函数知识点整理.docx
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函数知识点整理
函数
定义域
定义、三要素值域
函数概念对应法则
图像法
函数的表示方法列表法
解析法
函数简单应用
函数关系式的建立
函数分段函数
函数的和
函数运算奇偶性
函数的积单调性
基本性质
最值
性质零点周期性
其他性质
对称性
1.理解函数的有关概念
（1）函数的定义：
在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实
数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值
与它对应，那么y就是x的函．数．，记作yf（x），（xD），x叫做自．变．量．，y叫
做因．变．量．，x的取值范围D叫做定．义．域．，和x对应的y的值叫做函．数．值．，函数值
的集合叫做函数的值．域．．
【小贴士】
据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能
没有，也可能有任意个.即函数的图像特征：
对于任意与x轴垂直的直线，与图
像最多只有一个交点.
【说明】
如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有意义的实数x的集合.
（2）函数的三要素：
函数的定义含有三个要素，即定．义．域．、值．域．和对．应．法．则．．
【求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）】
（1）根据解析式要求,如:
偶次根式的被开方大于等于零，分母不能为零，
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围.
（3）复合函数的定义域：
若已知f（x）的定义域为[a,b],其复合函数f[g（x）]的定
义域由不等式ag（x）b解出即可；若已知f[g（x）]的定义域为[a,b],求f（x）的
定义域，相当于当x[a,b]时，求g（x）的值域（即f（x）的定义域）.
【求函数值域的方法】
（1）二次函数类型（二次函数在给出区间上的最值有两类：
一是求闭区间[m,n]
上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）；
（2）可换元成二次函数类型，换元一定要注意新元的取值范围；
（3）y
axb
型函数，可先分离常数，利用不等式的性质来求解，或者可先画
cxd
出其图像，利用函数的单调性求函数的值域；
（4）
b
yax，当a,b异号时可利用单调性求值域；当ab0时，该图像即是
x
我们所熟知的“耐克函数”利用基本不等式及函数图像求解，需要“注意”的
是利用基本不等式时要注意“等号”成立的条件；
（5）单调性法——一般来说一道求值域或最值的题目，如果不是常见类型，就可以考虑利用
单调性来求解，包括数列的最大最小项问题；
（6）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离、
直线斜率、等等；
（7）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这
类题型有时也可以
用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过分离变量后，再利用基本不等式：
（注意：
当分式是最简分式，并且自变量x没有其它限制时，可直接用判别式法解题。
若不符合上述要求虽也可用此法，但要增加其他条件比如在某范围内有解，这时我们不提倡用此种方法，而改用基本不等式及耐克函数求解）.
【温馨提示】
（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？
（2）函数的最值与值域之间有何关系？
（3）两个函数相等：
当两个函数的定义域、对应法则及值域均相等，则两个函
数相等.
当然，当定义域和对应法则均相等的时候，两个函数的值域也必然相等，因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.（4）函数的三种表示法：
解．析．法．、．列．表．法．、．图．像．法．.
（5）分段函数：
当一个函数可以用分段的解析式表示时，把这个函数叫做分段
函数
【求函数解析式的常用方法】
（1）待定系数法――已知所求函数的类型；
（2）代换（配凑）法――已知形如f（g（x））的表达式，求f（x）的表达式；
（3）方程的思想――已知条件是含有f（x）及另外一个函数的等式，可抓住等
式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f（x）及另外一个函数的方程
组.
二、函数的图像
1、常见的函数图像的变换
①满足条件fxafba的函数的图像关于直线
x
ab
对称；
2
②点（x,y）关于y轴的对称点为（x,y）；函数yfx关于y轴的对称曲线方程
为yfx；
③点（x,y）关于x轴的对称点为（x,y）；函数yfx关于x轴的对称曲线方程
为yfx；
④点（x,y）关于原点的对称点为（x,y）；函数yfx关于原点的对称曲线方
程为yfx；
⑤yf（xa）是将yf（x）的图像向左（a0）（右（a0））平移a个单位得到；
⑥曲线f（x,y）0关于点（a,b）的对称曲线的方程为f（2ax,2by）0；
⑦形如yaxb（c0,adbc）
⑦形如yaxb（c0,adbc）
cxd
的图像是双曲线，其两渐近线分别直线xd
c
（由分母为零确定）和直线ya
（由分子、分母中x的系数确定），对称中心是
c
点（d,a）
；
cc
⑧|f（x）|的图像先保留f（x）原来在x轴上方的图像，作出x轴下方的图像关于
x轴的对称图形，然后
擦去x轴下方的图像得到；f（|x|）的图像先保留f（x）在y轴右方的图像，擦
去y轴左方的图像，
然后作出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到；
1
⑨yf（ax）是将yf（x）的图像横坐标扩大（0a1）（缩小（a1））
个单位得到a
⑩函数yfx+a的图像是把函数yfx助图像沿y轴向上（a0）（向下（a0））
平移a个单位
得到的；
2．函数关系的建立
在解决实际问题中，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示
出来，这个过程叫做建模；
建立函数关系是表示函数对应关系的一种常用方法，在建立的函数关系的后
面必须标明函数的定义域，其值域由定义域和对应法则确定，这时函数的三要素
就完全具备了．
建立函数关系常用方法：
（1）代入法；
（2）构造法；（3）待定系数法；（4）
换元法；（5）函数方程法．
3．函数的运算
（1）函数和：
一般地，已知两个函数（）（）
yfxxD，yg（x）（xD2），
1
设
DD1D，并且D不是空集，那么当xD时，yf（x）和yg（x）都
2
有意义，于是把函数yf（x）g（x）（xD）叫做函数yf（x）与yg（x）的
和．
（2）函数的积、差、商：
【注意】
①两个函数的和函数的定义域为它们定义域的交集，当定义域的交集为空集时，
他们的和函数无意义；
②在求两个函数商的定义域，还要除去使得分母上的函．数．值．为．零．的x的值。
x
（3）阶梯函数:
在函数]
y[中，[]表示取括号内实数的整数部分，其部
5分函数图像如下：
这种函数叫做阶梯函数；
【补充】确切的说[]表示不超过括号内实数的最大整数，即[x]表示不超过x
的最大整数，如1.51,1.52
4．函数的奇偶性
（1）函数奇偶性的定义：
偶函数的定义：
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有fxfx，
那么fx就叫做偶函数；
奇函数的定义：
如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，
那么fx就叫做奇函数；
【注意】
①定义本身蕴涵着：
函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）
函数的必要条件；
②“定义域内任一个”：
意味着奇（偶）性是函数的整体性质而非局部性质
③使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.
（2）判断奇偶性的步骤：
【步骤】
①看定义域是否是关于原点对称的区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函
数）
②找fx与fx之间的关系，
若fxfx，那么fx就叫做偶函数；若fxfx，那么fx就叫
做奇函数；
若两者都不成立，则fx就叫做非奇非偶函数；若两者都成立，则fx既是
奇函数又是偶函数.
【提醒】
若函数yf（x）是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反
之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数；若
yf（x）是奇函数且f（0）存在，则f（0）0（这里要强调的是f（0）一定要存在才
可以用）；反之不然，如：
f（x）x22x，f（0）0，但是f（x）为非奇非偶函数．
（3）奇偶函数的图像
f（x）为奇函数f（x）图像关于原点对称；
f（x）为偶函数f（x）图像关于y轴对称．
（4）根据规律判断函数的奇偶性：
偶函数+偶函数=偶函数；偶函数+奇函数=非奇非偶函数；（不含常值函数
f（x）0）
奇函数+奇函数=奇函数；偶函数×偶函数=偶函数；奇函数×奇函数=偶函数；偶函数×奇函数=奇函数．
（5）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数；
③若f（x）为偶函数，则f（x）f（x）f（|x|）；
④若奇函数f（x）定义域中含有0，则必有f（0）0．故f（0）0是f（x）为奇函
数的既不充分
也不必要条件；
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”；
⑥复合函数的奇偶性特点是：
“内偶则偶，内奇同外”；
⑦既奇又偶函数有无穷多个（f（x）0，定义域是关于原点对称的任意一个
数集）．
5．函数的周期性
定义：
设函数f（x），xD，如果存在非零常数T，使得对任意的xD，都有
f（xT）f（x），则称f（x）为周期函数，T为f（x）的一个周期，周期函数的周
期往往不唯一．
【思考】若f（xT）f（x），则函数f（x）的周期为多少？
1
f（xT）时呢？
f（x）
1
f（xT）时呢？
f（x）
【复习小贴士】
①若yf（x）图像有两条对称轴xa,xb（ab），则yf（x）必是周期函数，
且一个周期
为T2|ab|；
②若yf（x）图像有两个对称中心A（a,0）,B（b,0）（ab），则yf（x）是周期函数，
且一个周期
为T2|ab|；
③如果函数yf（x）的图像有一个对称中心A（a,0）和一条对称轴xb（ab），则
函数yf（x）必是
周期函数，且一个周期为T4|ab|；
6．函数的单调性
（1）定义：
一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个
区间D内的任意两个自变量
x，当
1,x
2
x时，都有
1x
2
f（x）（）（（）（）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数），
1fxfxfx
212
且D为yf（x）的单调区间．
（2）复合函数单调性特点：
“同増异减”
【注意】
①函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是定义域的某个子区间，也可以是
整个定义域，如果函数在整个定义域上单调，则它在子区间上也是单调的；
②如果函数的图像不是连续的，讨论单调性需分段讨论，在整个定义域上是否
单调要根据单调性的定义来分析；
③函数的单调性是函数局部的性质，在对函数图像的一部分进行研究时，经常
用到；
④定义法是判断函数单调性的最基本方法，特别是在一些非初等函数中.
（3）利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
【步骤】
①任取x1,xD，且x1x2
2
②作差
（1）f（x）
fx（偶有做商比较大小的）
2
★③变形（通常是通分、因式分解和配方）
④定号（即判断差f（x）（）的正负）
1fx
2
⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）
【注意】
在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意
b
yax（a0b0）型函数的图像和单调性在解题中的运用：
增区间为
x
bbbb
（,],[,），减区间为[,0）,（0,].
aaaa
【提醒】
函数的周期性往往和奇偶性、单调性以及函数的图像及解析式相关联出现，现在大多数都是以抽象函数的形式出现，涉及到的题型有：
求解析式、求值、求不等式解集、求单调区间、求参数的值等等.
【特别提醒】
求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加
符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
7．最值
定义：
一般地，设函数yf（x）在
x处的函数值是f（x），如果对于定义域
00
内任意的x，不等式f（x）f（x）都成立，那么f（x）叫做函数yf（x）的最小值，
00
记做minf（x）
y
0
如果对于定义域内任意x，不等式f（x）f（x）都成立，那么f（x）叫做函
00
数yf（x）的最大值，记做maxf（x）
y．
0
8．零点
定义：
一般地，对于函数yf（x）（xD），如果存在实数c（cD），当xc
时，f（c）0，
那么就把xc叫做函数yf（x）（xD）的零点．
二分法:
一般地，对于函数yf（x）（xD），如果存在实数c（cD），当xc时，f（c）0，
那么就把xc叫做函数yf（x）（xD）的零点（zeropoint）；将“通过每次把
yfx的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，
（）
以求得零点的近似值”的这种方法称作二分法．
【注意】
零点不是点，函数yf（x）的零点就是方程f（x）0的解，也就是函数
yf（x）的图像与x轴交点的横坐标，这是函数方程思想的根本，也是数形结合
思想的理论依据.
【注意】
一般地，如果函数yf（x）在定义区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）0，那么在区间（a,b）内至少存在一个实数c，使得f（c）0，也就是在（a,b）内，函数yf（x）至少
有一个零点。
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