专题2函数的图象与性质.docx
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专题2函数的图象与性质
专题2:
函数的图象与性质（两课时）
班级
（1）
答案:
谆，1];
（2）（—1,1];（3）（—a,5]；（4）[—f,3];（5）[22—1,+叼;
1
（6）[—-,+旳.
e
解析：
（1）2x+n[n,号
市-1,x2+1>1
—（x2+1）+2⑵y=—丁—
（3）令t=,1—x,t>0•••y=1—t2+4
1
（4）f（x）=（孑广一x单调递减
22
（5）f（x）=x2+1+x^+^7—1（x2+1>1）•x2+1+x^+7>22（当且仅当x2+1=V2取="）
11
（6）f（x）=xlnx,「.f'x）=Inx+1,•（0,1）上f（x）单调递减，（1,+*）上f（x）单调递增
11
2.
（1）f（x）=x（2^7+2）的奇偶性为.
（2）若函数f（x）=xln（x+I、ax2）为偶函数，则a=
（3）若f（x）是R上的奇函数，且当x>0时，f（x）=1+饭，贝Vf（x）=
—1+3.x,xv0答案：
（1）偶函数；
（2）1;（3）0,x=0.
1+Vx,x>0
2%+1
解析：
（1）先求定义域{x|xM0},f（x）=x2，化简f（—x）
2（2—1）
（2）h（x）=ln（x+，ax2）为奇函数，则h（—x）+h（x）=0（3）当x=0时，f（x）=0;当xv0时，f（x）=—f（—x）=—1+Vx
2x+1
3.
（1）函数f（x）=仝土1的增区间为；
x+1
（2）已知函数y=log」（2—ax）在区间［0,1］上为单调递减，则实数a的取值范围为
1
答案：
（i）（—^,—i）和（—1,+〜；
（2）（—g,0）；（3）e,+〜
解析：
（1）f（x）=讨卜2（xx+112=2-X；
11
（2）y=log_（2—ax），令2—ax=t,贝Uy=log-t。
由题意得，t=2—ax在[0,1]上单调递增，二av0
22
又x€[0,1],时，2—ax>0,.・.2—av0,综上，a<0
1
（3）f（x）=Inx—2x2,x>0,则f（x）=一—4x,令f（x）v0
x
4.设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=—f（x）,当0Wxw1时，f（x）=x,贝Uf（7.5）=;当x€［4,6］时，
f（x）=.
答案：
—1；x—4,4wxw5
2；6—x,5vx<6
解析：
根据f（x+2）=—f（x）,得到f（x）周期为4,则f（7.5）=f（—0.5）=—f（0.5）
将［0,1］的图象向右平移4个单位长度，得到4wx<5时，f（x）=x—4;
又f（x）是R上的奇函数，一1wxw0时，f（x）=—f（—x）=x
将［—1,0］的图象向右平移4个单位长度，得到当3wxw4时，f（x）=x—4;
再向右平移两个单位长度，得到5wxw6时，f（x）=—f（x—2）=—（x—6）
5.
（1）已知函数f（x）=ln（2x+1），①将函数y=f（x）图象向右平移2个单位后的解析式为.②与
函数y=f（x）图象关于y轴对称的函数解析式为.
（2）方程1—x2=x+m有一个实数解，贝Um的取值范围为.
答案：
（1）①y=ln（2x—3）:
②y=ln（1—2x）;
（2）［—1,1）U{,2}.
解析：
（1）①y=ln［2（x—2）+1］②y=ln［2（—x）+1］
（2）y=1—一有一个交点，第一段图象是上半圆，第二段的图像是将y=x上下平移，过（0，—1）的直
y=x+m
线向上平移至过（0,1）（取不到），再向上平移至相切
6.
（1）若函数y=Iog2（x+2）的图象与y=f（x）的图象关于x=1对称，则f（x）=
（2）已知f（x）=Iog2|ax+3|关于x=1对称，则实数a=.
答案：
（1）log2（4—x）;
（2）—3或0.
解析：
（1）令h（x）=Iog2（x+2），则f（x）=h（2—x）
⑵代入f（0）=f
（2）
二、方法联想
1.值域求法
（1）图象法；
（2）复合函数法；（3）部分分式法；（4）换元法；（5）单调性法；（6）基本不等式法;
（7）导数法.
变式1、若函数f（X）
232x,x9,（a
4logax3,x9.
0,a1）的值域是5,
则实数a的取值范围
答案：
1,3
（分段函数的值域是各段函数值域的并集）
变式2、定义mina,b,c为a,b,c中的最小值，设fxmin2x3,x21,53x，则fx的
最大值是
答案：
2
（数形结合求值域）
变式3、函数yJx24Jx22x10的值域为
答案：
26,
（构造图像求值域）
2•判断函数奇偶性
方法1定义法；方法2图象法.
优先考虑用图象法，定义法前先判断定义域•但证明奇偶性只能用定义法.
已知函数奇偶性
方法1若函数为奇函数且0在定义域内，用f（0）=0;方法2利用特殊值法；方法3利用定义.
优先用方法1,再用方法2，注意检验•但如果是解答题，必须用定义证明其奇偶性.
变式1、设f（x）为定义在R上的奇函数，当x》0寸，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（-1）=.
答案：
-3
（已知函数奇偶性求值）
1x
变式2、已知a为非零常数f（x）alg1,满足f（lg0.5）1,则f（lg2）.
1x
（熟悉常见函数的奇偶性）
3•判断函数单调性
方法1图象法；方法2复合函数法；方法3导数法；方法4定义法.
判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑图象法，再考虑复合函数法，关键时候用导数法，别忘了定义法.
注意：
单调性证明只能用导数法和定义法.
变式1、设函数f（x）xxa,若对任意的xnx22,,x1x2,不等式丄^―0恒成立，则实
x-ix2
数a的取值范围是
（注意单调性的不冋表现形式
，数形结合）
2
x2x,x
0
变式2、已知函数fx
若f
a
2
x2x,x
0
fa2f1，则a的取值范围是
答案：
2
答案：
1,1
（分段函数的奇偶性、单调性结合）
4•奇偶性、对称性、周期性的综合
常用结论：
1如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函
数.
2若函数满足f（x+a）=-f（x）,则f（x）的周期为2a.
1
3若函数满足f（x+a）=丽，则f（x）的周期为2a.
4若函数满足f（x+a）=—f1），则f（x）的周期为2a.
T（x）
1
变式1:
已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+2）=次，若f
（1）=—5,则f（f（5））=.
T（x）
1
答案：
—1
5
变式2:
函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x）对一切实数x都成立，若f
（1）=0，则关于x的方程f（x）=0在［0,10］上的解的个数为.
答案：
11
5.函数图象变换
（一）对称变换；
（二）翻折变换；（三）平移变换；（四）伸缩变换
处理函数问题优先考虑函数的图象，即数形结合法•作函数图象时，先考虑用图象变换法转化为基本函数问题•我们也可以由函数的图象分析函数的性质（或值域），反过来要考虑函数的性质对函数作图的作
用.
|x|,xm,
变式1、已知函数f（x）打其中m0,若存在实数b,使得关于x的方程f（x）
x2mx4m,xm,
=b有三个不同的根，则m的取值范围是.
答案：
（3，）
（图形变换）
6.图象的对称问题
方法1相关点法；方法2特殊值法.
常用结论：
a—pb
1若函数满足f（a—x）=f（b—x）,贝Uf（x）图象关于x=于对称.
2若函数满足f（a+x）+f（b—x）=m,则f（x）图象关于（-a——b,殳）对称.
1Ixl
变式1、定义域为R的函数fx满足fx22fx，当x0,2时，fx-，则
2
f5
2
1
答案：
丄
4
（函数周期性的沿用）
变式2、已知fx是定义在R上的函数，满足fxfx0,fx1fx1，当x0,1
2
时，fxxx，则函数fx的最小值为
答案:
（运用函数周期性求函数的最小值）
三、例题分析
一3x+a
例1.已知函数f（x）=
3x1+b
（1）当a=b=1时，求满足f（x）>3x的x的取值范围；
（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明解：
（1）x的取值范围为（一a,—1].
1-3x12
（2）f（x）=3X（3x+1）=3（一1+而）.f（x）在R上单调递减.
—3x+1
解析：
解答：
解：
（1）由题意知，3X+1+1A3x;
化简得，3（3x）2+2X3x—1w0,
1
解得，一1W3xw-;故xw—1;
3
一1+a
（2）由题意，f（0）=■=0,故a=1;
2+b
再由f
（1）+f（—1）=0得，b=3;
1—3x
经验证f（x）=3x'（3x+1）是奇函数
证明：
•••y=f（x）的定义域为R,「.bA0;
任取X1,X2€R，且X1VX2,贝y
3x2一3X1
f（X1）—f（X2）=（3a+b）（3X1+1+b）（3x2+1+b），
3X2一3X1
■X10,
故当3a+b>0时，f（x）在R上单调递减，
当3a+bv0时，f（x）在R上单调递增，
当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性.
【教学建议】
1.本题考查指数函数的单调性、函数的奇偶性•第一问中涉及指数不等式的解法，第二问涉及等式恒
成立问题•
2.本题的易错点是第二问中忽视由“f（x）的定义域为R”所得到的“b>0”的条件•
3.单调性是函数在其定义域上的局部性质，它往往与不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间
4.判断函数的单调性的常用方法有：
①能画出图象的一般用数形结合法去观察；②由基本初等函数
通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题；③对于解析式较复杂的一般用导数法；④对于抽象函数的一般用定义法.
例2.已知函数y=f（x）的定义域为R，并对一切实数x,都满足f（2+x）=f（2—x）.
（2）f（x）=
.事实上，若一个函数具备奇偶性、
a的取值范围.
（1）证明：
函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称；
（2）若f（x）是偶函数，且x€［0,2］时，f（x）=2x—1,求x€［—4,0］时的f（x）的表达式.解：
（1）证明：
设P（xo,yo）是函数y=f（x）图象上任一点，贝yyo=f（xo）,
点P关于直线x=2的对称点为P'（—X0,yo）.
tf（4—xo）=f（2+（2—xo））=f（2—（2—xo））=f（xo）=yo,
•••P也在y=f（x）的图象上，.••函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称.
2x+7,—4Wxv—2,
—2x—1,—2Wx解析：
f（x）是偶函数，函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，•函数y=f（x）的图象关于直线x=—2对称
•/f（x）是偶函数，•x€［—2,0］时，f（x）=f（—x）=2（—x）—1=—2x—1,
•x€［—4,—2］时，f（x）=f（—4—x）=—2（—4—x）—1
【教学建议】
1.本题设奇函数的对称性、奇偶性•第一问中函数图象对称性的证明可转化为图象的上任意点的对称
性的证明•第二问中函数f（x）在［—4,0］上表达式是分段函数.
2.在第二问中，“f（2+x）=f（2—x）”与“f（4+x）=f（—x）”都是表示函数y=f（x）的图象关于直线x=2对
称，又由函数的奇偶性得到：
f（4+x）=f（—x）=f（x）.这样可以进一步得到定义在R上的函数f（x）是周期函数，4是它的一个周期.因此第二问也可以通过说明函数的周期性来求解析式对称性、周期性中两个性质，那么它一定也具备第三个性质
例3.已知函数f（x）=ax2—|x|+2a—1（a为实常数）.
（1）若a=1，作函数f（x）的图象；
1
（3）实数a的取值范围为一21
（2）设f（x）在区间［1,2］上的最小值为g（a）,求g（a）的表达式;
（3）设h（x）=他，若函数h（x）在区间［1,2］上是增函数，求实数
x
解：
（1）作图象如右图所示.
1
6a—3,a<4,
111
（2）g（a）=2a—扃―1,1WaW；,
1
3a—2,a〉？
.
"工立一斗+1,工20
123
=1
A
f1?
n
X」+<0
%
（1）a=1,
解析:
（2）由于a>0,当x€［1,2］时,
&<—<1»艮卩口>-
①:
'「
2,f（x）在［1,2］为增函数，比—X;
1<—^2,訊丄旺邑⑷=/（丄）=加一丄
②」」：
.二
—>2,即03<-
③'时，f（x）在［1,2］是减函数，
-1
gW=/（2>^-3；
，
6a-3,（）4
2a—--_\r——
4a42
综上可得，
3a-2,a>£
■M
血（兀）二崔兀+丝二1-1
（3）
在区间［1,2］上任取勺r且心5,
2^-12^-1
—J'
=（花-衬）3-空■丄）三叫珀［“I阳-（2a-1）］
•••h（x）在［1,2］上是增函数,
.岛（可）>0
•••（*）可转化为-y-■■-■'对任意
工］、x2E［1揺］且工］<心
都成立,
①当a=0时，上式显然成立;
②a>0,
由1・f花a得竺二1益1,解得
③av0,
竺二I迴二得
ua2
所以实数a的取值范围是£。
【教学建议】
1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问中二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，既可等价转化为h'x）>0对于任意的x€［1,2］恒成立来解决，也可以用定义法来解决.
2.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好图象，特别是含参数的两种类型：
“定轴动区间、定
区间动轴”的问题，要抓住“三点一轴”，“三点”指区间的两个端点和区间的中点，“一轴”指的是抛物
线的对称轴.
3.本题的易错点有三个，一是第
（2）问中容易遗漏“a=0”的情况；二是第三问用导数解决函数的
2a—12a—1
单调性问题时，误将“h'（x）=a——>0在［1,2］上恒成立”写成“h'（x）=a—-^—->0在［1,2］上恒成立”；三是无论用导数还是单调性的定义，都忽视了“a=0”的情形.
四、反馈练习
1•已知函数f（x）axb（a0,a1）的定义域和值域都是［1,0］，则ab.
3
答案：
—3
说明：
本题考查函数的值域
解析：
对a>1和0vav1讨论
11
2.若函数y=f（x）的值域是［^，3］,则函数F（x）=f（x）+f亦的值域是•答案:
［2,晋］
说明：
本题考查函数的值域
11
解析：
令f（x）=t,t€q3］,y=t+［在（0,1）上单调递减，（1,3）上单调递增
x2+1x》0
6•已知函数f（x）=.I，则满足不等式f（1—x2）>f（2x）的x的范围是
1,xV0
答案：
说明：
解析：
7•已知函数f（x）是（―汽上的偶函数，若对于x>0,都有f（x+2）=—f（x）,且当x€［0,2）时，f（x）=log2（x
+1），贝Uf（2012）+f（—2013）的值为.
答案：
1
说明：
本题考查函数的奇偶性、周期性
解析：
x>0,都有f（x+2）=—f（x）,则x>0时，f（x）周期是4,则f（2012）=f（0）=0;f（—2013）=f（2013）=f
（1）=1
&偶函数y=f（x）的图像关于直线x=2对称，f（3）=3,贝Uf（—1）=.
答案：
3
说明：
本题考查函数的奇偶性、函数图象的对称性
解析：
f（—1）=f
（1）=f（3）
9.已知f（x）是定义在R上的奇函数.当x>0时，f（x）=x2—4x,则不等式f（x）>x的解集为.
答案：
（—5,0）U（5,+^）
说明：
本题考查函数的奇偶性
解析：
当x>0时，f（x）=x2—4x,则不等式f（x）>x,得到x€（5,+^）
当xv0时，f（x）=—f（—x）=—x2—4x,则不等式f（x）>x,得到x€（—5,0）
或者作图像
10.若函数f（x）2〃a|（aR）满足f（1x）f（1x），且f（x）在［m,）单调递增，贝U实数m的最小
值等于.
答案：
1
说明：
本题考查函数图象的对称问题
xaI
解析：
f（1x）f（1x），则y=f（x）关于x=1对称。
又f（x）2（aR）关于X=a对称，则a=1
11.已知函数f（x）=|x—2|+1,g（x）=kx,若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，贝y实数k的取值范围是.
1
答案：
（1,1）
说明：
本题考查函数与方程、函数的图象
解析:
g（x）=kx过（0,0）旋转，和f（x）=|x—2|+1有两个交点
12.已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x—4）=—f（x）,且在区间［0,2］上是增函数，若方程f（x）=m（m
>0）在区间［—8,8］上有四个不同的根X1,X2,X3,X4，则X1+X2+X3+X4=.
答案：
—8
说明：
本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数的图象
解析：
f（x—4）=—f（x）得f（x）周期为8,又奇函数f（x）满足f（x—4）=—f（x）,则f（x—4）=f（—x），贝Uf（x）关于x
=—2对称
13.已知函数g（x）=,x+1与h（x）=—,x€（—3,a］，其中a为常数且a>0，令函数f（x）=g（x）h（x）.x+3
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
1
（2）当a=1时，求函数f（x）的值域.
答案：
（）f（x戸爲，X€［。
，a］；
⑵[313]-
说明：
（1）考查函数的解析式、定义域;
（2）考查函数的值域.
3
解析：
令t=x+1，则t€[1,2]且X=（t—1）
•-y=f（X）=（t—1）+3•
1
y=4
t—2+t
4
•••t—2+孑在［1,2］上递减，在［2,+8）上递增，
15•已知函数f（x）=
X2+2x+a
x€[1,
+8）
⑴当a=2时，求函数f（x）的最小值；
⑵若对任意x€［1,+x）f（x）>o恒成立，试求实数a的取值范围.
117
解
（1）当a=㊁时，俭）=X+2X+2,在［1,+x上为增函数，f（x）min=f
（1）=㊁
a
（2）f（x）=x+x+2,x€［1,+x）.
入
1当a切时，f（x）在［1,+x内为增函数•最小值为f
（1）=a+3.
要使f（x）>0在x€［1,+x上恒成立，只需a+3>0,即a>—3,/•-32当0（1）=a+3.a+3>0,a>—3.二03当a>1时，f（x）在［1,Va］上为减函数，在（苗，+*上为增函数，所以f（x）在［1,+I上的最小值是f「a）=2a+2,2a+2>0,显然成立.
综上所述，f（x）在［1,+x上恒大于零时，a的取值范围是（—3,+^）.
（考查函数的单调性，不等式恒成立）.
16•设函数f（x）kaxax（a>0且a^1是奇函数.
（1）求k的值；
⑵若f
（1）>0,解关于x的不等式f（x2+2x）+f（x—4）>0;
3
（3）若f
（1）=2,且g（x）a2xa2x2mf（x）在［1,+^上的最小值为一2,求m的值.解
（1）因为f（x）是奇函数，且f（0）有意义，所以f（0）=0,所以k—1=0,k=1.
1
⑵因为f
（1）>0,所以a—丄>0,二a>1,af（x）=ax—a—x是R上的单调增函数.
a
于是由f（x2+2x）>—f（x—4）=f（4—x），得x2+2x>4—x,即x2+3x—4>0,解得xv—4或x>1.
313
（3）因为f
（1）=2,所以a—2,解得a=2（a>0）,所以g（x）=22x+2—2x—2m（2x—2—x）=（2x
—2—x）2—2m
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