函数知识点整理.docx

1、函数知识点整理函数定义域定义、三要素 值域函数概念 对应法则图像法函数的表示方法 列表法解析法函数简单应用函数关系式的建立函数 分段函数函数的和函数运算 奇偶性函数的积 单调性基本性质最值性质 零点 周期性其他性质对称性1.理解函数的有关概念（1）函数的定义：在某个变化过程中有两个变量 x、y ，如果对于 x 在某个实数集合 D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则 f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么 y 就是 x 的 函数，记 作 y f (x) ，（ x D ），x 叫 做 自变量， y 叫做 因变量， x 的取值范围 D 叫 做 定义域， 和 x 对应的 y 的值叫做函数值，函

2、数值的集合叫做函数的值域【小贴士】据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点，但与 y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.即函数的图像特征：对于任意与 x 轴垂直的直线，与图像最多只有一个交点.【说明】如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有 意义的实数 x 的集合.（2）函数的三要素：函 数 的 定 义 含 有 三 个 要 素 ，即 定义域、值域和 对应法则【求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）】（1）根据解析式要求,如:偶次根式的被开方大于等于零，分母不能为零，（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围.（3）复合函数的定义

3、域：若已知 f (x) 的定义域为a,b,其复合函数 f g(x)的定义域由不等式 a g(x) b 解出即可；若已知 f g(x)的定义域为a,b,求 f (x) 的定义域，相当于当 x a,b时，求 g(x) 的值域（即 f (x) 的定义域）.【求函数值域的方法】（1）二次函数类型 （二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间m,n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间 的相对位置关系）；（2）可换元成二次函数类型 ，换元一定要注意新元的取值范围；（3）yax b 型函数，可先分离常

4、数，利用不等式的性质来求解，或者可先画cx d出其图像，利用函数的单调性求函数的值域；（4）by ax ，当 a,b 异号时可利用单调性求值域；当 ab 0 时，该图像即是x我们所熟知的“耐克函数”利用基本不等式及函数图像求解，需要“注意”的是利用基本不等式时要注意“等号”成立的条件；（5）单调性法 一般来说一道求值域或最值的题目，如果不是常见类型，就可以考虑利用单调性来求解，包括数列的最大最小项问题；（6）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离、直线斜率、等等；（7）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以 用其它方法进行求解，不必拘泥

5、在判别式法上，也可先通过分离变量后，再利用基本不等式：（注意：当分式是最简分式，并且自变量 x 没有其它限制时，可直接用判别式法解题。若不符合上述要求虽也可用此法，但要增加其他条件 比如在某范围内有解，这时我们不提倡用此种方法，而改用基本不等式及耐克函数求解）.【温馨提示】（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？（3）两个函数相等：当两个函数的定义域、对应法则及值域均相等，则两个函数相等.当然，当定义域和对应法则均相等的时候，两个函数的值域也必然相等，因此， 定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时

6、，这两个函数才是同一个函数. （ 4 ） 函 数 的 三 种 表 示 法 ： 解析法、列表法、图像法.（5）分段函数：当一个函数可以用分段的解析式表示时，把这个函数叫做分段函数【求函数解析式的常用方法】（1）待定系数法已知所求函数的类型；（2）代换（配凑）法已知形如 f (g(x) 的表达式，求 f (x) 的表达式；（3）方程的思想已知条件是含有 f (x) 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于 f (x) 及另外一个函数的方程组.二、函数的图像1、常见的函数图像的变换 满足条件 f x a f b a 的函数的图像关于直线xa b 对称；2 点(x, y)

7、关于 y 轴的对称点为( x, y) ；函数 y f x 关于 y 轴的对称曲线方程为 y f x ； 点(x, y) 关于 x 轴的对称点为(x, y) ；函数 y f x 关于 x 轴的对称曲线方程为 y f x ； 点(x, y) 关于原点的对称点为( x, y) ；函数 y f x 关于原点的对称曲线方程为 y f x ； y f (x a) 是将 y f (x) 的图像向左(a 0 )（右(a 0) ）平移 a 个单位得到； 曲线 f (x, y) 0 关于点(a,b)的对称曲线的方程为 f (2a x,2b y) 0 ； 形如 y ax b (c 0,ad bc) 形如 y ax

8、b (c 0,ad bc)cx d的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 x d c(由分母为零确定)和直线 y a (由分子、分母中 x 的系数确定)，对称中心是c点( d , a) ；c c | f (x) | 的图像先保留 f (x) 原来在 x 轴上方的图像，作出 x 轴下方的图像关于x 轴的对称图形，然后擦去 x 轴下方的图像得到； f (| x |) 的图像先保留 f (x) 在 y 轴右方的图像，擦去 y 轴左方的图像，然后作出 y 轴右方的图像关于 y 轴的对称图形得到；1 y f (ax) 是将 y f (x) 的图像横坐标扩大 (0 a 1) （缩小(a 1) ）个单位得到 a

9、 函数 y f x + a 的图像是把函数 y f x 助图像沿 y 轴向上 (a 0) (向下 (a 0) )平移 a 个单位得到的；2函数关系的建立在解决实际问题中，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，这个过程叫做建模；建立函数关系是表示函数对应关系的一种常用方法，在建立的函数关系的后面必须标明函数的定义域，其值域由定义域和对应法则确定，这时函数的三要素就完全具备了建立函数关系常用方法：（1）代入法；（2）构造法；（3）待定系数法；（4）换元法；（5）函数方程法3函数的运算（1）函数和：一般地，已知两个函数 ( )( )y f x x D ，y g(x)(x D2 ) ，

10、1设D D1 D ，并且 D 不是空集，那么当 x D时，y f (x)和 y g(x) 都2有意义，于是把函数 y f (x) g(x)(x D) 叫做函数 y f (x)与 y g(x) 的和（2）函数的积、差、商：【注意】 两个函数的和函数的定义域为它们定义域的交集，当定义域的交集为空集时，他们的和函数无意义； 在求两个函数商的定义域，还要除去使得分母上的函数值为零的 x 的值。x（3）阶梯函数:在函数 y 中， 表示取括号内实数的整数部分，其部5 分函数图像如下：这种函数叫做阶梯函数；【补充】 确切的说 表示不超过括号内实数的最大整数，即x表示不超过 x的最大整数，如 1.5 1, 1

11、.5 24函数的奇偶性（1）函数奇偶性的定义：偶函数的定义：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，那么 f x 就叫做偶函数；奇函数的定义：如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ，那么 f x 就叫做奇函数；【注意】 定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件；“定义域内任一个”：意味着奇（偶）性是函数的整体性质而非局部性质 使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量 x 的恒等式而不是方程.（2）判断奇偶性的步骤：【步骤】 看定义域是否是关于原点对称的区间（是的话就继续，不是就是非奇

12、非偶函数） 找 f x 与 f x 之间的关系，若 f x f x ，那么 f x 就叫做偶函数；若 f x f x ，那么 f x 就叫做奇函数；若两者都不成立，则 f x 就叫做非奇非偶函数；若两者都成立，则 f x 既是奇函数又是偶函数.【提醒】若函数 y f (x) 是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数；若y f (x) 是奇函数且 f (0)存在，则 f (0) 0（这里要强调的是 f (0)一定要存在才可以用）；反之不然，如： f (x) x2 2x ， f (0) 0，但是 f (x) 为非奇非偶函数

13、（3）奇偶函数的图像f (x) 为奇函数 f (x) 图像关于原点对称；f (x) 为偶函数 f (x) 图像关于 y 轴对称（4）根据规律判断函数的奇偶性：偶函数+偶函数=偶函数； 偶函数+奇函数=非奇非偶函数；（不含常值函数f (x) 0 ）奇函数+奇函数=奇函数； 偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数； 偶函数奇函数=奇函数（5）函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数； 若 f (x) 为偶函数，则 f ( x) f (x) f (|

14、 x |) ； 若奇函数 f (x) 定义域中含有0 ，则必有 f (0) 0故 f (0) 0是 f (x) 为奇函数的既不充分也不必要条件； 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与 一个偶函数的和（或差）”； 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”； 既奇又偶函数有无穷多个（ f (x) 0 ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）5函数的周期性定义：设函数 f (x) ， x D，如果存在非零常数T ，使得对任意的 x D，都有f (x T) f (x) ，则称 f (x) 为周期函数，T 为 f (x) 的一个周期，周期函数的周期往往不唯一【思考】若 f

15、 (x T) f (x)，则函数 f (x) 的周期为多少？1f (x T) 时呢？f (x)1f (x T) 时呢？f (x)【复习小贴士】 若 y f (x) 图像有两条对称轴 x a,x b(a b) ，则 y f (x) 必是周期函数，且一个周期为T 2 | a b | ； 若 y f (x) 图像有两个对称中心 A(a,0),B(b,0)(a b) ，则 y f (x) 是周期函数，且一个周期为T 2 | a b | ； 如果函数 y f (x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x b(a b) ，则函数 y f (x) 必是周期函数，且一个周期为T 4 | a

16、b | ；6函数的单调性（1）定义：一般地，设函数 y f (x)的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个区 间 D 内 的 任 意 两 个 自 变 量x ， 当1, x2x 时 ， 都 有1 x2f (x ) ( )( ( ) ( ) ，那么就说 f (x) 在区间 D 上是增函数（减函数），1 f x f x f x2 1 2且 D 为 y f (x)的单调区间（2）复合函数单调性特点：“同増异减”【注意】 函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是定义域的某个子区间，也可以是整个定义域，如果函数在整个定义域上单调，则它在子区间上也是单调的； 如果函数的图像不是连续的，讨论单调性需分段讨

17、论，在整个定义域上是否单调要根据单调性的定义来分析； 函数的单调性是函数局部的性质，在对函数图像的一部分进行研究时，经常用到； 定义法是判断函数单调性的最基本方法，特别是在一些非初等函数中.（3）利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：【步骤】 任取 x1, x D，且 x1 x22 作差 ( 1 ) f (x )f x （偶有做商比较大小的）2 变形（通常是通分、因式分解和配方） 定号（即判断差 f (x ) ( ) 的正负）1 f x2下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）【注意】在 选 择 填 空 题 中 还 可 用 数 形 结 合 法 、

18、特 殊 值 法 等 等 ， 特 别 要 注 意by ax (a 0 b 0) 型函数的图像和单调性在解题中的运用：增区间为xb b b b( , , , ) ，减区间为 , 0), (0, .a a a a【提醒】函数的周期性往往和奇偶性、单调性以及函数的图像及解析式相关联出现，现 在大多数都是以抽象函数的形式出现，涉及到的题型有：求解析式、求值、求不等式解集、求单调区间、求参数的值等等.【特别提醒】求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示7最值定义：一般地，设函数 y f (x)在x 处的函数值是

19、f (x ) ，如果对于定义域0 0内任意的 x ，不等式 f (x) f (x ) 都成立，那么 f (x ) 叫做函数 y f (x)的最小值，0 0记做 min f (x )y 0如果对于定义域内任意 x ，不等式 f (x) f (x ) 都成立，那么 f (x ) 叫做函0 0数 y f (x)的最大值，记做 max f (x )y 08零点定义：一般地，对于函数 y f (x)(x D)，如果存在实数c(c D) ，当 x c时， f (c) 0 ，那么就把 x c 叫做函数 y f (x)(x D)的零点二分法:一般地，对于函数 y f (x) (x D) ，如果存在实数c (c

20、 D) ，当 x c 时，f (c) 0 ，那么就把 x c 叫做函数 y f (x) (x D) 的 零 点 (zero point)；将“通过每次把y f x 的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，( )以求得零点的近似值”的这种方法称作二分法【注意】零点不是点，函数 y f (x) 的零点就是方程 f (x) 0 的解，也就是函数y f (x)的图像与 x 轴交点的横坐标，这是函数方程思想的根本，也是数形结合思想的理论依据.【注意】 一般地，如果函数 y f (x) 在定义区间a,b上的图像是一条连续不断的曲线， 且有 f (a) f (b) 0 ，那么在区间(a,b)内至少存在一个实数c ，使得 f (c) 0 ，也就是在(a,b)内，函数 y f (x) 至少有一个零点。