植树问题方阵问题.docx

1、植树问题方阵问题2011年1月15日植树问题（方阵问题）课堂讲解1、 方阵的概念：横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这 就是一个方队，这种方队也叫做方阵（亦叫乘方问题）。在摆放的方阵中如果是实心 的，我们叫它实心方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵。2、 方阵的基本特点：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比个 一层物体总个数少8个。实心方阵中，物体个数二最外层的一边个数X最外层一边的个数；（每边数一1） X4二每层数； 每层数4-4+1=每边数空心方阵中物体的个数二（最外层一边的个数一层数）X层数X43、方阵去掉行或列以后的人数

2、变化:去掉的行数和列数去掉的总数目去行列人数去掉一行一列每边数X2-1每边人数X （行数+列数）-（行数X列 数）去掉二行二列每边数X (2+2)-2X2去掉三行三列每边数X (3+3) -3X3每边人数去掉四行四列每边数X (4+4) -（行列人数+行数X列数）4-（行数+列4X4数）4、方阵中其它特性问题：1、 如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现 相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。2、 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数二【每边人（或 物）数-1】X4：每边人（或物）数二四周人（或物）数宁4+13、 中实方阵的

3、总人数（或物）二每边人（或物）数X每边人（或物）数4、 观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或物）数一中空方阵的层数）X中 空方阵的层数X4课堂练习题例题1：学生排成12人一行共12行的一个队伍，如果去掉一行一列，共需 要去掉多少人？解：因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数X2-1”，即 12X2-1=23 人。例题2：小丁在围棋盘上摆一个方阵，其中二行二列是白子，其余都是黑 子，黑子共有81枚，这个方阵共有多少枚棋子？解：可以画个图。并且这是个特殊的方针问题，它去掉的另一边棋子是对齐 的。81枚黑子，则每边是9枚，所以黑棋每行梅列都是

4、9枚，最上层的棋子数就 是（9+2） =11 （枚），那么这个方针共有棋子：11X11=121 （枚）。11109X9二 81例题3：游行队伍中，少先队员在彩车周围围成每边两层的方阵，最外面一 层每边15人，那么彩车周围共有少先队员多少人？解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数二（每边数-1） X4,而 两层之间人数相差8人。所以答案为：（15-1） X4X2-8=104人,如果有三层学 生，那么答案为：（13-1） X4X3-8X （1+2） =144 人。例题4：有一队学生排成一个中空方阵，最外层有64人，最内层有32人， 这队学生共有多少人？解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，

5、每层人数二（每边数-1） X4,而 两层之间人数相差8人。那么第二层人数是：64-8=56人，第三层：56-8=48人， 第四层：48-8二40人，第五层：40-8=32人。而最外层每边人数：644-4+1=17（人），第二层是17-2=15人。第三层是：15-2二13人，第四层是：13-2二11人， 第五层:11-2二9人,第种方法：第兀层：9-27人，弟七层：/-2二3人，第八层是：5-2二3人， 所以根据方阵特点可以这样做：17X17- （24+16+8+1） =240 （人）第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或 物）数一中空方阵的层数）x中空方阵的层数

6、X4所以总人数二（17-5） X5X4=240人第三种方法：64+56+48+40+32二240 （人）例题5：有一队学生如果排成三层中空方阵，则多10人，如果在中间空心部 分接着增排一层乂少6人，问这队学生共有多少人？解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数二(每边数-1) X4,而 两层之间人数相差8人。根据题意，最后少6人，得出增加的一层人数是16人(10+6=16) o第一种方法：那么第四层每边人数：164-4+1=5人，第三层每边人数：5+2=7 人，第二层每边人数：7+2二9人，最外层每边人数：9+2二11人。那么总人数： 11X11-5X5+10=106 （人）；第二种方法

7、：另外根据公式：中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或 物）数一中空方阵的层数）X中空方阵的层数X4所以总人数二（11-4） X4X4-6=106人第三种方法：把每一层的人数相加，减去不足的6人。16+24+32+40-6二106（人）例题6： 方正形桃园，共10层，最里层共种了 16棵桃树，若每颗桃树结 桃60千克，这个桃园共结桃多少千克？ ？解：这是个实心方阵，乂结合了植树问题。最外层每边的种桃数：（164-4+1） +2X （10-1） =23 （棵），而最里层共种了 16棵，即每边数: 16十4+1二5棵，那么还有一层没种。即每边还可以种3棵。第一种方法：可以得出：这个桃园共种了

8、： 23X23-3X3二520 （棵），那么棵 结桃：60X520=31200 （千克）。第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或 物）数一中空方阵的层数）X中空方阵的层数X4所以总棵数二（23-10） X 10X4=520 （棵）；60X520二31200 （千克）。当然也可以用比较复杂的办法，把每一层的数LI相加的办法来做，但实在有 点太繁琐。（2011年1月15 B）植树问题（方阵）-课堂练习11、 军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行 1列，要去掉多少人？2、 小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是白子，共有76枚，

9、而其余是黑子，问这个方阵共有多少枚棋子？3、 手持鲜花的同学在一辆车的四周圉成了每边两层的方阵，最外面一层每边 13人，彩车周围的同学有多少人？4、 有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学 生有多少人？5、 三年级学生组成一个正方形方阵，共13行，每行13人，后来由于服装不 够，只好去掉两行两列，问这个方阵还有多少人？6、 小丁把棋子排成一个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则 这个方阵少了 13枚棋子，那么这个方阵共有棋子多少枚?7、 在一个正方形的方阵中，其中两行两列都是男生，有84人，其余都是女 生，问这个方阵共有学生多少人？8、 学生排成正方行列，

10、如果这个队列横竖再增加一排，还需补充15人，问 原来参加队列的学生有多少人？9、 一堆一分硬币排成方阵多余4枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，则 缺少9枚，问这堆硬币有多少枚？10、 小明用棋子排成一个四层空心方阵，最外层每边13枚，这个方阵共有多 少棋子？（2011年1月15 B）植树问题（方阵）-一课堂练习11、 军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行 1列，要去掉多少人？解：因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数X2-1”，即 10X2-1=19 人。2、 小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是口子，共有76枚， 而其余是黑子，问这个方阵共有

11、多少枚棋子？解：根据下图，我们可以分别把两边平移，就变成了一个正方形，即最外层 的棋子总数为76枚。那么最外层的每边数：76宁4+1二20 （枚）,那么这个方阵的 总数为：20X20=400 （枚）；7643、 手持鲜花的同学在一辆车的四周圉成了每边两层的方阵，最外面一层每边 13人，彩车周围的同学有多少人？解：根据方空心阵特点，总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以 彩车周围的学生数：（13-2） X2X4=88 （人）；也可以用第二种方法，最外层每 边人数为13人，那么最外层总人数为：（13-1） X4二48人，第二层人数为：48- 8二40人，总数为：48+40=88人。4、

12、有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学 生有多少人？解：根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,所以，层数：（52- 28） 8+1=4 （层），因为最外层总人数为52人，所以每边的人数为：52宁4+1二14（人），因为总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这队学生数为： （14-4） X4X4=160 （人）；5、 三年级学生组成一个正方形方阵，共13行，每行13人，后来由于服装不 够，只好去掉两行两列，问这个方阵还有多少人？解：因为根据方阵特点，去掉两行两列，需要去掉“每边数X （2+2）- 2X2”，那么这个方阵还有：13X13- 13X （2+

13、2） -2X2 =169- （52-4） =121 人。6、 小丁把棋子排成一个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则 这个方阵少了 13枚棋子，那么这个方阵共有棋子多少枚？解：根据下图，我们可以得出最外层每边的棋子数：（13+1） 4-2=7 （枚），因为交义点是公共点；那么这个方阵共有棋子：7X7二49 （枚）；7、在一个正方形的方阵中，其中两行两列都是男生，有84人，其余都是女 生，问这个方阵共有学生多少人？解：根据下图，我们可以分别把两边平移，就变成了一个正方形，我们可以 得出最外层的学生总人数为84人，那么最外层每边学生数：84宁4+1二22 （人）， 那么这个方阵共有学生：

14、22X22=484 （人）；76448、学生排成正方行列，如果这个队列横竖再增加一排，还需补充13人，问 原来参加队列的学生有多少人？解：因为根据图示，虚线是增加的一层，那么最外层（增加的）每边的人数：（15+1） -4-2=8人，因为有个交叉点。那么原来方阵共有：8X8-15=49（人）；9、一堆一分硬币排成方阵多余4枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9枚，问这堆硬币有多少枚?解：因为根据图示，虚线是增加的一层，那么最外层（增加的）每边的硬币 数：（4+9+1） 4-2=7 （枚），因为有个交义点。那么这对硬币共有：7X7-9二40（枚）；10、小明用棋子排成一个四层空心方阵，最外层

15、每边15枚，这个方阵共有多 少棋子？解：根据方空心阵特点，总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,那么 这个方阵共有：（15-4） X4X二176 （枚）棋子。（2011年1月15日）植树问题（方阵）一-课堂练习21、 某公园把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵外层每边摆多少盆花？2、 一队学生排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人， 这一方阵共有多少人？3、 一方阵桃园共十层，最里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃60千克，这 个桃园可结桃多少千克？4、 一个大型方阵，外层每边30人，内层每边10人，中间位置由16人表 演，问这个方阵共有多少人?5、 有学生若干人，如列成

16、三层中空方阵多9人，如中空部分增加两层则少15人，问有学生多少人？6、 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了两边两层的方 针，最外层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？7、 有一队学生排成一个中空的方阵，最外层52人，最内层28人，这队学生 有多少人？8、 一些学生如果排成三层空心方阵，则多10人，如果在中间空心部分，接 着增排一排则又少6人，问共有学生多少人？（2011年1月15 0）植树问题（方阵）-课堂练习21、 某公园把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵外层每边摆多少盆花？解：根据方空心阵特点，总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,那么 最外层每边的花有：404

17、-24-4+2=7 （盆）。或者：（40+8） 4-24-4+1=7 （盆）2、 一队学生排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人， 这一方阵共有多少人？解：根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,所以，层数：（44-28）十8+1二3 （层），因为最外层总人数为44人，所以最外层每边的人数为： 444+1=12 （人），因为总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这队 学生数为：（12-3） X3X4二 108 （人）；3、 一方阵桃园共十层，最里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃60千克，这 个桃园可结桃多少千克？解：根据方阵特点，相邻的这两个正方形每边个数相差为

18、2,最里层每边有 桃树：164-4+1=5 （棵），那么最外层每边有桃树：5+2 （10-1） =23 （棵），因为 总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这个桃园共有桃树：（23-10） X 10X4=520 （棵）；共结桃：60X520二31200 （千克）4、 一个大型方阵，外层每边30人，内层每边10人，中间位置由16人表 演，问这个方阵共有多少人？解：根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,最外层总人数为： （30-1） X4=116 （人），最内层总人数为：（10-1） X4二36 （人），那么层数： （116-36）十8+1=11 （层），因为：总人数二（最外层每边

19、人数-层数）X层数 X4,所以这个方阵共有：（30-11） X 11X4+16=852 （人）；5、 有学生若干人，如列成三层中空方阵多9人，如中空部分增加两层则少 15人，问有学生多少人？有多少人？解：根据题意，增加两层少15人，那么增加的两层总人数为：9+15二24（人），那么增加两层中的最外层为：（24+8） 一2二16 （人）。根据方空心阵特 点，相邻两层总人数人数相差8,那么这个中空方阵最外层的人数为：16+8X （4- 1）=40 （人），最外层每边的人数：404-4+1=11 （人），因为：总人数二（最外层 每边人数-层数）X层数X4,所以这个方阵共有：（11-3） X3X4+9

20、=105 （人）；6、 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了两边两层的方 针，最外层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？解：根据方空心阵特点，总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以 彩车周围的学生数：（13-2） X2X4=88 （人）；也可以用第二种方法，最外层每边人数为13人，那么最外层总人数为：（13-1） X4二48人，第二层人数为：48-8二40人，总数为：48+40=88人。7、 有一队学生排成一个中空的方阵，最外层52人，最内层28人，这队学生 有多少人？解：根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,所以，层数：（52-28）十8+1二4 （层），因

21、为最外层总人数为52人，所以每边的人数为：52十4+1二14（人），因为总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这队学生数为：（14-4） X4X4=160 （人）；8、 一些学生如果排成三层空心方阵，则多10人，如果在中间空心部分，接 着增排一排则乂少6人，问共有学生多少人？解：根据题意，增排一层少6人，那么增加的最内层总人数为：10+6二16（人），根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,那么这个中空方阵最外 层的人数为：16+8X （4-1）二40 （人），最外层每边的人数：40宁4+1=11 （人）， 因为：总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这个方阵共有：（11- 3） X3X4+10二 106 （人）；