(x )在1 ,+x内为增函数最小值为f(1) = a+ 3.要使 f(x)0在 x 1 ,+x上恒成立，只需 a + 30,即 a 3, / -3aO.2 当 00, a 3.二

19、 01时，f(x)在1 , Va上为减函数，在(苗，+*上为增函数，所以f(x)在1,+I 上的最小值是fa) = 2 a+ 2, 2 a + 20,显然成立.综上所述，f(x)在1 ,+x上恒大于零时，a的取值范围是(3,+).(考查函数的单调性，不等式恒成立).16设函数f(x) kax ax(a 0且a 1是奇函数.(1)求k的值；若f(1) 0,解关于x的不等式f(x2 + 2x) + f(x 4) 0;3(3)若 f(1)= 2,且 g(x) a2x a 2x 2mf(x)在1, + 上的最小值为一2,求 m 的值. 解(1)因为f(x)是奇函数，且f(0)有意义，所以f(0)= 0,所以k1= 0, k= 1.1因为f(1)0,所以a 丄0,二a 1,a f(x)= ax ax是R上的单调增函数.a于是由 f(x2 + 2x) f(x 4) = f(4x)，得 x2 + 2x4 x,即 x2 + 3x 40,解得 xv 4 或 x 1.3 1 3(3)因为 f(1) = 2,所以 a2,解得 a = 2(a0),所以 g(x)= 22x+ 2 2x 2m(2x2x)= (2x2x)2 2m