植树问题方阵问题.docx
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植树问题方阵问题
2011年1月15日植树问题（方阵问题）
课堂讲解
1、方阵的概念：
横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵。
2、方阵的基本特点：
方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。
实心方阵中，物体个数二最外层的一边个数X最外层一边的个数；
（每边数一1）X4二每层数；每层数4-4+1=每边数
空心方阵中物体的个数二（最外层一边的个数一层数）X层数X4
3、方阵去掉行或列以后的人数变化:
去掉的行数和列
数
去掉的总数目
去行列人数
去掉一行一列
每边数X2-1
每边人数X（行数+列数）-（行数X列数）
去掉二行二列
每边数X（2+2）-
2X2
去掉三行三列
每边数X（3+3）-
3X3
每边人数
去掉四行四列
每边数X（4+4）-
（行列人数+行数X列数）4-（行数+列
4X4
数）
4、方阵中其它特性问题：
1、如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。
2、每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数二【每边人（或物）数-1】X4：
每边人（或物）数二四周人（或物）数宁4+1
3、中实方阵的总人数（或物）二每边人（或物）数X每边人（或物）数
4、观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：
中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或物）数一中空方阵的层数）X中空方阵的层数X4
课堂练习题
例题1：
学生排成12人一行共12行的一个队伍，如果去掉一行一列，共需要去掉多少人？
解：
因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数X2-1”，即12X2-1=23人。
例题2：
小丁在围棋盘上摆一个方阵，其中二行二列是白子，其余都是黑子，黑子共有81枚，这个方阵共有多少枚棋子？
解：
可以画个图。
并且这是个特殊的方针问题，它去掉的另一边棋子是对齐的。
81枚黑子，则每边是9枚，所以黑棋每行梅列都是9枚，最上层的棋子数就是（9+2）=11（枚），那么这个方针共有棋子：
11X11=121（枚）。
11
10
9X9二81
例题3：
游行队伍中，少先队员在彩车周围围成每边两层的方阵，最外面一层每边15人，那么彩车周围共有少先队员多少人？
解：
这是个空心方阵。
因为根据方阵特点，每层人数二（每边数-1）X4,而两层之间人数相差8人。
所以答案为：
（15-1）X4X2-8=104人,如果有三层学生，那么答案为：
（13-1）X4X3-8X（1+2）=144人。
例题4：
有一队学生排成一个中空方阵，最外层有64人，最内层有32人，这队学生共有多少人？
解：
这是个空心方阵。
因为根据方阵特点，每层人数二（每边数-1）X4,而两层之间人数相差8人。
那么第二层人数是：
64-8=56人，第三层：
56-8=48人，第四层：
48-8二40人，第五层：
40-8=32人。
而最外层每边人数：
644-4+1=17
（人），第二层是17-2=15人。
第三层是：
15-2二13人，第四层是：
13-2二11人，第五层:
11-2二9人,
第•种方法：
第兀层：
9-2—7人，弟七层：
/-2二3人，第八层是：
5-2二3人，所以根据方阵特点可以这样做：
17X17-（24+16+8+1）=240（人）
第二种方法：
另外根据公式：
中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或物）数一中空方阵的层数）x中空方阵的层数X4
所以总人数二（17-5）X5X4=240人
第三种方法：
64+56+48+40+32二240（人）
例题5：
有一队学生如果排成三层中空方阵，则多10人，如果在中间空心部分接着增排一层乂少6人，问这队学生共有多少人？
解：
这是个空心方阵。
因为根据方阵特点，每层人数二（每边数-1）X4,而两层之间人数相差8人。
根据题意，最后少6人，得出增加的一层人数是16人
（10+6=16）o
第一种方法：
那么第四层每边人数：
164-4+1=5人，第三层每边人数：
5+2=7人，第二层每边人数：
7+2二9人，最外层每边人数：
9+2二11人。
那么总人数：
11X11-5X5+10=106（人）；
第二种方法：
另外根据公式：
中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或物）数一中空方阵的层数）X中空方阵的层数X4
所以总人数二（11-4）X4X4-6=106人
第三种方法：
把每一层的人数相加，减去不足的6人。
16+24+32+40-6二106
（人）
例题6：
—方正形桃园，共10层，最里层共种了16棵桃树，若每颗桃树结桃60千克，这个桃园共结桃多少千克？
？
解：
这是个实心方阵，乂结合了植树问题。
最外层每边的种桃数：
（164-4+1）+2X（10-1）=23（棵），而最里层共种了16棵，即每边数:
16十4+1二5棵，那么还有一层没种。
即每边还可以种3棵。
第一种方法：
可以得出：
这个桃园共种了：
23X23-3X3二520（棵），那么棵结桃：
60X520=31200（千克）。
第二种方法：
另外根据公式：
中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或物）数一中空方阵的层数）X中空方阵的层数X4
所以总棵数二（23-10）X10X4=520（棵）；60X520二31200（千克）。
当然也可以用比较复杂的办法，把每一层的数LI相加的办法来做，但实在有点太繁琐。
（2011年1月15B）植树问题（方阵）---课堂练习1
1、军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行1列，要去掉多少人？
2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是白子，共有76枚，而其余是黑子，问这个方阵共有多少枚棋子？
3、手持鲜花的同学在一辆车的四周圉成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的同学有多少人？
4、有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有多少人？
5、三年级学生组成一个正方形方阵，共13行，每行13人，后来由于服装不够，只好去掉两行两列，问这个方阵还有多少人？
6、小丁把棋子排成一个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则这个方阵少了13枚棋子，那么这个方阵共有棋子多少枚?
7、在一个正方形的方阵中，其中两行两列都是男生，有84人，其余都是女生，问这个方阵共有学生多少人？
8、学生排成正方行列，如果这个队列横竖再增加一排，还需补充15人，问原来参加队列的学生有多少人？
9、一堆一分硬币排成方阵多余4枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9枚，问这堆硬币有多少枚？
10、小明用棋子排成一个四层空心方阵，最外层每边13枚，这个方阵共有多少棋子？
（2011年1月15B）植树问题（方阵）-一课堂练习1
1、军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行1列，要去掉多少人？
解：
因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数X2-1”，即10X2-1=19人。
2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是口子，共有76枚，而其余是黑子，问这个方阵共有多少枚棋子？
解：
根据下图，我们可以分别把两边平移，就变成了一个正方形，即最外层的棋子总数为76枚。
那么最外层的每边数：
76宁4+1二20（枚）,那么这个方阵的总数为：
20X20=400（枚）；
76
4
◄—
3、手持鲜花的同学在一辆车的四周圉成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的同学有多少人？
解：
根据方空心阵特点，总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以彩车周围的学生数：
（13-2）X2X4=88（人）；也可以用第二种方法，最外层每边人数为13人，那么最外层总人数为：
（13-1）X4二48人，第二层人数为：
48-8二40人，总数为：
48+40=88人。
4、有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有多少人？
解：
根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,所以，层数：
（52-28）8+1=4（层），因为最外层总人数为52人，所以每边的人数为：
52宁4+1二14
（人），因为总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这队学生数为：
（14-4）X4X4=160（人）；
5、三年级学生组成一个正方形方阵，共13行，每行13人，后来由于服装不够，只好去掉两行两列，问这个方阵还有多少人？
解：
因为根据方阵特点，去掉两行两列，需要去掉“每边数X（2+2）-2X2”，那么这个方阵还有：
13X13-[13X（2+2）-2X2]=169-（52-4）=121人。
6、小丁把棋子排成一个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则这个方阵少了13枚棋子，那么这个方阵共有棋子多少枚？
解：
根据下图，我们可以得出最外层每边的棋子数：
（13+1）4-2=7（枚），
因为交义点是公共点；那么这个方阵共有棋子：
7X7二49（枚）；
7、在一个正方形的方阵中，其中两行两列都是男生，有84人，其余都是女生，问这个方阵共有学生多少人？
解：
根据下图，我们可以分别把两边平移，就变成了一个正方形，我们可以得出最外层的学生总人数为84人，那么最外层每边学生数：
84宁4+1二22（人），那么这个方阵共有学生：
22X22=484（人）；
76
4
4—
8、学生排成正方行列，如果这个队列横竖再增加一排，还需补充13人，问原来参加队列的学生有多少人？
解：
因为根据图示，虚线是增加的一层，那么最外层（增加的）每边的人
数：
（15+1）-4-2=8人，因为有个交叉点。
那么原来方阵共有：
8X8-15=49
（人）；
9、一堆一分硬币排成方阵多余4枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，则
缺少9枚，问这堆硬币有多少枚?
解：
因为根据图示，虚线是增加的一层，那么最外层（增加的）每边的硬币数：
（4+9+1）4-2=7（枚），因为有个交义点。
那么这对硬币共有：
7X7-9二40
（枚）；
10、小明用棋子排成一个四层空心方阵，最外层每边15枚，这个方阵共有多少棋子？
解：
根据方空心阵特点，总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,那么这个方阵共有：
（15-4）X4X二176（枚）棋子。
（2011年1月15日）植树问题（方阵）一-课堂练习2
1、某公园把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵外层每边摆多少盆花？
2、一队学生排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这一方阵共有多少人？
3、一方阵桃园共十层，最里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃60千克，这个桃园可结桃多少千克？
4、一个大型方阵，外层每边30人，内层每边10人，中间位置由16人表演，问这个方阵共有多少人?
5、有学生若干人，如列成三层中空方阵多9人，如中空部分增加两层则少
15人，问有学生多少人？
6、游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了两边两层的方针，最外层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？
7、有一队学生排成一个中空的方阵，最外层52人，最内层28人，这队学生有多少人？
8、一些学生如果排成三层空心方阵，则多10人，如果在中间空心部分，接着增排一排则又少6人，问共有学生多少人？
（2011年1月150）植树问题（方阵）---课堂练习2
1、某公园把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵外层每边摆多少盆花？
解：
根据方空心阵特点，总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,那么最外层每边的花有：
404-24-4+2=7（盆）。
或者：
（40+8）4-24-4+1=7（盆）
2、一队学生排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这一方阵共有多少人？
解：
根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,所以，层数：
（44-
28）十8+1二3（层），因为最外层总人数为44人，所以最外层每边的人数为：
44^4+1=12（人），因为总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这队学生数为：
（12-3）X3X4二108（人）；
3、一方阵桃园共十层，最里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃60千克，这个桃园可结桃多少千克？
解：
根据方阵特点，相邻的这两个正方形每边个数相差为2,最里层每边有桃树：
164-4+1=5（棵），那么最外层每边有桃树：
5+2（10-1）=23（棵），因为总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这个桃园共有桃树：
（23-10）X10X4=520（棵）；共结桃：
60X520二31200（千克）
4、一个大型方阵，外层每边30人，内层每边10人，中间位置由16人表演，问这个方阵共有多少人？
解：
根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,最外层总人数为：
（30-1）X4=116（人），最内层总人数为：
（10-1）X4二36（人），那么层数：
（116-36）十8+1=11（层），因为：
总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这个方阵共有：
（30-11）X11X4+16=852（人）；
5、有学生若干人，如列成三层中空方阵多9人，如中空部分增加两层则少15人，问有学生多少人？
有多少人？
解：
根据题意，增加两层少15人，那么增加的两层总人数为：
9+15二24
（人），那么增加两层中的最外层为：
（24+8）一2二16（人）。
根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,那么这个中空方阵最外层的人数为：
16+8X（4-1）=40（人），最外层每边的人数：
404-4+1=11（人），因为：
总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这个方阵共有：
（11-3）X3X4+9=105（人）；
6、游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了两边两层的方针，最外层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？
解：
根据方空心阵特点，总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以彩车周围的学生数：
（13-2）X2X4=88（人）；也可以用第二种方法，最外层每
边人数为13人，那么最外层总人数为：
（13-1）X4二48人，第二层人数为：
48-
8二40人，总数为：
48+40=88人。
7、有一队学生排成一个中空的方阵，最外层52人，最内层28人，这队学生有多少人？
解：
根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,所以，层数：
（52-
28）十8+1二4（层），因为最外层总人数为52人，所以每边的人数为：
52十4+1二14
（人），因为总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这队学生数为：
（14-4）X4X4=160（人）；
8、一些学生如果排成三层空心方阵，则多10人，如果在中间空心部分，接着增排一排则乂少6人，问共有学生多少人？
解：
根据题意，增排一层少6人，那么增加的最内层总人数为：
10+6二16
（人），根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8,那么这个中空方阵最外层的人数为：
16+8X（4-1）二40（人），最外层每边的人数：
40宁4+1=11（人），因为：
总人数二（最外层每边人数-层数）X层数X4,所以这个方阵共有：
（11-3）X3X4+10二106（人）；
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